2016-2017海淀高三期中練習數(shù)學理科試題及答案

1、海淀區(qū)高三年級第一學期期中練習數(shù)學(理科)2016.11本試卷共4頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上 作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題共40分)、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項。1.已知集合 A=xx>2, B =x(x1)(x3) <0,則 aP1B =A. xx 1B. x 2 ：x <3 C. x 1 ： x ： 32 .已知向量 a =(T2), b =(2, -4),則 a 與 bA.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向。2 3 .函數(shù)y =

2、2 +的最小值為2xA. 1B. 2C. 2 224 .已知命題p:二CA0,方程x x+c=0有解，則p為D. xx>2 或 x<1D.平行且反向D. 4A. Vc>0,方程 x2 x+c=0 無解2B. Vcw0,萬程x x+c=0有角軍C.三ca0,方程x2x+c = 0無解2D.二cW0,萬程 x x+c=0有解A. f(x)是偶函數(shù)C.是函數(shù)f(x)的一個周期2. 一 .3B.函數(shù)f(x)最小值為-4D.函數(shù)f (x)在(0)內是減函數(shù)，2x8 .如圖所不，A是函數(shù)f(x)=2的圖象上的動點，過點 A作直線平 行于x軸，交函數(shù)g(x)=2x羋的圖象于點B,若函數(shù)f(

3、x)=2x的圖 象上存在點C使得iABC為等邊三角形，則稱A為函數(shù)f(x)=2x上 的好位置點.函數(shù)f(x)=2x上的好位置點的個數(shù)為A. 0B. 1C. 2D.大于 2第二部分(非選擇題 共110分)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9 .已知數(shù)列an的前n項和Sn =3n +1 ,則a2 +%=10 .若角日的終邊過點P(3, -4),則sin(日句=.、”-，口，一一一 iTT11 .已知正萬形ABCD邊長為1, E是線段CD的中點，則AE，BD =.一.一,一一 兀 兀12 .去年某地的月平均氣溫 y (C)與月份x (月)近似地滿足函數(shù) y = a+bsin(x+) ( a,

4、 b 66為常數(shù)).若6月份的月平均氣溫約為 22 C, 12月份的月平均氣溫約為 4C,則該地8月份的月平均氣溫約為 C.,2x -a,x< 1, 口 .、13 .設函數(shù) f(x)=/,(a A0 且 a=1).logax,x 1,3右a =q ,則函數(shù)f (x)的值域為；若f(x)在R上是增函數(shù)，則 a的取值范圍是 .14.已知函數(shù)f(x)的定義域為R . Va,bw R,若此函數(shù)同時滿足:當 a +b =0時有 f (a) + f(b) =0 ；當 a +b >0時有 f (a) + f(b) >0 , 則稱函數(shù)f(x)為復函數(shù).在下列函數(shù)中：1°,x=0,

5、y =x+sinx ; y = 3x _(一)x ； y =413一一，x : 0x是G函數(shù)的為.(填出所有符合要求的函數(shù)序號)、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。15 .(本小題滿分13分)已知數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn平bn=3n ,且b2 =18,b3=24.(I)求數(shù)列an的通項公式；(n )求bn取得最小值時n的值.16 .(本小題滿分13分)已知函數(shù) f(x) =cos(2x -g) -cos2x.(I )求f (；)的值；(n )求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間17 .(本小題滿分13分)已知函數(shù) f(x)=x39x,函

6、數(shù) g(x)=3x2+a.(I)已知直線l是曲線y=f(x)在點(0, f (0)處的切線，且l與曲線y = g(x)相切，求a的 值；(n)若方程f(x) =g(x)有三個不同實數(shù)解，求實數(shù) a的取值范圍.18 .(本小題滿分13分)如圖，MBC是等邊三角形，點 D在邊BC的延長線上，且 BC = 2CD , AD =".(I )求CD的長；(n)求 sinBAD 的值.19 .(本小題滿分14分)已知函數(shù) f (x) =ex(x2 ax a).(I )求f (x)的單調區(qū)間；(n)求證：當a>4時，函數(shù)f(x)存在最小值.20 .(本小題滿分14分)已知數(shù)列%是無窮數(shù)列，滿

