初中數(shù)學(xué)蘇科版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義：聚焦《絕對(duì)值》專題

1、【圖解考點(diǎn)】聚焦絕對(duì)值運(yùn)用“零點(diǎn)分段法”分類討論去絕對(duì)值符號(hào)-: I 絕時(shí)值的相美知識(shí)最韻維時(shí)修方程I X | =a蛉時(shí)值符號(hào)中含有未知數(shù)的方程耆常'£'或多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的較復(fù)雜的絕時(shí)值方皆二去掉絕時(shí)值符號(hào)化為一般方程求解求出各個(gè)分界點(diǎn)8【技法透析】1.絕對(duì)值的基本性質(zhì)在含有絕對(duì)值式子的運(yùn)算及變形中，絕對(duì)值的性質(zhì)有很重要的作用，其主 要性質(zhì)有：若a、b為有理數(shù)，則:非負(fù)性：a| >0;若|a + |b=0,則a=b = 0;(2)若 a = b ,則 a= ± b; a2 = a2 = a2 1ab =a 'b ; Ibpjb (bw°

2、;)； |a -b W|a ±b W a| + b .特別關(guān)注：若干個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)必須同時(shí)為0,即：|a+ b + , , , + n=0,貝U a= b=n = 0.2 .去絕對(duì)值符號(hào)的方法去掉絕對(duì)值符號(hào)是絕對(duì)值化簡(jiǎn)的關(guān)鍵，而絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)(或式)的正 負(fù)性的判斷是化簡(jiǎn)的關(guān)鍵，在實(shí)際運(yùn)用中常見(jiàn)的去絕對(duì)值符號(hào)的方法有：(1)由已知條件去絕對(duì)值.(2)從數(shù)軸上“讀取”相關(guān)信息，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合去絕對(duì)值.(3)運(yùn)用“零點(diǎn)分段法”分類討論去絕對(duì)值，特別關(guān)注：對(duì)于多個(gè)絕對(duì)值問(wèn)題，其解題思路為：求零點(diǎn)、分區(qū)間、定性 質(zhì)、去符號(hào)，即令各絕對(duì)值代數(shù)式為零，得若干個(gè)絕對(duì)值為零的點(diǎn)，這

3、些點(diǎn)把 數(shù)軸分成若干個(gè)區(qū)間，再在各區(qū)間內(nèi)化簡(jiǎn)求值即可.3 .絕對(duì)值方程(1)最簡(jiǎn)單的絕對(duì)值方程為|x=a,它的解法情況如下：當(dāng)a>0時(shí)，方程有兩解：乂 = 2或乂= a,當(dāng)a=0時(shí)，方程有一解：x=0,當(dāng)a<0時(shí)，方程無(wú)解.(2) 解絕對(duì)值方程的一般步驟求出各個(gè)零界點(diǎn).根據(jù)未知數(shù)的取值范圍分類討論.去絕對(duì)值符號(hào)，化為一般方程求解，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，經(jīng)常荽用到分類討 論，數(shù)形結(jié)合等方法.在解題過(guò)程中，要充分利用絕對(duì)值的意義和性質(zhì)，善于 觀察，發(fā)掘題目中的隱含條件，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程.特別關(guān)注：對(duì)于解絕對(duì)值方程，零點(diǎn)分段法是一種非常重要的方法.4.絕對(duì)值的幾何意義在生活中的應(yīng)用在實(shí)際生活中經(jīng)

