2020年高考數(shù)學一輪復習考點題型課下層級訓練47橢圓——直線與橢圓的綜合問題含解析

1、c45,23=31x-y+5=0,弦的中點坐標是 M4,1）,則橢圓課下層級訓練（四十七）直線與橢圓的綜合問題A 級基礎(chǔ)強化訓練1.已知Fi（1,0）,F2（1,0）是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于 A,B兩點，且|AE|=3,則 C 的方程為(Ax22,A.y+y=122_xyCZ+3=122rxyD-3+4=1【答案】C設橢圓C的方程為22，+b2=1（ab0）,則 c=1.因為過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于 A,B兩點，且|AB=3,所以一=b2=a2c2,a2所以a2=4,b2=a2c2=41=3,橢圓的方程為+=1.43222.（2019山東棗莊檢測）過橢

2、圓x+y=154的右焦點作一條斜率為 2 的直線與橢圓交于A,B兩點，O為坐標原點，則4OAB勺面積為（）_5B35C-41022e,2+3=1，.【答案】B由題意知橢圓的右焦點F的坐標為（1,0），則直線AB的方程為 y=2x2.聯(lián)立54解y=2x2,544-1得父點坐標為（0,2）,3,3,不妨設 A 點的縱坐標 yA=2,B 點的縱坐標 yB=-,/.SOAAIOF-IyA的離心率是（）5D-T代入 k=1,4.已知橢圓設直線與橢圓交點為A（xbb21M-4,1),解得 7=4，e=E的左、右焦點分別為FI,y1）,”,y2）,分別代入橢圓方程，由點差法可知b2yM=一a2kxM,E,過

3、F1且斜率為 2 的直線交橢圓E于P,Q兩點，若PFF2為直角三角形，則橢圓E的離心率為()C.|P4tan/PFE=2,.DCl=2,又|PF|+|PR|=2a,|PF|1PF|=|PF|=.根據(jù)勾股定理得工2+2=(2c)2,所以離心率3=-=七-.3333a35.(2019山東濟寧模擬)已知橢圓C、+*=1(ab0)及點B(0,a),過點B與橢圓相切的直線交x軸的負半軸于點 AF為橢圓的右焦點，則/ABF=()A.60B.90C.120D.150y=kx+a,【答案】B由題意知，切線的斜率存在，設切線方程y=kx+a(k0),與橢圓方程聯(lián)立，x2y2消02+b2=1去y整理得(b2+a2

4、k2)x2+2ka3x+a4-a2b2=0,由 A=(2ka3)24(b2+a2k2)(a4a2b2)=0,2一c.c一a得 k=a，從而 y=p+a 交 x 軸于點 A(-,0),又F(c,0),易知BABF=0,故/ABF=90.22，一xy6.已知橢圓C：入+/=1,點M與C的焦點不重合.若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A,B,線段MN勺 94中點在C上，則|AN+|BN|=.【答案】12設MN皮橢圓于點P,連接FIP和ER其中FI、F2是橢圓C的左、右焦點)，利用中位線定理可得|AN+|BN=2|FIP|+2|F2P=2X2a=4a=12.7 .P為橢圓 x+y=1 上的任意一點，AB為

5、圓 C:(x-1)2+y2=1 的任一條直徑，則鬲-PB的取值范圍是98D.【答案】A由題意可知，/FiPF2是直角，且2-CA=|PC|23-I,顯然|PjCac,a+c=2,4，所以 PvPB=|PC|2-13,15.皿x2y28.橢圓 r：孑+3=1（2130）的左，右焦點分別為Fi,F2,焦距為 2c.若直線 y=、/3（x+c）與橢圓 r 的一個交點M滿足/MFF2=2/MFFi,則該橢圓的離心率等于.【答案3-1直線 y=y3（x+c）過點 Fi（-c,0）,且傾斜角為 60,22.橢圓C的方程為卜%1所以/MFF2=60,從而/MFR=30,所以MF，MF.在 RtMFE中，|M

6、F|=c,|MF|=x3c,所以該橢圓的離心率22（2019山東濟南模擬）已知橢圓C：%立=1（2此0）的離心率為求橢圓C的方程;22x-1,22由84消去y得，3x+4m奸2m-8=0,y=x+m=968m20,2 后 m：2V3.丁點Mx0,y0)在圓x2+y2=1 上,2m2m2.,353+3=1，T-x2210.如圖，已知橢圓萬+y2=1 的左焦點為F,O為坐標原點，設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G求點G橫坐標的取值范圍.（2）設點AB的坐標分別為（x1,y1）,（x2,y2），線段AB的中點為Mx。，y0）,考,其中左焦點為F（-2,0

