雙星模型三星模型四星模型專(zhuān)練

1、雙星模型、三星模型、四星模型專(zhuān)練1、天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱(chēng)為 雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特 征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為 T,兩顆恒星之間的距離 為，試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。（引力常量為 G）2、神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 .天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫 云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了 LMCX3雙星系統(tǒng)，它由可見(jiàn)星 A和不可見(jiàn)的暗星B構(gòu) 成，兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響.A、B圍繞兩者連線上的0 點(diǎn)

2、做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖4-2所示.引力常量 為G,由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星 A的速率v和運(yùn)行周期T.(1)可見(jiàn)星A所受暗星B的引力Fa可等效為位于。點(diǎn)處質(zhì)量為m '的星 體(視為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為mi、m2,試求m ' (用m 1、m2表示).(2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見(jiàn)星A的速率V、運(yùn)行周期T和質(zhì)量rm 之間的關(guān)系式；(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量 ms的2倍，它將有可能 成為黑洞.若可見(jiàn)星A的速率v=2.7 X105 m/s，運(yùn)行周期T=4.7 %X1O4 s,質(zhì)量m i=6m s,試通過(guò)估算來(lái)判斷暗星B有可能是黑洞嗎？

3、(G=6.67 XW11 N m2/kg 2, m s=2.0 X1O30 kg )3、天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此相距較近的行星稱(chēng)為雙星，它們?cè)谌f(wàn)有引力作用下間距始終保持不變，并沿半徑不同的同心軌道作勻速園周運(yùn)動(dòng)，設(shè)雙星間距為L(zhǎng),質(zhì)量分別為Mi> M2,試計(jì)算(1)雙星的軌道半徑(2)雙星運(yùn)動(dòng)的周期。5、宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三4、如右圖，質(zhì)量分別為 m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L(zhǎng)。 一 、工一4工八口"/'已知A、B的中心和O二點(diǎn)始終共線，A和B分別在 /,、O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。

4、工”/、 求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。 在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B,月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為 Ti。但在近 似處理問(wèn)題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98 Xi0 24kg和7.35 乂10 22kg。求T2與Ti兩者平方之比。(結(jié)果保留3位小數(shù))星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用.已觀測(cè)到穩(wěn)定的三 星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩 顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌

5、道運(yùn)行.設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為 m.(1)試求第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度和周期.(2)假設(shè)兩種形式下星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，第二種形式下星體之間的距 離應(yīng)為多少？6、宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠(yuǎn)，通常可忽略其他星體對(duì)四星系統(tǒng)的引力作用.已觀測(cè)到穩(wěn)定H 四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長(zhǎng)為 a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 其運(yùn)動(dòng)周期為B ;另一種形式是有三顆星位于邊長(zhǎng)為 a比等邊三角形應(yīng) 三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行， 其運(yùn)動(dòng)周期為4, 而第四顆星剛好位于三角形的兄心不動(dòng).試求兩種形

6、式下，星體運(yùn)動(dòng)的同 一、，工期N比T .T2恒星質(zhì)量M與外側(cè)恒星質(zhì)量m的比值里m7、宇宙中存在一些離其它恒星很遠(yuǎn)的四顆恒星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用，穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在多種形式，其 中一種是四顆質(zhì)量相等的恒星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正 方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；另一種四顆恒星始終位于同一直線 上，均圍繞中點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng).已知萬(wàn)有引力常量為 G,求：(1)已知第一種形式中的每顆恒星質(zhì)量均為m, 正方形邊長(zhǎng)為L(zhǎng),求其 中一顆恒星受到的合力；(2)已知第二種形式中的兩外側(cè)恒星質(zhì)量均為 m、兩內(nèi)側(cè)恒星質(zhì)量均答案1、解、設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為 mi、m2,做圓周

