材料力學(xué)-第2章

1、第二章 軸 向 拉 伸 和 壓 縮2.1 2.1 拉伸和壓縮拉伸和壓縮2.22.2拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力2.32.3軸力圖軸力圖2.4 2.4 軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力2.5 2.5 拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力2.6 2.6 軸向拉伸（壓縮）時(shí)的彈性變形、變形能軸向拉伸（壓縮）時(shí)的彈性變形、變形能2.7 2.7 材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能2.8 2.8 材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)2.9 2.9 拉伸（壓縮）桿件的強(qiáng)度計(jì)算拉伸（壓縮）桿件的強(qiáng)度計(jì)算 2.10 2.10 應(yīng)力集中應(yīng)力集中2.11 2.1

2、1 拉壓超靜定問(wèn)題拉壓超靜定問(wèn)題2.1 拉伸和壓縮軸向拉伸，對(duì)應(yīng)的外力稱為拉力。PP軸向壓縮，對(duì)應(yīng)的外力稱為壓力。PP2.2 拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力 以圖示為例 ，用截面法確定桿件橫截面 mm上的內(nèi)力。用假想平面將桿件沿橫截面 mm 截開(kāi)根據(jù)平衡，如圖 mmNmmNPP 桿件左右兩段在橫截面 mm 上相互作用的內(nèi)力，是一個(gè)分布力系。2.2 拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力 NmmPmmPN 設(shè)其合力為有平衡條件，可得 (2-1) N與軸線重合，稱為軸力。0X NP一般規(guī)定：拉伸時(shí)的軸力為正，壓一般規(guī)定：拉伸時(shí)的軸力為正，壓縮時(shí)的軸力為負(fù)?？s時(shí)的軸力為負(fù)。N2.3軸力圖X坐標(biāo) 表示桿件橫截面的位置，平

3、行于桿軸。 N坐標(biāo) 表示軸力的大小，垂直于桿軸。NPx 按選定的比例繪出表示軸力與截面位置關(guān)系的圖線 稱為軸力圖軸力圖的意義：反映出軸力與截面位置的變化關(guān)系，較直觀；反映出最大軸力的數(shù)值及其所在面的位置，即危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。軸力的正號(hào)使微元區(qū)段有伸長(zhǎng)趨勢(shì)的軸力正。軸力的負(fù)號(hào)2.4 軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力一一. 正應(yīng)力公式：正應(yīng)力公式： ANdA僅由上述靜力關(guān)系式還不能確定和N之間的具體關(guān)系。下面從研究桿件的變形入手來(lái)尋求的變化規(guī)律。如左圖：變形后可觀察到如下現(xiàn)象： 變形前變形后（1）桿件被拉長(zhǎng)。但各橫向線仍保持為直線，任意兩相鄰橫向線相對(duì)地沿軸線平行移動(dòng)了

4、一段距離；（2）變形后，橫線仍垂直于軸線。扭轉(zhuǎn)彎曲由以上的觀察可得，桿件變形的平截面假設(shè)拉壓 桿件的橫截面在拉壓、扭轉(zhuǎn)或彎曲變形過(guò)程中始終保持是平面，并始終保持與軸線垂直。根據(jù)平面假設(shè)和材料均勻、連續(xù)的性質(zhì)，可知：橫截面各點(diǎn)處的分布內(nèi)力集度（即正應(yīng)力）均相等，于是有因此拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力為ANdAANA的符號(hào)規(guī)定與的符號(hào)規(guī)定與N相同，拉應(yīng)力為正，相同，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。壓應(yīng)力為負(fù)。二. 正應(yīng)力公式的使用條件1. 外力合力作用線必須與桿軸線重合。 2. 桿件必須是等直桿。若橫截面尺寸沿軸線變化，對(duì)于變化緩慢的桿：( )( )( )N xxA x（2-4） 3. 公式只在距外力作用點(diǎn)

5、一定距離外才是正確 的。PP/2P/2P/AP 圣維南原理 雖然力作用于桿端的方式不同，只要它們是靜力等效的，則桿件中應(yīng)力分布僅在作用點(diǎn)附近不大的范圍內(nèi)(不大于桿的橫向尺寸)有明顯影響。 應(yīng)力等效應(yīng)力等效PP/2P/2P/AP2.5 拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力沿斜截面kk（如圖），將桿截分為二。研究左段桿的平衡，得到斜截面kk上內(nèi)力 pp(a)(b)kkppkkPP（a a） 斜截面kk的面積為 ， 橫截面積為A， 于是有 cosAAPpA0PA0App(a)(b)kkppkk式中 為橫截面（ ）上的正應(yīng)力。（b）coscosPPAA0cosA斜截面全應(yīng)力 的分解：垂直于斜截面的正應(yīng)力 ： （2