7、足 lgan+ =|lgan -lgan| ( n =2,3,4,111)(I )右 a1 2,a2 =3 ,求 a3,a4,a5 ；(n)求證： 數(shù)列4中存在ak(k= N )使得lgak=0”是“數(shù)列an中有無數(shù)多項是1的充要條件;I、_. - - -*（出）求證：在數(shù)列an中二ak（k n N ）,使得1 w ak <2.海淀區(qū)高三年級第一學期期中練習參考答案數(shù)學（理科）2016.11閱卷須知：1 .評分參考中所注分數(shù)，表示考生正確做了該步應得的該步驟分數(shù)。2 .其它正確解法可以參照評分標準按相應步驟給分。一、選擇題（本大題共 8小題,每小題5分，共40分）題號12345678答案

8、BDCACCDB二、填空題（本大題共 6小題，每小題5分，有兩空的小題，第一空 3分，第二空2分,共30分）9.244110.511.212.3113.（一二, *巧;a > 2214.（第13題，第一空3分，第二空2分.第14題，選錯0分；漏選3分；全選對5分）三、解答題（本大題共6小題，共80分）15.（本小題滿分13分）解：（I） 法一：設等差數(shù)列aj的公差為d ,因為 bn + -bh =an ,所以 a2 =b3 -b2, 1 分=-24 （-18） 62所以數(shù)列an的通項公式為 an = a2 +（n 2 K 2 分= 2n10.1 分法二：設等差數(shù)列an的公差為d ,因為

9、bn + bn =an ,所以 a2 =b3 b2= -24 -（-18） = -6 , 3 分所以 a1 =a2 -d = -8 , 1 分所以數(shù)列an的通項公式為 an=ai+（n_1）d =2n_10.2分（n）法一：因為 bn 千 _bn =an ,所以 b2 -b =現(xiàn)，b3-b2 =a2 , b4-b3=a3,，bn-bn=an1 分將上面n-1個等式的等號兩邊分別相加，得 bn -h =a a2 a3 川 an（n 1）所以 bn = biaia2a3III ama2 -an 1 n-2=b2 22=n -11n-1分1分又因為 b1 =b2 _a1 = _10符合上式， 1 分

10、g、一 2 一 111 ；111 Y - J、所以 bn=n -11n=n(n - N )2 21 分當n =5或n =6時，bn取得最小值 b =b6 =-30 .2 分法二：因為 bn + -bn =an ,所以 b2b =& ,b3-b2=a2,b4-b3=a3,.1所以bn =61 an A所以 bn =b1A a2 a3 III an(n 1)a2an A n-2=b2 122=n -11n1又因為“=b2a=10符合上式，1所以bn= n2-11n4n-f-|-I22*(n N )1 分當n =5或n =6時，bn取得最小值 a =b6 =-30 .2 分法三：因為 bn

11、+ -bn =2n-10 ,所以，當 n <5 時，有 bn由-bn <0 ,即 b1 >b2 >鳥 >b4 >b5 ; 2 分當 n =5 時，有 bn + -bn =0 ,即 b6 =b5; 1 分當 n >5 時，有 bh+ -bn >0 ,即 b6 <b7 <b8 <|U .2 分所以n =5或n =6時，”取得最小值b§ =b6 = -30 .16.（本小題滿分13分）解:所以"3）=皿932K-cos -3,、L,、，汽(I)因為 f(x) =cos(2x一)cos2x, 3（兩個三角函數(shù)值各 2

12、分）=1.一、，一Tt(n)因為 f(x) =cos(2x - -) -cos2x= cos2xcos sin2xsin- -cos2xf Q= sin! 2x - 6所以f （x）的最小正周期T =紅=C2函數(shù)y =sin x的單調增區(qū)間為.|2kTt _ ,. Tt,式一一，2kn，一 (k Z).22由 2kn一W2xW2kn+ , k匚 Z,（沒有k范圍，扣1分）所以f（x）的單調增區(qū)間為.IkTt ,kn+(k匚 Z)一 6317.（本小題滿分13分）解:(I)因為 f (x) =x3 -9x ,所以 f (0)=0 , f '(x) =3x2 9 ,所以f=-9,所以直線l

13、方程為y = -9x .1 分設直線l與曲線y=g(x)相切于點(x0,-9x0),3又 g (x) =6x ,所以 g (xo) =6x0 = 9 ,斛仔 xo , 1 分2一一 32727. 一 27又 g(%) =-9% ,即 g() = +a =,解得 a = .1 分2424(n )記函數(shù) F (x )= f (x) -g(x) =x3 -3x24221 271F(-a -2 )=(-a -2 a +7a +1)aW-a _2 a = .a+ - < 0 ,且 24-a - 2 -一二，-1 i, (或者：因為當 xt 依時，F(xiàn)(x)T f 當xt ho時，F(xiàn)(x)T g) 1

