等差數(shù)列的前n項和教學(xué)案例

1、課題：等差數(shù)列的前n項和微山三中 鄭勇學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握等差數(shù)列的前n項和公式及其獲取思路2、會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的有關(guān)問題學(xué)習(xí)重點：等差數(shù)列的前n項和公式理解推導(dǎo)及應(yīng)用學(xué)習(xí)難點：靈活運用 等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的有關(guān)問題課型：新授教法：講練結(jié)合課時：1課時教具：多媒體教學(xué)內(nèi)容分析：本節(jié)是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，使學(xué)生掌握等差數(shù)列求和公式并能利用它求和，解決數(shù)列和的最值問題。等差數(shù)列求和的推導(dǎo)采用了倒序相加法，思路的獲得得益于第k項與倒數(shù)第k項的和這一性質(zhì)的認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)，通過對等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，使學(xué)生能掌握倒序相加法的數(shù)學(xué)方法。復(fù)習(xí)引入：1：判斷

2、下列各數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列0 、 1 、 2 、 3 、 4 是cos0 、 cos1 、 cos2 、 cos3 、 cos4 否本題考查等差數(shù)列的定義：an-an-1=d2：若 an 是等差數(shù)列a15=8 a60=20求a75的值 解法1： an 是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,由a15=8 a60=20得a114d=8 a159d=20 a1=64/15 d=4/15 a75 =a174d=64/15+74×4/15=24解法2： a60= a15+45d d=4/15 a75 = a60+15d=24解法3： an 為等差數(shù)列a15,a30,a45,a60,a75也為等差數(shù)列設(shè)其公差為

3、d, 則a15為首項a60為第4項 a60= a15+3d d=4 a75 = a60+d=24注：本題考察了等差數(shù)列的概念、通項公式及性質(zhì)。解法1運用了等差數(shù)列的定義，解法2運用了性質(zhì)：an=am+(n-m)d，解法3運用了性質(zhì)等差數(shù)列中，項數(shù)成等差數(shù)列的項也是等差數(shù)列3、等差數(shù)列 an 滿足 a1+a2+a3+ +a100=0 則有 A 、 a1+a1000 B 、 a2+a99 0 C 、 a3+a98=0 D 、 a5151 注：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)：在等差數(shù)列 an 中，若m+n=p+q則am+an=ap+aq, an 是等差數(shù)列 a1+a100 =a2+a99 =a3+a98=

4、 a1a2a100 = 50(a1+a100)=0，知a1+a100 =0 a3+a98= 0 選C二、新授內(nèi)容：等差數(shù)列的前n項和Sn=a1 a2 an-1an 思考：怎樣使公式更簡便些？1+2+3+4+100=？上面的方法用到等差數(shù)列的性質(zhì):數(shù)列an是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+a n=ap+aq.計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9思考：請同學(xué)們，一共有多少個第K項加倒K數(shù)項 ，怎樣與等差數(shù)列的項數(shù)的奇偶無關(guān)？.答：有關(guān) 問：怎樣避免呢？答：由加法交換律就回避了項的奇偶個數(shù)問題根據(jù)加法交換律 S=1+2+3+4+5+6+7+8+9， S=9+8+7+6+5+4+3+2+1 兩

5、式左右分別相加，得2S=10+10+10=9×10=90這就是倒序相加法.問題：利用倒序相加法求一下等差數(shù)列的前n項和Sn=a1a2 an-1anSn=a1a2 an-1anSn=an+ an-1 +. a2 +a1兩式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+.(an+a1) =n(a1+an) 提問：此公式Sn要用 首項a1和公差d表示呢？注：若等差數(shù)列為常數(shù)列則Sn= n a13，等差數(shù)列前n項和公式的運用公式1含有四個量公式2含有四個量Sn， n ，a1 ， d Sn， n ，a1 ， an 這兩個公式中都含有四個量，運用方程的思想，求量，關(guān)鍵是求a1和d練習(xí):根據(jù)下

6、列條件,相應(yīng)的等差數(shù)列 an 的前項n和sn（1） a1= 2, a8= 8, n=8解（1）由題意知a1= 2 , a8= 8, n=8將它們代入公式 s8=40（2）a1= 3 ,d=2, n=10（2）由題意知a1= 3 , d=2, n=10將它們代入公式 s10=120例1.已知一個等差數(shù)列的前10項和是310,前20項的和1220, 由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？分析：本題是方程思想(關(guān)于a1 ，n, d或者an ,a1 d的方程）和前n項和相結(jié)合，解決等差數(shù)列前n項和的問題解法1：由題意知s10=310, s20=1220 10a1+45d=310, 20a1+

7、190d=1220 a1=4,d=6 sn=3n2+n解法2：由題意知 s10=10(a1+a10)/2 a1+a10=62 S20=20(a1+a20)/2 a1+a20=122 -得 10d=60 d=6 a1=4 sn=3n2+n例2：2000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通”工程的通知某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元，為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元。那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中

8、的總投入是多少？分析：該題是個實際應(yīng)用題，解題關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型 ，由題 意可知是個等差數(shù)列問題，找出首項和公差。 解：根據(jù)題意，從20012010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費都比上年增加50萬元。所以，可以建立一個等差數(shù)列，表示從2001年起各年的投入的資金，其中， a1 =500，d=50.那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為Sn =10 × 500+10×（10-1）/2 ×50=7250（萬元）答：從2001 2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元。例3：已知數(shù)列 an 的前n項和為sn=n2+0.5n，求這個數(shù)列的通

9、項公式。這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？Sn=a1 a2 an-1anSn-1=a1 a2 an-1 an =Sn - Sn-1解：由數(shù)列 an 通項公式當(dāng)n=1， a1 =s1 ;當(dāng)n>1, an =sn-sn-1當(dāng)n>1時an =sn-sn-1 =2n-0.5 當(dāng)n=1時， a1 =s1 = 1.5 也滿足式數(shù)列 an 通項公式為an =2n- 0.5數(shù)列 an 是一個首項為 1.5 ，公差為2的等差數(shù)列。小結(jié)：回顧本堂課要點1，等差數(shù)列前n項和公式(關(guān)于n的二次函數(shù))2 公式1的推導(dǎo)用的是倒序相加法3，等差數(shù)列前n項和公式的運用 在兩個求和公式中,各有四個元素,只要知道其中三個元素,就可求出另個素。即：知三求一；兩個公式在一起研究則含有五個元素Sn， n ，a1 ， d ， an只要知道其中三個元素，就可求出另兩個元素。知三求二.作業(yè)布置作 業(yè)：課本46頁，A組、；課下探究： 1： 一般地，如果一個數(shù)列 an 的前n項和為sn=pn2+qn+r，其中p，q，r為常數(shù)，且p0， 那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？2: 等差數(shù)列 an 中首項a1公差d, 前n項和sn，那么sn, s2n-