7、）.9.(2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點M在圓x2+y2=1上，求m的值.【答案】解（1）由題意，得c=2,a2=b2+c2,a=22,b=2.A,2【答案】解設直線AB的方程為y=k(x+1)(kw0),代入 5+y3=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k22=0.因為直線AB過橢圓的左焦點F,所以方程有兩個不等實根，記A(X1,y。，口地，y?),AB中點Nx,y),則，X0=2(x+X2)=2k2+1，y0=k(X。 +1)=2k2+1，1所以AB的垂直平分線NG勺方程為y-y0=-(X-X0).k32所求橢圓方程為X6+4=1.(2)由題得

8、直線l的斜率存在，設直線l方程為y=kx+1,y=kx+1,貝U由x2y2得(1+4k2)x2+8kx12=0,且0.一十一=1164設A(X1,yO,RX2,yz),則由若壽=2MB得X1=-2X2,2k2令y=0,得XG=X0+ky0=2k2k2Z727+7-272k+12k+1k22k2+1=2+4k2+2，一，,1,一，一，1因為 kw0,所以一 2XGb0),因為。=2 小.e=a=,所以a=4,b=2,一 4+2m=0,所以一 4+2mp0,所以 mp2.1+2kp,8k又x1+x2=；7J-2)1+4k12x1x2.2)1+4k8k所以x2=EF-2x2三1+4k所以直線l的方程

9、為y=-1yx+1.2212.(2019山東東營月考)已知橢圓+著=1(2*0)過點(0,1),離心率e(1)求橢圓的方程;(2)已知點Rm,0),過點(1,0)作斜率為k(kw0)直線 l,與橢圓交于MN兩點，若x軸平分/MPN求m的值.【答案】解(1)因為橢圓的焦點在x軸上，過點(0,1),離心率e=乎，所以b=1,c=2a2所以由a2=b2+c2,得a2=2,所以橢圓C的標準方程是(2)因為過橢圓的右焦點F作斜率為k直線I,所以直線l的方程是y=k(x-1).y=kx1聯(lián)立方程組x222+y=1消去 V，得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,顯然A0,設點Mx1,y。，N(x1

10、,y1),所以4k2x1+x22,*僅2=1+2k2k2-21+2k2因為x軸平分/MPN所以/MPR/NPO所以kM葉kNP=0,所以y1y2加，=0，所以y4x2m+y2(x1nj=0,所以k(x11)(x2m+k(x21)(x1-n)=0,所以2kx1x2-(k+km)(x+x2)+2kmp0,所以2k2-24k22-172(1172+2m0所以x2y2113. (2019山東德州模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓了+合 1(220)的離心率為過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當直線AB斜率為 0 時，AB=4.12.12+1kICD=43+k212k2+112k2+1

11、84k2+1248所以1AB+1CD=3+4/+3k2+4=3+4k23k2+4=Y，解得k=1,所以直線AB的方程為 x-y1=0 或 x+y1=0.14. (2019 湖北荊州模擬)已知橢圓C：當+當=1(ab0)的離心率為；，且橢圓C過點 1,3,直線lab22過橢圓C的右焦點F且與橢圓C交于MN兩點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知點 R4,0),求證：若圓Q：x2+y2=r2(r0)與直線PMf切，則圓Q與直線PN也相切.(1)求橢圓的方程;4_48(2)若|AB+|CD=,求直線AB的方程.【答案】解(1)由題意知 e=c=2a=4.又a2=b2+c2,解得 a=2,a2b=、

12、/3,所以橢圓方程為 t+t=1.43(2)當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為 0 時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB+|CD=7,不滿足條件.當兩弦所在直線的斜率均存在且不為 0 時，設直線AB的方程為y=k(x1),A(xi,yi),B(x2,y2),1則直線CD勺萬程為y=m*1).將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,.2.2皿 8k4k12貝UXI+x2=3+4k2,XI-x2=3+4k2，所以|AB=k2+1|XIX2|k2+1-XI+x2212k2+14XIX223+4k同理,12k2+13k2+4【答案】(1)解設橢圓C

13、的焦距為 2c(c0),依題意22故橢圓C的標準方程為2=1.(2)證明當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=1,MN兩點關(guān)于x軸對稱，點P(4,0)在x軸上，所以直線PM與直線PN關(guān)于x軸對稱，所以點O到直線PMW直線PN的距離相等，故若圓Q：x2+y2=r2(r0)與直線PMt目切，則也會與直線PN相切；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k(x-1),M1,y1),N(x2,丫4,y=kx-1,由x2y2得(3+4k2)x28k2x+4k212=0,+=14 十 31kXI1kX21kPM+kPN=-+-XI4X24k2XIX25X1+X2+8XI4X24一228k2440kk3+4k23+4k2+8=OXI4X24所以，/MP今/NPO于是點O到直線PM與直線白距離PN相等，故若圓Q：x2+y2=r2(r0)與直線PMt目切，則也會與直線PN相切；綜上所述，若圓Q：x2+y2=r2(r0)與直