6、-5）相切于斜截面的剪應(yīng)力 ： pcospsinp 可見(jiàn)，斜截面上不僅存在正應(yīng)力，而且還存在剪應(yīng)力，其大小隨截面的方位而變化。P 20cos0sin22（2-6）x 、 、 的符號(hào)規(guī)定如下x000000 1.當(dāng) 時(shí)（橫截面） 0o0max00即橫截面上的正應(yīng)力是所有各截面上正應(yīng)力的最大值。0sinsin22p20coscospp（2-5）（2-6） 3.當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 即在斜截面上，剪應(yīng)力有最大、最小值，且其數(shù)值為最大正應(yīng)力的一半。0sinsin22p20coscospp（2-5）（2-6）45o0452045max245o 0452045min2 一、縱向變形虎克定律 一等直桿如圖所示，設(shè)桿

7、的原長(zhǎng)為 ，橫截面面積為A。在軸向拉力P作用下，桿的長(zhǎng)度由 變?yōu)?。1b1ll2.6軸向拉伸（壓縮）時(shí)的彈性變形、變形能l1llbpp軸線方向總伸長(zhǎng)為 (a)1lll 1b1llbpp 試驗(yàn)表明： 引入比例系數(shù)E，則有 （b） 對(duì)于僅在兩端受軸向外力作用的等直桿，由于N=P，故式（b）可改寫(xiě)為PllA PllEA NllEA 桿件拉伸時(shí)， 為正；桿件壓縮時(shí)， 為負(fù)。ll（2-7）式（2-7）就是軸向拉伸與壓縮時(shí)等直桿軸向變形的計(jì)算公式，通常稱為虎克定律。E 與材料的性質(zhì)有關(guān)，稱為材料的拉壓彈性模量，其值可由實(shí)驗(yàn)確定。EA 反映了桿件抵抗拉伸（壓縮）變形的能力，稱為桿件的抗拉（壓）剛度。NllE

8、A （2-7）1b1llbpp若將 和 代入公式（2-7）可得 或 （2-8）這是虎克定律的另一種表示形式。虎克定律又可表述為：當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)某一極限值時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。因?yàn)閼?yīng)變沒(méi)有量綱，彈性模量E有與應(yīng)力相同的量綱。最后指出，公式（2-7）只有當(dāng)軸力N、橫截面面積A、材料的彈性模量E在桿長(zhǎng)l內(nèi)為常量時(shí)才能應(yīng)用。NAllEENllEA （2-7）對(duì)于階梯桿或軸力分段變化的桿件： 當(dāng)軸力 和橫截面積 沿桿軸線x方向連續(xù)變化時(shí)，有 二、橫向變形泊松比二、橫向變形泊松比 設(shè)桿件變形前的橫向尺寸為b，變形后為b1，則桿的橫向線應(yīng)變?yōu)?iiiN llE A()()lNx dxlE A x N x A

9、x1bbbbb（2-92-9）（2-102-10） 試驗(yàn)表明：橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之間滿足如下關(guān)系 因與的符號(hào)相反，故有 稱為泊松比或橫向變形系數(shù)，是一個(gè)無(wú)量綱的量，其值隨材料的不同而不同。E 、 都是材料本身所固有的彈性常數(shù)，是反映材料彈性變形能力的參數(shù)。（2-11）（2-12）三、軸向拉壓時(shí)的變形能在外力作用下，彈性體因變形而儲(chǔ)存的能量，成為變形能或應(yīng)變能。彈性體變形儲(chǔ)存能量外力做功外力減小變形減小釋放能量如圖，受軸向拉伸的直桿，下端受從零開(kāi)始逐漸增加的拉力作用，直至最終數(shù)值P。作用點(diǎn)的位移也逐漸增大至 ,在應(yīng)力小于比例極限的范圍內(nèi)，拉力P與 成正比。llpp(a)(b)lp1p1dp1ll

10、1d lll 顯然 dW 等于圖中畫(huà)陰影線部分的微分面積。W 等于 圖中三角形的面積: 11dWP dl（）Pl12WP l若不計(jì)任何能量損耗，根據(jù)功能原理，彈性體內(nèi)儲(chǔ)存的變形能U應(yīng)等于拉力P所做的功W。即 考慮軸力，并引出虎克定律，得 12UWP l22NlUEA（2-13）（2-14）變形能的單位為焦（J）引入單位體積內(nèi)的變形能的概念，我們稱為變形比能（簡(jiǎn)稱比能），記作u。由虎克定律，上式又可寫(xiě)成 比能的單位是（2-15）UuAl12u33焦耳 米（J m ）1焦耳（J）=1牛 米（N m）（2-16）2P lAl1222E22E.7 材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能材料的力學(xué)性能 材料在受力變形過(guò)程

