腐蝕,膨脹,細化算法

1、第6章腐蝕，膨脹，細化算法今天所講的內(nèi)容屬于一門新興的學科：數(shù)學形態(tài)學(Mathematical Morphology)。說起來很有意思，它是法國和德國的科學家在研究巖石結(jié)構(gòu)時建立的一門學科。形態(tài)學的用途主要是獲取物體拓撲和結(jié)構(gòu)信息，它通過物體和結(jié)構(gòu)元素相互作用的某些運算，得到物體更本質(zhì)的形態(tài)。在圖象處理中的應用主要是：(1)利用形態(tài)學的基本運算，對圖象進行觀察和處理，從而達到改善圖象質(zhì)量的目的；(2)描述和定義圖象的各種幾何參數(shù)和特征，如面積、周長、連通度、顆粒度、骨架和方向性等。限于篇幅，我們只介紹二值圖象的形態(tài)學運算，對于灰度圖象的形態(tài)學運算，有興趣的讀者可以閱讀有關(guān)的參考書。在程序中，

2、為了處理的方便，還是采用256級灰度圖，不過只用到了調(diào)色板中的0和255兩項。先來定義一些基本符號和關(guān)系。1.         元素設(shè)有一幅圖象X，若點a在X的區(qū)域以內(nèi)，則稱a為X的元素，記作aX，如圖6.1所示。2.         B包含于X設(shè)有兩幅圖象B，X。對于B中所有的元素ai，都有aiX，則稱B包含于(included in)X，記作BX，如圖6.2所示。3.     

3、60;   B擊中X設(shè)有兩幅圖象B，X。若存在這樣一個點，它即是B的元素，又是X的元素，則稱B擊中(hit)X，記作BX，如圖6.3所示。4.         B不擊中X設(shè)有兩幅圖象B，X。若不存在任何一個點，它即是B的元素，又是X的元素，即B和X的交集是空，則稱B不擊中(miss)X，記作BX=；其中是集合運算相交的符號，表示空集。如圖6.4所示。圖6.1     元素圖6.2     包含圖6.3 &#

4、160;   擊中圖6.4     不擊中5.         補集設(shè)有一幅圖象X，所有X區(qū)域以外的點構(gòu)成的集合稱為X的補集，記作Xc，如圖6.5所示。顯然，如果BX=，則B在X的補集內(nèi)，即BXc。圖6.5     補集的示意圖6.         結(jié)構(gòu)元素設(shè)有兩幅圖象B，X。若X是被處理的對象，而B是用來處理X的，則稱B為結(jié)構(gòu)元素(st

5、ructure element)，又被形象地稱做刷子。結(jié)構(gòu)元素通常都是一些比較小的圖象。7.         對稱集設(shè)有一幅圖象B，將B中所有元素的坐標取反，即令(x，y)變成(-x，-y)，所有這些點構(gòu)成的新的集合稱為B的對稱集，記作Bv，如圖6.6所示。8.         平移設(shè)有一幅圖象B，有一個點a(x0,y0)，將B平移a后的結(jié)果是，把B中所有元素的橫坐標加x0，縱坐標加y0，即令(x，y)變成(x+x0，y+y0)，所有這

6、些點構(gòu)成的新的集合稱為B的平移，記作Ba，如圖6.7所示。圖6.6     對稱集的示意圖圖6.7     平移的示意圖好了，介紹了這么多基本符號和關(guān)系，現(xiàn)在讓我們應用這些符號和關(guān)系，看一下形態(tài)學的基本運算。膨脹將像素添加到圖像中物體的邊緣；腐蝕則刪除對象邊緣的像素。添加或刪除的像素數(shù)目與用于處理圖像的結(jié)構(gòu)元素的大小和形狀有關(guān)。6.1 腐蝕把結(jié)構(gòu)元素B平移a后得到Ba，若Ba包含于X，我們記下這個a點，所有滿足上述條件的a點組成的集合稱做X被B腐蝕(Erosion)的結(jié)果。用公式表示為：E(X)=a| Ba X=X

7、 B，如圖6.8所示。圖6.8     腐蝕的示意圖圖6.8中X是被處理的對象，B是結(jié)構(gòu)元素。不難知道，對于任意一個在陰影部分的點a，Ba包含于X，所以X被B腐蝕的結(jié)果就是那個陰影部分。陰影部分在X的范圍之內(nèi)，且比X小，就象X被剝掉了一層似的，這就是為什么叫腐蝕的原因。值得注意的是，上面的B是對稱的，即B的對稱集Bv=B，所以X被B腐蝕的結(jié)果和X被 Bv腐蝕的結(jié)果是一樣的。如果B不是對稱的，讓我們看看圖6.9，就會發(fā)現(xiàn)X被B腐蝕的結(jié)果和X被 Bv腐蝕的結(jié)果不同。圖6.9     結(jié)構(gòu)元素非對稱時，腐蝕的結(jié)果不同圖6