14、 分5-a 0所以方程f (x) = g(x)有二個不同頭數(shù)解的條件為W, 2分27 - a ：二 0解得27<a<5.1 分綜上，實數(shù)a的取值范圍為-27 <a <5.18.(本小題滿分13分)解：(I )法一： 因為 MBC是等邊三角形，且 BC =2CD , 所以 AC =2CD , ZACD =120'2 分 -9x-a , xw R .F x =3x2 -6x 9 =3 x3 x 1 ,19 c 口0 0 0 ,且4由 F '(x )=0 解得 x =3 ,或 x = 1.1 分F'(x), F(x)的變化情況如下:3+00+極大值5-

15、a極小值27 a3 分又因為 F a2 5 = a2 5 a4 7a2 1 -a_a2 5-a =2_a +5 仁(3, +*)；在MCD中，由余弦定理得2_ 2_2_AD =AC +CD -2AC CDcosZACD , 3 分2_2_所以 7 =4CD2 +CD2 4CD CDcos120°1 分解得CD=1.1 分法二：因為 MBC是等邊三角形，且 BC=2CD ,所以 AB =2CD , BD =3CD , /ABC =60：2 分在MBD中，由余弦定理得AD2 =AB2 +BD2 -2AB BD cos/ABC , 3 分所以 7=4CD2 +9CD2 -12CD CD c

16、os6001 分解得CD=1.1 分法三： 取BC中點E ,連接AE .1 分在等邊三角形AABC中，0A1 | 11AE _L BC , AEBC ,-22 分1 111 1 II 1設 CD =x ,則 BC=2x，-1 分BEeD所以 AE=73x, DE =2x , 1 分在直角三角形MED中,2222-AD2 =AE2 +DE2 =7x2 =7 , 1 分解得x =1 ,即CD =1.1 分(n)在 AABC 中，BD=3CD=3, 1 分由正弦定理，有一BD= AD , 3 分sin - BAD sin -BBDsin/B 313.21所以 sin /BAD2 分=3 =AD2、7

17、1419.（本小題滿分14分）解：(I)函數(shù) f (x) =ex(x2 + ax+a)得f (x) =ex(x2+ax+a)+ex(2x+a)1 分=ex x2 +(a +2 Jx+2a I1 分=ex (x +2 I x +a ),由 f '(x)=0 解得 x = -2 ,或 x = _a , 1 分 當一a =-2 ,即 a =2 時，fx) =ex(x+2)2 之 0 恒成立，所以函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(q,依c)； 1 分當a> 2,即a <2時，f'(x), f(x)的情況如下：002 分當a< 2,即a >2時，f'(x), f

18、(x)的情況如下：002 分綜上，當a =2時，函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(q,比C)；當a <2時，函數(shù)f(x)的 單調增區(qū)間為(的，2), (a,+00),單調減區(qū)間為(2,a);當a>2時，函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(2a), (2,+比)，單調減區(qū)間為(a,2).-1分(n )法一：由(I)可知，當 a >4時，函數(shù)f (x)在xw a,十厘)上f(x) > f (-2),2且 f (-2) =e (4 -a)< 0.2 分因為a >4 ,所以，當 xE(-°°, -a)時，x(x + a)>0, ex >0 ,所以，

19、當 x=(-*，-a)時，f (x) =ex (x2+ax+a) = exx(x+ a)+a >0所以，當a > 4時，函數(shù)f(x)存在最小值f(N).1 分法二：由(I)可知，當 an 4時，函數(shù) f (x)在 xw a,+*) ± f (x)> f (二)，且 f(-2)=e-(4 -a) < 0.2 分當 xt-qc時，x2+ax + aT - ,所以當 xt - 時，f (x)>0 , -1 分由(I)可知，函數(shù) f (x)在(_oo,_a)上是增函數(shù)，所以當 xw (，a)時，f (x) >0 .1 分所以，當a >4時，函數(shù)f(x

20、)存在最小值f (-2).1 分法三：由(I)可知，當 a>4時，函數(shù)f (x)在xw a,f)上f (x)> f(-2),且 f(-2)=e-(4 -a) < 0.2 分因為當a>4時， = a24a>0,所以x2+ax+a =0有兩個根-a - a - 4a -a ' a a -4ax1 =? x2 =?22由二次函數(shù)性質可知當x<x1時，x2 +ax+a>0, 1 分又因為-a - a - 4a -a - . ax1 =>= -a ,22所以當x£ (-°°,-a)時,f(x) 0 .所以，當a >