11、中所表現(xiàn)出來(lái)的變形、破壞等方面的特性。1.實(shí)驗(yàn)條件：材料在室溫下，以緩慢平穩(wěn)加載方式進(jìn)行的拉伸試驗(yàn)和壓縮試驗(yàn)2.實(shí)驗(yàn)對(duì)象：圓截面的拉伸標(biāo)準(zhǔn)試件如圖所示： pp27ldlpp2710ld5ldd 標(biāo)矩。 圓試件的直徑 在國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中標(biāo)矩，與直徑d有兩種比例： 即 和ld一、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)低碳鋼是指含碳量在0.25%以下的各種碳素鋼。用它來(lái)闡明塑性材料的一些特性。下圖是低碳鋼拉伸時(shí)繪制的曲線，這個(gè)曲線也稱為拉伸圖。efgpl0abcddhfPl1.在低碳鋼的整個(gè)拉伸試驗(yàn)過(guò)程中，其曲線可以分為如下四個(gè)階段： hgbd0apebcs一、彈性階段二、屈服階段三、強(qiáng)化階段 四、局部變形階段fed2.

12、2.延伸率和截面收縮率延伸率和截面收縮率0100%ll延伸率是衡量材料塑性的主要指標(biāo)。（1）延伸率：（2-17）（2）截面收縮率 A1 試件斷裂后斷口處最小橫截面面積， A0 試件原來(lái)的橫截面面積 截面收縮率也是衡量材料塑性的指標(biāo)。1100%AAA（2-18）100100%lll3.卸載定律和冷作硬化 （1 1） 卸載定律 ep超過(guò)彈性范圍后的任一點(diǎn)d所對(duì)應(yīng)的總應(yīng)變包含彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分。hgef0abcdpbsd （2）冷作硬化 efhg0abcdpbs在常溫下，把材料拉到塑性變形，然后卸載，當(dāng)再次加載時(shí)，比例極限提高而塑性降低d工程上某些塑性材料沒(méi)有明顯的屈服階段，通常規(guī)定塑性應(yīng)變

13、時(shí)的應(yīng)力為名義屈服極限，用 表示。0.2%0.20.2%p0.2二、其他塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能二、其他塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能灰口鑄鐵是典型的脆性材料斷裂時(shí)的應(yīng)力就是強(qiáng)度極限它是唯一的強(qiáng)度指標(biāo)。有時(shí)選一條割線來(lái)確定E值，并認(rèn)為材料服從虎克定律。三、鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)12510075502500.15 0.30 0.452(MN/m )(%)2-8 材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)（一）塑性材料黃色線 低碳鋼壓縮時(shí)的曲線綠色線 低碳鋼拉伸時(shí)的曲線Ps（二）脆性材料如圖：鑄鐵壓縮時(shí) 的曲線。實(shí)驗(yàn)表明：曲線沒(méi)有“屈服點(diǎn)”，試件在較小變形下突然破壞，破壞面與軸線大致成45度的傾角。 pp6

14、00500(%)2MN/m 1100200300400423506（三）幾種常用材料的主要力學(xué)性能比例極限彈性極限 屈服極限 （ ）強(qiáng)度極限 彈性模量 E延伸率 截面收縮率pes0.2b衡量材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)有： 材料允許承受的最大應(yīng)力。 破壞應(yīng)力材料破壞時(shí)的應(yīng)力值， 或稱極限應(yīng)力 0 0nn 為大于1的數(shù)，稱為安全系數(shù)。(2-19)0s0b塑性材料脆性材料2-9 拉伸（壓縮）桿件的強(qiáng)度計(jì)算一、許用應(yīng)力與安全系數(shù)二、強(qiáng)度條件 對(duì)等截面桿 式（2-20a，b）即是軸向拉（壓）桿件的強(qiáng)度條件。產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的截面稱為危險(xiǎn)截面。maxmax NAmaxmax NA(2-20a)（2-20b）利

15、用強(qiáng)度條件，可以解決工程中下列三個(gè)方面的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題：1.強(qiáng)度校核2.設(shè)計(jì)截面由上式算出需要的橫截面面積，然后確定截面尺寸。max NA3.確定許用載荷 NA.10 應(yīng)力集中應(yīng)力集中應(yīng)力集中 在構(gòu)件截面突然改變的局部區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力急劇增加，而離開(kāi)這個(gè)區(qū)域稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力又趨于緩和。PPP(a)PPP(b)max0應(yīng)力集中系數(shù) : max 發(fā)生應(yīng)力集中的截面上的最大應(yīng)力0 截面上的平均應(yīng)力AApp(a)p(b)Amaxmax 比較均質(zhì)的脆性材料 灰口鑄鐵這類非均質(zhì)的脆性材料 在靜載下，不同材料對(duì)應(yīng)力集中的敏感程度是不同的(d)SSAAp(c)SSAp2.11 拉壓超靜定問(wèn)題拉壓超靜定問(wèn)題一、超靜定的概