8、.8和圖6.9都是示意圖，讓我們來看看實際上是怎樣進行腐蝕運算的。在圖6.10中，左邊是被處理的圖象X(二值圖象，我們針對的是黑點)，中間是結(jié)構(gòu)元素B，那個標有origin的點是中心點，即當前處理元素的位置，我們在介紹模板操作時也有過類似的概念。腐蝕的方法是，拿B的中心點和X上的點一個一個地對比，如果B上的所有點都在X的范圍內(nèi)，則該點保留，否則將該點去掉；右邊是腐蝕后的結(jié)果?？梢钥闯?，它仍在原來X的范圍內(nèi)，且比X包含的點要少，就象X被腐蝕掉了一層。圖6.10   腐蝕運算a=zeros(10,11)a(2:4,7:10)=1a(5:7,5:8)=1a(7:9,2:5)=1b

9、=zeros(4)b(2,3)=1b(2,2:3)=1b=zeros(4)b(2,3)=1b(3,2:3)=1h=imerode(a,b)imshow(h,'notruesize')圖6.11為原圖，圖6.12為腐蝕后的結(jié)果圖，能夠很明顯地看出腐蝕的效果。圖6.11    原圖圖6.12   腐蝕后的結(jié)果圖6.2 膨脹膨脹(dilation)可以看做是腐蝕的對偶運算，其定義是：把結(jié)構(gòu)元素B平移a后得到Ba，若Ba擊中X，我們記下這個a點。所有滿足上述條件的a點組成的集合稱做X被B膨脹的結(jié)果。用公式表示為：D(X)=a | BaX

10、=X B，如圖6.13所示。圖6.13中X是被處理的對象，B是結(jié)構(gòu)元素，不難知道，對于任意一個在陰影部分的點a，Ba擊中X，所以X被B膨脹的結(jié)果就是那個陰影部分。陰影部分包括X的所有范圍，就象X膨脹了一圈似的，這就是為什么叫膨脹的原因。同樣，如果B不是對稱的，X被B膨脹的結(jié)果和X被 Bv膨脹的結(jié)果不同。讓我們來看看實際上是怎樣進行膨脹運算的。在圖6.14中，左邊是被處理的圖象X(二值圖象，我們針對的是黑點)，中間是結(jié)構(gòu)元素B。膨脹的方法是，拿B的中心點(映射后)和X上的點及X周圍的點一個一個地對，如果B上有一個點落在X的范圍內(nèi)，則該點就為黑；右邊是膨脹后的結(jié)果。可以看出，它包括X的所有范圍，就

11、象X膨脹了一圈似的。圖6.13   膨脹的示意圖圖6.14   膨脹運算圖6.15為圖6.11膨脹后的結(jié)果圖，能夠很明顯的看出膨脹的效果。行腐蝕運算，即結(jié)構(gòu)元素B為。圖6.15   圖6.11膨脹后的結(jié)果圖腐蝕運算和膨脹運算互為對偶的，用公式表示為(X B)c=(XcB)，即X 被B腐蝕后的補集等于X的補集被B膨脹。這句話可以形象的理解為：河岸的補集為河面，河岸的腐蝕等價于河面的膨脹。你可以自己舉個例子來驗證一下這個關(guān)系。在有些情況下，這個對偶關(guān)系是非常有用的。例如：某個圖象處理系統(tǒng)用硬件實現(xiàn)了腐蝕運算，那么不必再另搞一套膨脹的硬件，

12、直接利用該對偶就可以實現(xiàn)了?；叶扰蛎浐透g的規(guī)則運算規(guī)則膨脹輸出像素的值是輸入像素所有相鄰像素值的最大值，二值圖像中，如果任何相鄰像素的值為1，則輸出像素的值設(shè)置為1腐蝕輸出像素的值是輸入像素所有相鄰像素值的最小值，二值圖像中，如果任何相鄰像素的值為0，則輸出像素的值設(shè)置為06.3 開先腐蝕后膨脹稱為開(open)，即OPEN(X)=D(E(X)。讓我們來看一個開運算的例子(見圖6.16)：圖6.16開運算在圖16上面的兩幅圖中，左邊是被處理的圖象X(二值圖象，我們針對的是黑點)，右邊是結(jié)構(gòu)元素B，下面的兩幅圖中左邊是腐蝕后的結(jié)果；右邊是在此基礎(chǔ)上膨脹的結(jié)果?？梢钥吹剑瓐D經(jīng)過開運算后，一些孤