4、常要通過(guò)借助數(shù)軸模型使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系形象化，簡(jiǎn)單化,同時(shí)又使實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，從而運(yùn)用絕對(duì)信的幾何定義求解.一般地，設(shè) a,a3,an是數(shù)軸上依次排列的點(diǎn)表示的有理數(shù)，對(duì)于x-a1 +|x-a2 +|x -an則:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此式在x= an 卡時(shí)取最小值;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，此式在an <x< a21時(shí)取最小化 2【名題精講】賽占1八、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)2017 20162016 20152015 2014”13-22+ -12【切題技巧】 脫去絕對(duì)值符號(hào)是絕對(duì)值化簡(jiǎn)的切入點(diǎn),而對(duì)絕對(duì)值符號(hào)中的正負(fù)性的判斷是化簡(jiǎn)的關(guān)鍵，本例若直接化簡(jiǎn)會(huì)很繁鎖，應(yīng)從|a的性質(zhì)入手，由題中條件可知，每一絕對(duì)值符

5、號(hào)內(nèi)均為負(fù)數(shù)，于是有當(dāng)2<0時(shí)2= a.【規(guī)范解答】原式=/ 11、/ 11 、/ 11、“ / .、_1. 2016-(-)-(-)-(-)- -(1)+1=2017 20162016 20152015 2014220172017【借題發(fā)揮】絕對(duì)值化簡(jiǎn)關(guān)鍵是要去掉絕對(duì)值符號(hào)，而要去掉絕對(duì)值符號(hào)，先要對(duì)絕對(duì)值符號(hào)中的數(shù)(或式)的正負(fù)性進(jìn)行判斷.去掉絕對(duì)值符號(hào)有 三種方法，本例可以由已知條件直接判斷各個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)均為負(fù)數(shù)，于是可 以利用1a1的性質(zhì)順利達(dá)到去掉絕對(duì)值符號(hào)的目的.【同類拓展】1 .有理數(shù)a, b的大小關(guān)系如圖，則上！叱+匕 的值 a -1 b 2 a b是(D )A. 0B

6、. -1C. -2D. 3賽占2 八、j絕對(duì)值的分類討論若 abc<0, a+b+c>0,且 x= a- +-b +-c ,試求代數(shù)式(1 2x)2016a lbc 2016 x+2016 的值.【切題技巧】解決本題的關(guān)鍵是對(duì)a、b、c的符號(hào)的所有可能情況進(jìn)行分類討論，由abc<0可知a、b、c中有一個(gè)或三個(gè)全為負(fù)數(shù)，又由 a+b+c>0 知a、b、c不可能全為負(fù)數(shù)，所以a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)，兩個(gè)正數(shù).【規(guī)范解答】 由abc<0,可知a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)或三個(gè)全為負(fù)數(shù)，又由a+b+c>0知a、b、c不可能全為負(fù)數(shù)，所以可得a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)，兩個(gè)正數(shù)

7、，依x的輪換性，不妨設(shè)a>0、b>0、c<0.則：x=a+P+£=1.所以原代數(shù)式的值為：(1 -2X 1)2016-2016X 1 + 2016= 1 a b 2016+2016= 1.【借題發(fā)揮】解含絕對(duì)值符號(hào)的化簡(jiǎn)求值題的關(guān)鍵，在于善于運(yùn)用已知條件去掉絕對(duì)值符號(hào)，而用分類討論法是能達(dá)到去掉絕對(duì)值符號(hào)的常用方法.在分類討論時(shí)，分類要全面、準(zhǔn)確、不失一般性.【同類拓展】已知有理數(shù)x, y, z滿足xy<0, yz>0,且x=3, y =2,z+1| =2,求 x + y + z 的值. -2賽點(diǎn) 3 求 x1 +|x-2| + x3 +|l +|x20

8、16 的最小點(diǎn).【規(guī)范解答】 由絕對(duì)值的幾何意義知1x-ai在數(shù)軸上表示數(shù)x與數(shù)a兩 點(diǎn)之間的距離，故求原式的最小值就是在數(shù)軸上找出表示 x的點(diǎn)，使它到1,2, 3,，2015, 2016的點(diǎn)的距離和最小.【規(guī)范解答】由絕對(duì)值的幾何意義可知：求原式的最小值，就是在數(shù)軸上找出表示x的點(diǎn)，使它到1, 2, 3, 2016的點(diǎn)的距離之和最小，可看出當(dāng)1008< x0 1009時(shí)，原式的值最小，把x= 1008代入原式中得：原式=1008 -11008 -2 1008 -31008-2016=1007+1006+1005+- -+1+0+1+2+3+- - 1008=2 (1+2+3+ 1007