16、念作用于研究對(duì)象上的未知力數(shù)多于靜力平衡方程的數(shù)目，就不能單憑靜力平衡方程求出未知力，這種問(wèn)題稱為超靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題（或靜不定問(wèn)題）。未知力多于靜力平衡方程的數(shù)目稱為超靜定次數(shù)。ABCDQQ1N2N3NB123二、超靜定問(wèn)題的解法以圖為例，說(shuō)明超靜定問(wèn)題的解法。兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對(duì)力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計(jì)算桿內(nèi)最大應(yīng)力。（1）平衡方程： A、B 兩端的約束反力ARBRPPACBDlll(a)PP(b)0ABRPPRABRRABRR、(a)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對(duì)力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計(jì)算

17、桿內(nèi)最大應(yīng)力。（2）變形協(xié)調(diào)方程：（3）通過(guò)物理關(guān)系將變形用未知力表示0ACCDDBlllACACN llEACDCDNllEA(b)AR lEA()ARP lEAACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對(duì)力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計(jì)算桿內(nèi)最大應(yīng)力。0ACCDDBlllACACN llEACDCDNllEADBDBN llEA帶入(b)式得：()0AABR lRP lR lEAEAEA(b)AR lEA()ARP lEABR lEAACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對(duì)力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E

18、，現(xiàn)計(jì)算桿內(nèi)最大應(yīng)力。2ABRRP整理后得：(c) （c）式稱為補(bǔ)充方程ABRR0ACCDDBlll(b)(a)聯(lián)立（a）、（c）求解得3ABPRRACBDlllPPPPARBR(a)(b)各段內(nèi)力：可見(jiàn)CD段內(nèi)力最大，故3ACPNmaxmaxNACDNA23PA 2,3CDNP ,3DBPN求解超靜定問(wèn)題的一般步驟歸納為： 平衡方程； 幾何方程變形協(xié)調(diào)方程； 物理方程胡克定律； 補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得； 解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。例2-3 由三根桿組成的結(jié)構(gòu)，如下圖所示。若1、2桿的抗拉剛度同為 ，3桿的抗拉剛度為 ，在P力作用下，試求三桿的內(nèi)力。11E A33E A A

19、BCD123ElP 解：（1）靜力平衡關(guān)系 設(shè)三桿軸力皆為拉力，有節(jié)點(diǎn)A的平衡條件 （2）變形幾何關(guān)系 在中有以下變形諧調(diào)條件 0:Y 1AEA13cosll ABCD123E1AP3ll1(a)A2N1N3NP(b)132cosNNP（b）（a） ABCD123E1AP3ll1(a)A2N1N3NP(b)（3）物理關(guān)系 根據(jù)虎克定律代入（b）式得補(bǔ)充方程 （4）聯(lián)立求解式（a）、（c）得 1111cosN llE A 3333N llE A131133coscosN lN lE AE A1332112coscosPNE AE A31133312cosPNE AE A132cosNNP（a）（

20、c）（d）例.4 支架中三根桿件的材料相同，橫截面面積分別為 ，試求各桿內(nèi)的應(yīng)力。P123A3030(a)123AAA、N1N2N3PA3030解： （1）平衡條件 設(shè)三桿皆為拉桿，由（b）圖可知， 13sin30sin30ooNNP123cos30cos300ooNNN(b)（a）（b）(c)（2） 變形條件 設(shè)是變形后A點(diǎn)的位置，由分別向1、2、3桿軸線做垂線， 設(shè) ， 則有 AA,AAA AB1cosl 2cos(30 )ol 3cos(60 )ol31cossin2213cossin223030 123AABh2l3l消去參數(shù)后有 這就是變形協(xié)調(diào)條件，將物理關(guān)系代入后就得到補(bǔ)充方程。以下請(qǐng)同學(xué)們自行完成。2cos(30 )ol3cos(60 )ol31cossin2213cossin22、12330lll 1cosl 裝配應(yīng)力例2-5 吊橋吊索的一節(jié)有三根長(zhǎng)為l的鋼桿組成。若三桿的橫截面積相等，材料相同，中間鋼桿的加工誤差為，這里負(fù)號(hào)表示短于名義長(zhǎng)度。設(shè)，試求各桿的裝配應(yīng)力。2000l 200EGPal(a)