考點(diǎn)2正余弦定理的應(yīng)用舉例

1、溫馨提示：高考題庫為Word版，請按住Ctrl，滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，點(diǎn)擊右上角的關(guān)閉按鈕可返回目錄?？键c(diǎn)2 正、余弦定理的應(yīng)用舉例2010年考題1.（2010·陜西高考理科·7）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間？【解析】2.（2010·陜西高考文科·7）在ABC中，已知B=45°,D是BC邊

2、上的一點(diǎn)，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的長.【解析】在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120°, ADB=60°在ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°，由正弦定理得,AB=.3.（2010·江蘇高考·7）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1) 該小組已測得一組、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，請據(jù)此算出H的值；(2) 該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔

3、的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問d為多少時(shí)，-最大？【解析】（1），同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的電視塔的高度H是124m。（2）由題設(shè)知，得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號）故當(dāng)時(shí)，最大。因?yàn)?，則，由的單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，-最大。故所求的是m。4.（2010·安徽高考理科·16）設(shè)是銳角三角形，分別是內(nèi)角所對邊長，并且。(1)求角的值；(2)若，求（其中）?！窘馕觥浚?），由題意，所以，（2），又，由、解得。5.（2010·福建高考文科·21）某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在

4、航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西30°且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時(shí)與輪船相遇。()若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？()為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；()是否存在，使得小艇以海里/小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定的取值范圍；若不存在，請說明理由?！窘馕觥?)設(shè)相遇時(shí)小艇航行距離為海里，則 故當(dāng)時(shí)，即小艇以每小時(shí)海里的速度航行，相遇時(shí)距離最小。()若輪

5、船與小艇在處相遇，由題意可得：化簡得，由于，即，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即小艇航行速度的最小值為海里每小時(shí)。()由()知，于是有，小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇等價(jià)于上述方程有兩個(gè)不等正根，解得：，所以的取值范圍為。6.（2010·天津高考文科·7）在ABC中，。（）證明B=C：（）若=-，求sin的值?！窘馕觥浚ǎ┰贏BC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因?yàn)?，從而B-C=0. 所以B=C.（）由A+B+C=和（）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又0<2B<,于是s

6、in2B=.從而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.所以7.（2010·福建高考理科·19）某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西30°且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時(shí)與輪船相遇。()若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？()假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由。【解析】(

7、)為使小艇航行距離最短，理想化的航行路線為OT，小艇到達(dá)T位置時(shí)輪船的航行位移即，從而（海里/時(shí)）；OABTGH()若輪船與小艇在H處相遇時(shí)，在直角三角形OHT中運(yùn)用勾股定理有：，等價(jià)于從而所以當(dāng)時(shí)，也就是說，當(dāng)小艇以30海里每小時(shí)的速度，沿北偏東方向行走能以最短的時(shí)間遇到輪船。8.（2010·安徽高考文科·16）的面積是30，內(nèi)角所對邊長分別為，。(1)求；(2)若，求的值。【解析】由且為三角形內(nèi)角，得.又=，（1）；（2），。2009年考題1.（2009廣東高考）一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為（

8、）A. 6 B. 2 C. D. 【解析】選D.，所以.2. （2009天津高考）如圖，相交與點(diǎn)O, 且，若得外接圓直徑為1，則的外接圓直徑為_.【解析】由正弦定理可以知道，,所以的外接圓半徑是外接圓半徑的二倍。答案：23.（2009海南寧夏高考）為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟?！窘馕觥糠桨敢唬盒枰獪y量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角；B點(diǎn)到M，N的俯角；A，B的距

9、離 d . .3分第一步：計(jì)算AM . 由正弦定理；第二步：計(jì)算AN . 由正弦定理；第三步：計(jì)算MN. 由余弦定理 .方案二：需要測量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角，；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的府角，；A，B的距離 d.第一步：計(jì)算BM . 由正弦定理；第二步：計(jì)算BN . 由正弦定理；第三步：計(jì)算MN . 由余弦定理4.（2009福建高考）如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinx(A>0, >0) x0,4的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3，2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定MNP=12

10、0（I）求A , 的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；（II）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長？ 【解析】方法一（）依題意，有，又，。當(dāng) 時(shí)， 又（）在MNP中MNP=120°，MP=5，設(shè)PMN=，則0°<<60°由正弦定理得, 故0°<<60°，當(dāng)=30°時(shí)，折線段賽道MNP最長亦即，將PMN設(shè)計(jì)為30°時(shí)，折線段道MNP最長方法二：（）同方法一（）在MNP中，MNP=120°，MP=5，由余弦定理得MNP=即 故從而，即 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，折線段道MNP最長注：本題第（）問答案及其呈現(xiàn)方式均不唯

11、一，除了方法一、方法二給出的兩種設(shè)計(jì)方式，還可以設(shè)計(jì)為：；5. （2009遼寧高考）如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449）【解析】在ADC中，DAC=30°, ADC=60°DAC=,所以CD=AC=0.1 又BCD=180°60°60°=60°，故CB是CAD底邊AD的中垂線

12、，所以BD=BA，        5分在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距離約為0.33km。  12分2008年考題1、（2008上海高考）如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為已知某人從沿走到用了10分鐘，從沿走到用了6分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑的長（精確到1米）【解析】方法一：設(shè)該扇形的半徑為r米. 由題意，得CD=500（米），DA=300（米），CDO=4分在中，6分即.9分解得（米）. .13分方法

13、二：連接AC，作OHAC，交AC于H.2分由題意，得CD=500（米），AD=300（米），.4分 AC=700（米）.6分.9分在直角 （米）. 13分2、（年湖南高考）在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測站A.某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C. （I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）;（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由.【解析】（I）如圖，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）.（II）方法一 如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y1）, C（x2，y2）,BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有，x1=y1=AB=40, x2=ACcos,y2=ACsin所以過點(diǎn)B、C的直線