(完整版)等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)(學(xué)生版)

1、等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)回顧與技巧點(diǎn)撥1等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d 表示2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列 n 的首項(xiàng)是1，公差是，則其通項(xiàng)公式為an1( 1)d ( ).aadann m d p3等差中項(xiàng) x y如果三個(gè)數(shù)x， ，組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng)，如果A是x和y的等差中項(xiàng)，則.A yA24等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1) 通項(xiàng)公式的推廣： an am ( n m) d( n， m N* ) (2) 若 an 為等差數(shù)列，且 mn p q，

2、則 am an ap aq( m， n， p， qN* ) (3) 若 an 是等差數(shù)列，公差為 d，則 ak ，ak m， ak 2m，(k， mN* ) 是公差為 md的等差數(shù)列(4) 數(shù)列 Sm， S2m Sm， S3m S2m，也是等差數(shù)列(5) S2n 1(2 n 1) an.nd(6)若 n 為偶數(shù)，則 S 偶 S 奇 2 ；若 n 為奇數(shù)，則 S 奇 S 偶 a 中 ( 中間項(xiàng) ) 5等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式n a a若已知首項(xiàng) a1和末項(xiàng) an，則Sn1n2，或等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)是 a1，公差是 d，則其前 n 項(xiàng)和公式為 Sn1 n n1.na2d6等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公

3、式與函數(shù)的關(guān)系S2n2n，數(shù)列 a 是等差數(shù)列的充要條件是S AnBn( A B為常數(shù))n d 2 a1dnn2，7最值問(wèn)題在等差數(shù)列 an 中， a1 0， d0，則 Sn 存在最大值，若a1 0， d 0，則 Sn 存在最小值一個(gè)推導(dǎo)利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式：Sn a1 a2a3 an，Sn an an1 a1，na1 an得： Sn.2兩個(gè)技巧已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問(wèn)題，要善于設(shè)元(1) 若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a 2d， a d， a， a d， a 2d，.(2) 若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a 3d，a d，ad，a 3

4、d，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元四種方法等差數(shù)列的判斷方法(1) 定義法：對(duì)于 n2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證 an an 1 為同一常數(shù)；(2) 等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證 2an 1 an an 2( n3， n N* ) 都成立；(3) 通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證 an pnq；(4) 前 n 項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證SnAn2 Bn.注：后兩種方法只能用來(lái)判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來(lái)證明等差數(shù)列1回顧：1已知等差數(shù)列 a n 中， a3=9， a9=3，則公差 d 的值為（）AB 1CD 12已知數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式是an=2n+5 ，則此數(shù)列是（）A 以 7 為首項(xiàng)，公差為2 的等差數(shù)列B 以 7 為

5、首項(xiàng)，公差為5 的等差數(shù)列C 以 5 為首項(xiàng)，公差為2 的等差數(shù)列D 不是等差數(shù)列3在等差數(shù)列 a 中， a =13 ， a =12，若 a =2，則 n 等于（）n13nA 23B24C 25D 264兩個(gè)數(shù) 1 與 5 的等差中項(xiàng)是（）A 1B 3C 2D5（ 2005?黑龍江）如果數(shù)列 a n 是等差數(shù)列，則（）A a1 +a8 a4+a5B a1+a8=a4+a5C a1 +a8 a4+a5D a1a8=a4a5考點(diǎn) 1: 等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n 項(xiàng)和題型 1：已知等差數(shù)列的某些項(xiàng)，求某項(xiàng)【解題思路】 給項(xiàng)求項(xiàng)問(wèn)題，先考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法【例 1】已知 an為等差數(shù)列，

6、a158, a6020 ，則 a75對(duì)應(yīng)練習(xí) ：1、已知an 為等差數(shù)列，amp, anq （ m, n, k 互不相等），求 ak .2、已知 5 個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5 ，平方和為 165 ，求這 5 個(gè)數(shù) .題型 2：已知前n 項(xiàng)和 Sn 及其某項(xiàng)，求項(xiàng)數(shù).【解題思路】 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an a1(n1)d 求出 a1 及 d ，代入 Sn 可求項(xiàng)數(shù) n ；利用等差數(shù)列的前4 項(xiàng)和及后4 項(xiàng)和求出a1an ，代入 Sn 可求項(xiàng)數(shù) n .【例 2】已知 Sn 為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和， a49, a96, Sn 63 ，求 nSn 18n3 n( n1)63n16, n27