9、) +1008【借題發(fā)揮】 (1)由絕對(duì)值的幾何意義可知如圖當(dāng)a<x<b時(shí)，xa+| xb的值最小，如圖當(dāng) x=b時(shí)，xa+xb +|x c的值最小.I, d卜，l d .* bu&幻 (2) 一般地，設(shè)a1, a2, a3an是數(shù)軸上依次排列的點(diǎn)表示的有理數(shù)，若 n 為奇數(shù)，則當(dāng)x= an書(shū)時(shí)，x -a1 +|x-a2 +HI+|x-an的值最??；若n為偶數(shù)，則 當(dāng) aan <x< an上時(shí)，x-aj +|x+HI +|x an 的值最小.122(3)在實(shí)際?；钪?，有時(shí)需借助數(shù)軸模型，使實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，從而運(yùn)用絕 對(duì)值的幾何定義解決問(wèn)題.如某公共汽車運(yùn)營(yíng)線路

10、AB段上有A B C D四個(gè)汽車站，如圖所示，現(xiàn) 在要在AB段上修建一個(gè)加油站 M為了使加油站選址合理，要求 A B G D 四個(gè)汽車站到加油站 M的路程總和最小，試分析加油站 M在何處最好？求最小 路程總和，即求M到A、B G D的距離和最小，不妨設(shè) A、B、C、D四點(diǎn)在數(shù) 軸上且分別表示為數(shù) a, b, c, d(a<c<d<b),點(diǎn)M表示的數(shù)為工，則點(diǎn) M至U A、 R C D四點(diǎn)距離和為|x-a| + x-b +|x-c + x -d|由絕對(duì)值幾何定義可求解.【同類拓展】3.某城鎮(zhèn)，沿環(huán)形路上依次排列有五所小學(xué)，它們順次有電腦15臺(tái)、7臺(tái)、11臺(tái)、3臺(tái)、14臺(tái)，為使各

11、學(xué)校里電腦數(shù)相同，允許一些小 學(xué)向相鄰小學(xué)調(diào)出電腦，問(wèn)怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的電腦總臺(tái)數(shù)最少？并求出調(diào) 出電腦的最少總臺(tái)數(shù).一小向二小調(diào)3臺(tái)，三小向四小調(diào)出1臺(tái)，五小向四小調(diào)出6臺(tái)，一小向 五小調(diào)出2臺(tái)，這樣調(diào)出的電腦總數(shù)最小數(shù)目為 12臺(tái).賽點(diǎn)4絕對(duì)值方程例4解方程x -2 +2x+1 =10【規(guī)范解答】解含絕對(duì)值符號(hào)的方程的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，這可采用“零點(diǎn)分段法”，即令x 2=0, 2x+1 = 0,分別得到x = 2, x=1用2, -1 將數(shù)軸分成三段：mV -)£才2,工2 .然后在每一段上去掉絕對(duì)值符號(hào)再求解，【規(guī)范解答】分工 一 4"，（工V2三種情況,看感門）當(dāng)J時(shí)，原方程可化為：一（工一2）一（2r+】）=10,解得J=-37-3在所給的范圉了一：內(nèi),二工=-3是原方程的新. M-（2）當(dāng)一 Jx<2時(shí),原方程可化為一5-2） + <笈+1> = 10,解得工=了V 7不是所紿的范圉一4</<2內(nèi)".上二7不是原方程的解. £ . （3）當(dāng)上22時(shí).原方程可化為；（工- 2） +0才+1）= 10 二*5,工二日在所給的熊第工多2內(nèi)=?是原方程的解.綜上所述=一3 ,工工?