7、運(yùn)動(dòng)的半徑分別為1、2,角速度分別為31、32。根據(jù)題意有01 =切2r1 + r2 = r根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓定律，有G m1lm2 = m1 W12 r1r為M,四顆恒星始終位于同一直線，且相鄰恒星之間距離相等.求內(nèi)側(cè)2(2)由牛頓第二定律，有6呼=日上rri聯(lián)立以上各式解得而可見(jiàn)星A的軌道半徑rim2rmim2將小加代入上式解得一 33m2v T根據(jù)解速度與周期的關(guān)系知2 二1 =2 = 1聯(lián)立式解得33T將mi = 6ms代入上式得T黑3代入數(shù)據(jù)得后之兩二3.5msA、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為 由牛頓ms = 3.5msm23_ n(6msm2(6 . i)2nmi m2

8、 J1 r3T2G2、解析：設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為1白，由題意知,設(shè)m2 = nms(n。),將其代入上式得76m=武ms = 3.5ms n運(yùn)動(dòng)7E律，有 FA - miW ri , FB - m2W r2 , FA - FB設(shè)A、B間距離為r ,則=口+23可見(jiàn),屋上的值隨力的增大而增大,試令n=2,得由以上各式解得r =mim2rim2ms = 0.i25ms 二 3.4ms可見(jiàn)，若使以上等式成立，則在必大于2,即暗星B的質(zhì)量ms必大由萬(wàn)有引力定律，有FA=Gmm2,代入得FA=Gmim22 2r(mi m2) ri于2ms,由此可得出結(jié)論：暗星 B有可能是黑洞3令Fa =6嗎;通過(guò)

9、比較得m=m22ri(mi m2).3、解析：雙星繞兩者連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即:M1M 222G=M1 , L1 =M2 , L2化簡(jiǎn)得L3T2 = 2二.:GM.Li L2 =L由以上兩式可得：Li =L'5.98 i024 7.35 i0225.98 i024= i.0i2M iM 24 ：.又由 G 12; Mi 丁 Li.L2T2得：T= 2LG(Mi M2)5、解析(i)對(duì)于第一種運(yùn)動(dòng)情況，以某個(gè)運(yùn)動(dòng)星體為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律有：4、A和B繞。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供向心力,Fi =Gm2R2Gm2F2 2(2R)2則A和B的向心力相等

10、。且A和B和。始終共線，說(shuō)明A和B有相Fi+F 2=mv 2/R同的角速度和周期。因此有mco2r=M(o2R, r+R = L, 連立解得 R = -m一L, r = M一L m Mm M對(duì)A根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得 GMm = m(空)2lL T M m3化簡(jiǎn)得 丁=2二、,G(M m)將地月看成雙星，由得1=2%L3G(M m)運(yùn)動(dòng)星體的線速度：v = GmR周期為T(mén),則有丁 2tRT=2R將月球看作繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律GMmL2二m()25GmT=4兀R3(2)設(shè)第二種形式星體之間的距離為r/2cos 30r,則三個(gè)星體做圓周忘疑陛坐益仁由于星體做圓

11、周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力靠其它兩個(gè)星體的萬(wàn)有引力的7、解：(1)對(duì)其中任意一顆恒星，它受到的合力為2 4 F合=mR- mm-_F合=G 2、. 2G(國(guó))2-2mm GmL22L2(2.2 1)12 -所以 r= (-)3R56、對(duì)三繞一模式，三顆繞行星軌道半徑均為 a,所受合力等于向心力,因此有222mm42 G cos30 +G -2=m 2- a(.3a)2a2T12(2)設(shè)相鄰兩顆恒行間距為a,四顆星總位于同一直線，即四顆 恒星運(yùn)動(dòng)的角速度仍相同，由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定 律，對(duì)內(nèi)側(cè)星M有MM Mm Mm 2 aG2G 2 -G = M 'a (2a) a2對(duì)外側(cè)星m有八 Mm 八 Mm - mm 2 3aG -2- + G2 + G2