幾種插值法的應(yīng)用與比較 學(xué)年論文

1、 幾種插值法的應(yīng)用與比擬【摘 要 】插值法是現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算中一個(gè)很重要的工具 ，在應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)等其他領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。本文對(duì)幾種插值法的方法及區(qū)別進(jìn)行了深入的探索 并對(duì)插值法在現(xiàn)代科技中的應(yīng)用做了簡(jiǎn)要的說(shuō)明?！娟P(guān)鍵詞 】插值法；拉格朗日插值；牛頓插值；三次樣條插值Interpolation Method Research and Application【Abstract】The interpolation of modem numerical calculation is an important tool in mathematics, physics, astronomy，an

2、d other fields have very important applicationsIn this paper, the application of several interpolation method and difference conducted in-depth exploration，and the interpolation method in the application of modem science and technology in a brief statement【Keywords】Interpolation Method；Lagrange inte

3、rpolation；Newton interpolation；cubic spline interpolation1   引言  在許多實(shí)際問題及科學(xué)研究中，某些變量之間的函數(shù)關(guān)系是存在的，但是這些關(guān)系的顯示表達(dá)式不一定都知道，通常只是由觀察或測(cè)試得到一些離散點(diǎn)上的函數(shù)值，所以只能從這些數(shù)據(jù)構(gòu)造函數(shù)的近似表達(dá)式，有的函數(shù)雖然有表達(dá)式，但由于解析表達(dá)式過于復(fù)雜，計(jì)算起來(lái)很不經(jīng)濟(jì)，這就需要建立函數(shù)的某種近似表達(dá)，而插值法就是構(gòu)造函數(shù)的近似表達(dá)式的方法.  由于代數(shù)多項(xiàng)式是最簡(jiǎn)單而又便于計(jì)算的函數(shù)，所以經(jīng)常采用多項(xiàng)式作為插值函數(shù)，稱為多項(xiàng)式插值.多項(xiàng)

4、式插值法有拉格朗日插值法，牛頓插值法、埃爾米特插值法，分段插值法和樣條插值法等.其根本思想都是用高次代數(shù)多項(xiàng)式或分段的低次多項(xiàng)式作為被插值函數(shù)的近似解析表達(dá)式.2拉格朗日插值法 在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國(guó)十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法。許多實(shí)際問題中都用函數(shù)來(lái)表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來(lái)了解。如對(duì)實(shí)踐中的某個(gè)物理量進(jìn)行觀測(cè)，在假設(shè)干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測(cè)值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，其恰好在各個(gè)觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值。這樣的多項(xiàng)式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式 2.1 拉格朗日插值多項(xiàng)式 在求滿足插值

5、條件次插值多項(xiàng)式之前，先考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的插值問題：對(duì)節(jié)點(diǎn)中任一點(diǎn)，作一n次多項(xiàng)式，使它在該點(diǎn)上取值為1，而在其余點(diǎn)上取值為零，即上式說(shuō)明個(gè)點(diǎn)都是次多項(xiàng)式的零點(diǎn)，故可設(shè)其中，為待定系數(shù)。由條件立即可得故 由上式可以寫出個(gè)次插值多項(xiàng)式。我們稱它們?yōu)樵趥€(gè)節(jié)點(diǎn)上的次根本插值多項(xiàng)式或次插值基函數(shù)。利用插值基函數(shù)立即可以寫出滿足插值條件的次插值多項(xiàng)式 根據(jù)條件，容易驗(yàn)證上面多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處的值為，因此，它就是待求的次插值多項(xiàng)式。形如的插值多項(xiàng)式就是拉格朗日插值多項(xiàng)式，記為，即假設(shè)有某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，它在三個(gè)點(diǎn)上的取值為：· ，· ，· ，要求的值.首先寫出每個(gè)拉格朗日根本多項(xiàng)式：；

6、然后應(yīng)用拉格朗日插值法，就可以得到的表達(dá)式為函數(shù)的插值函數(shù)：，此時(shí)數(shù)值就可以求出所需之值：.2.2 拉格朗日插值法優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)拉格朗日插值法的公式結(jié)構(gòu)整齊緊湊，在理論分析和簡(jiǎn)單應(yīng)用中十分方便，然而，當(dāng)插值點(diǎn)增加或減少一個(gè)時(shí)，原來(lái)的差值多項(xiàng)式不能利用，需要重新建立，于是整個(gè)公式都會(huì)變化，非常繁瑣。此外，當(dāng)插值點(diǎn)比擬多的時(shí)候，拉格朗日插值多項(xiàng)式的次數(shù)可能會(huì)很高，因此具有數(shù)值不穩(wěn)定的特點(diǎn)，也就是說(shuō)盡管在的幾個(gè)點(diǎn)取到給定的數(shù)值，但卻可能和實(shí)際值有很大的偏差.這時(shí)我們只能分段用較低次數(shù)的插值多項(xiàng)式. 插值法利用函數(shù)f (x)在某區(qū)間中假設(shè)干點(diǎn)的函數(shù)值，作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點(diǎn)上取值，在區(qū)間的其他點(diǎn)上用