13、立的小點被去掉了。一般來說，開運算能夠去除孤立的小點，毛刺和小橋(即連通兩塊區(qū)域的小點)，而總的位置和形狀不變。這就是開運算的作用。要注意的是，如果B是非對稱的，進行開運算時要用B的對稱集Bv膨脹，否則，開運算的結(jié)果和原圖相比要發(fā)生平移。圖6.17和圖6.18能夠說明這個問題。圖6.17 用B膨脹后，結(jié)果向左平移了圖6.18   用Bv膨脹后位置不變圖6.17是用B膨脹的，可以看到，OPEN(X)向左平移了。圖18是用Bv膨脹的，可以看到，總的位置和形狀不變。圖6.19為圖6.11經(jīng)過開運算后的結(jié)果。圖6.19   圖6.11經(jīng)過開運算后的結(jié)果形態(tài)學開運

14、算完全刪除了不能包含結(jié)構(gòu)元素的對象區(qū)域，平滑了對象的輪廓，斷開了狹窄的連接，去掉了細小的突出部分。6.4 閉先膨脹后腐蝕稱為閉(close)，即CLOSE(X)=E(D(X)。讓我們來看一個閉運算的例子(見圖6.20)：圖6.20   閉運算在圖6.20上面的兩幅圖中，左邊是被處理的圖象X(二值圖象，我們針對的是黑點)，右邊是結(jié)構(gòu)元素B，下面的兩幅圖中左邊是膨脹后的結(jié)果，右邊是在此基礎(chǔ)上腐蝕的結(jié)果可以看到，原圖經(jīng)過閉運算后，斷裂的地方被彌合了。一般來說，閉運算能夠填平小湖(即小孔)，彌合小裂縫，而總的位置和形狀不變。這就是閉運算的作用。同樣要注意的是，如果B是非對稱的，進行

15、閉運算時要用B的對稱集Bv膨脹，否則，閉運算的結(jié)果和原圖相比要發(fā)生平移。圖6.21為圖6.11經(jīng)過閉運算后的結(jié)果。圖6.21   圖.611經(jīng)過閉運算后的結(jié)果你大概已經(jīng)猜到了，開和閉也是對偶運算，的確如此。用公式表示為(OPEN(X)c=CLOSE(Xc)，或者(CLOSE(X)c =OPEN(Xc)。即X 開運算的補集等于X的補集的閉運算，或者X 閉運算的補集等于X的補集的開運算。這句話可以這樣來理解：在兩個小島之間有一座小橋，我們把島和橋看做是處理對象X，則X的補集為大海。如果漲潮時將小橋和島的外圍淹沒(相當于用尺寸比橋?qū)挻蟮慕Y(jié)構(gòu)元素對X進行開運算)，那么兩個島的分隔，

16、相當于小橋兩邊海域的連通(對Xc做閉運算)。形態(tài)學閉運算，將狹窄的缺口連接起來形成細長的碗口，并填充比結(jié)構(gòu)元素小的洞。在matlab中創(chuàng)建結(jié)構(gòu)元素，使用strel函數(shù)；strel(diamond) 菱形結(jié)構(gòu)元素；disk圓形結(jié)構(gòu)元素；line，線性結(jié)構(gòu)元素；octagon八角形結(jié)構(gòu)元素等。膨脹圖像：使用imdilate函數(shù)。該函數(shù)接受兩個主要變量：(1) 要處理的輸入圖像(灰度圖像，二值圖像)(2) 由strel函數(shù)返回的結(jié)構(gòu)元素對象或定義結(jié)構(gòu)元素領(lǐng)域的二值圖像例 bw=zeros(9,10);Bw(4:6,4:7)=1Se=strel(square,3)Bw2=imdilate(bw,se)腐蝕圖像使用imerode函數(shù)例bw1=imread(circbw.tif);Se=strel(arbitrary,eye(5);Bw2=imerode(bw1,se)Imshow(bw1)Figure,imshow(bw2)開運算：先腐蝕后膨脹，使用imopen函數(shù)。開運算可以從圖像中刪除小對象，同時保持圖像中大對象的形狀和大小不變例 i=imread(snow