7、24 項(xiàng)和為 36，后 4 項(xiàng)和為 124，且所有項(xiàng)的和為 780，求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù) n .對(duì)應(yīng)練習(xí)： 3、若一個(gè)等差數(shù)列的前24. 已知 Sn 為等差數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和， a11,a47, Sn 100 ，則 n.題型 3：求等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和【解題思路】（1）利用 Sn 求出 an ，把絕對(duì)值符號(hào)去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問(wèn)題.（ 2）含絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)列求和問(wèn)題，要注意分類討論.【例 3】已知 Sn 為等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和， Sn 12nn 2.（ 1） a1 a2 a3 ；求 a1a2a3a10 ；求 a1a2a3an .對(duì)應(yīng)練習(xí)： 5、已知 n為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)

8、和， 10100，求 110 .SS100, S10S考點(diǎn) 2 ：證明數(shù)列是等差數(shù)列【名師指引】判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：1、定義法： an1and （ n N， d 是常數(shù)）an是等差數(shù)列；2、中項(xiàng)法： 2an1anan 2 ( nN )an是等差數(shù)列；3、通項(xiàng)公式法：anknb （ k, b 是常數(shù)）an是等差數(shù)列；4、項(xiàng)和公式法：SnAn 2Bn （ A, B 是常數(shù)，A0 ）an 是等差數(shù)列 .【例 4】已知 Sn 為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和， bnSn(nN) .n3求證：數(shù)列bn 是等差數(shù)列 .解：對(duì)應(yīng)練習(xí)： 6、設(shè) Sn 為數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和， Snpnan (n

9、N ) ， a1a2 .（ 1） 常數(shù) p 的值；（ 2） 證：數(shù)列 an 是等差數(shù)列 .考點(diǎn) 3 : 等差數(shù)列的性質(zhì)【解題思路】 利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解.【例 5】1、已知Sn 為等差數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和， a6100 ，則 S11；2、知 Sn為等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和， Snm, Sm n(n m) ，則 Sm n.對(duì)應(yīng)練習(xí)： 7、含 2n1 個(gè)項(xiàng)的等差數(shù)列其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為（）A. 2n1B. n1C. n1D. n 1nnn2n8. 設(shè) Sn 、 Tn 分別是等差數(shù)列an、 anSn7n2a5.的前 n 項(xiàng)和，n，則b5Tn3考點(diǎn) 4： 等差數(shù)列與其它知識(shí)的綜

10、合【解題思路】 1、利用an 與 Sn 的關(guān)系式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；2、求出 Tn 后，判斷Tn 的單調(diào)性 .【例 6】已知 Sn為數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和， Sn1n 211n ；數(shù)列 bn滿足： b311 ，22bn 22bn 1 bn ，其前 9 項(xiàng)和為 153.4 數(shù)列 an、 bn的通項(xiàng)公式；設(shè) Tn 為數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和， cn6，求使不等式 Tnk 對(duì)n N 都成立的最大正( 2an11)( 2bn 1)57整數(shù) k 的值 .對(duì)應(yīng)練習(xí)： 9. 已知 Sn 為數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和， a13 ， Sn Sn 12an (n2) .數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；數(shù)列an 中是否存在正整數(shù)k ，使得不等式 akak 1 對(duì)任意不小于k 的正整數(shù)都成立？若存在，求最小的正整數(shù)k ，若不存在，說(shuō)明理由.課后練習(xí)：1.(2010 廣雅中學(xué) ) 設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，且a28 ， a155 ， Sn 是數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，則A S10S11B S10S11C S9S10D S9S102.在等差數(shù)列an 中， a5120 ，則 a2a4a6a8.3.數(shù)列 an 中，