7、這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f (x)的近似值。如果這特定函數(shù)是多項(xiàng)式，就稱它為插值多項(xiàng)式。利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項(xiàng)式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，但當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個(gè)公式也將發(fā)生變化， 這在實(shí)際計(jì)算中是很不方便的，為了克服這一缺點(diǎn)，提出了牛頓插值。3. 1牛頓插值多項(xiàng)式 牛頓(Newton)插值是數(shù)值逼近中的一個(gè)重要局部,它繼承了拉格朗日(Lagrange)插值，可以看作對(duì)多項(xiàng)式插值作了一個(gè)簡(jiǎn)單的統(tǒng)一。牛頓插值公式具有形式簡(jiǎn)單,便于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)。因此,在插值中得到廣泛的應(yīng)用。牛頓插值公式為，其中是牛頓插值多項(xiàng)式，為牛頓插值余項(xiàng)，和的表達(dá)式如下式所

8、示：可以看出牛頓插值公式余項(xiàng)更具有一般性。y=cosx函數(shù)表如下：x0.00.40.60.8cosx0.9800670.921060.825340.696710.54030利用牛頓插值法計(jì)算cos(0.3)的近似值。利用牛頓插值法計(jì)算過程如下： 解：差商表3-1中各階差商：Ak=f 表3-1fx0牛頓插值多項(xiàng)式 = 差值計(jì)算表3-2 表3-2n123456真值估計(jì)誤差，拉格朗日插值法的線性插值與拋物插值的計(jì)算過程沒有繼承性，即增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算工作必須重新開始。而牛頓插值那么防止了這一問題，這樣大量的節(jié)省了乘、除法運(yùn)算次數(shù)，減少了計(jì)算的時(shí)間。因此，對(duì)于一些結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜的函數(shù)，牛頓插值法比拉

9、格朗日插值法要占優(yōu)勢(shì)。4. 三次樣條插值前面介紹到的幾種插值法只適用于光滑性要求不高的插值問題，但在某些領(lǐng)域，例如船體的外形設(shè)計(jì)，飛機(jī)的機(jī)翼外形設(shè)計(jì)等對(duì)型值線的光滑性要求較高，往往要求具有二階光滑度即要求插值函數(shù)具有連續(xù)的一階，二階導(dǎo)數(shù)。它既保存了分段低次插值多項(xiàng)式的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性。今天，樣條插值方法已成為數(shù)值逼近的一個(gè)極其重要的分支，在許多領(lǐng)域里得到越來(lái)越多廣泛應(yīng)用。給定區(qū)間上的個(gè)節(jié)點(diǎn)和這些點(diǎn)上的函數(shù)值 假設(shè)滿足：1；2在每個(gè)小區(qū)間上至多是一個(gè)三次多項(xiàng)式；3在上連續(xù)。那么稱為函數(shù)關(guān)于節(jié)點(diǎn)的三次樣條插值函數(shù)。優(yōu)點(diǎn)：分段線性插值的優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、收斂性有保證且易在計(jì)

10、算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。缺點(diǎn)：它只能保證各小段曲線在連接點(diǎn)的連續(xù)性，卻無(wú)法保證整條曲線的光滑性，這就不能滿足某些工程技術(shù)的要求。插值法是函數(shù)逼近的一種重要方法，它是是數(shù)值計(jì)算的根本課題.由于多項(xiàng)式具有形式簡(jiǎn)單，計(jì)算方便,邏輯性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，故本文主要介紹拉格朗日插值，它的時(shí)，公式必須整個(gè)改變，計(jì)算起來(lái)工作量大。由于這種缺點(diǎn)，我們更進(jìn)一步探討的是牛頓插值法，牛頓(Newton)插值是數(shù)值逼近中的一個(gè)重要局部。牛頓插值法繼承了拉格朗日(Lagrange)插值，它具有公式形式簡(jiǎn)單,便于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)。因此,在插值中得到廣泛的應(yīng)用。但是在實(shí)際生活中，某些領(lǐng)域，對(duì)曲線的光滑性要求較高，往往要求具有二階光滑度即要求插值函數(shù)具有連續(xù)的一階，二階導(dǎo)數(shù)。這時(shí)，牛頓插值法就顯示出了缺乏，在此，我們又探究了三次樣條插值法，它既保存了上述兩種插值多項(xiàng)式的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性三次樣條插值法是最常用的方法，它是整個(gè)插值區(qū)間上可保證具有直到二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性.用它來(lái)求數(shù)值微分、微分方程數(shù)值解等，都能起到良好效果.參考文獻(xiàn)1易大義，陳道琦，數(shù)值分析引論，浙江大學(xué)出版社2002