21、;4時，函數(shù)f(x)存在最小值 f(2).1 分20.(本小題滿分14分)解：(I)因為 a =22 =3, lgan+=|lganlgan| (n=2,3,4，川)3 一3所以 lg a3 弓 lg3 lg2 | =lg ，即 a? = 3 ; 1 分3一一所以 lg84=|lg - -lg3| =lg2 , 即 a4=2 ； 1分34一 4所以 lga5=|lg2 -lg 一 |=lg ，即 a5=一 .1分233(n)必要性：已知數(shù)列an中有無數(shù)多項是1,則數(shù)列4中存在akw N )使得lgak =0.證明：因為數(shù)列an中有無數(shù)多項是1,所以數(shù)列an中存在ak( k w N )使得ak=

22、1 ,所以數(shù)列an中存在ak( k w N )使得1g ak = 0 .1 分充分性：已知數(shù)列an中存在ak(k W N )使得1g ak =0 ,則數(shù)列an中有無數(shù)多項是1. 1 分(注：此處1分是給在“學生能夠將充要性的證明分成兩個條件與結論清楚的兩 個命題來證明”)法一：充分性證明：假設數(shù)列an中沒有無數(shù)多項是 1,不妨設am=1(mw N )是數(shù)列an中為1的最后一項，則am¥。1 ,若 am+ >1 ,則由 1g an4 qig an -1g an| ( n =2,3,4,|)可得 1g am書=1g am卡 ,所以1g am與 qigam電igam書|=0 ,所以a

23、m書=1,這與假設矛盾； 2分若 0 <am+ <1 ,則由 1gan+ =|1g an -1gan| ( n =2,3,4,川)可得 1g am書=1g am,所以 1g am 書=|1g am七-1g am由 |=-21g am+,所以 1g am書=|1g am書一1g am也 |=|-21g am由+1g am書 |=-1g am + ,所以 1g am由 =| 1g am* 1gama |=|Tg am由 +21g am書 |=-1g am -所以 1g am” 1g am* -1g am書 |=0,所以am七=1 ,這與假設矛盾.2 分綜上，可知假設不成立，所以原命題正

24、確.由可知，“數(shù)列 Q中存在ak(kW N*)使得1gak = 0”是“數(shù)列小中有無數(shù)多項是1”的充要條件.法二：充分性證明：設 bn=1gan ,則bn+=|bnbn| ( n = 2,3,4,111),待證命題即：已知數(shù)列bn中存在bk(ku N )使得bk =0 ,則數(shù)列8中有無數(shù)多項是0.若 bk =0(k=2,3,4j|),由 bn + Hbn bn| (n =2,3,4川|)可得 上子)0, (k=2,3,4,|),且 bkbk,所以 b<3 | bk 2 - bk 1 | = 0 .循此可推證 bk書m =0 (mW N)； 2 分若bi =0 ,當b2)0時，b3 =b2

25、,所以b4 =0 ,由證明可知 bk中m =0 (mW N)； 1 分當 b2<0 時，b3=劣2,所以b44b3bz|=2b2,所以b5 =|b4 -b3 |=b2 ,所以 b6 Mb5-b41=-b2,所以 b7 =|b6 -b51=0 ,由證明可知bk書m=0 (mW N) .1 分所以數(shù)列bn中有無數(shù)多項是0.(出)法一：證明：假設在數(shù)列an中,不存在ak(kw N )滿足1 & ak <2 ,貝 U 0<ak <1 或 ak >2 ( k=1,2,3,|).由 lgan書 Wlgan lgan| ( n = 2,3,4，川)可得,廣an>,

26、an > an，an+ = ?(n=rr1所以 maxa2mH3,a2mG 0 ；"bm，即 bm+&；bm(m=1,2,3,|), 23,4,H|) *,且0 ( n = 1,2,3,| H),一，an ：二4二， .an所以當n >2時，an >1.所以 an > 2( n =3,4,5,|) .1分若 a4 =a3>2 ,貝U a5 =1與 a5>2矛盾； 1分an A o .o育 a4¥ a? n 2 ,設 bm =maxa2m+，a2m/ ( m =1,2,3, III),則 %>2 .由(*)可得，a2m () maxa2m,a2m. =1bm, a2m七 0 g max a2m 岳 a2m 令222所以bm 0m，2 分對于b1 ,顯然存在l使彳導2l-< b, <2l ,所以9八