第2章 6.1 連續(xù)型隨機(jī)變量 6.2 正態(tài)分布

1、.*§6正態(tài)分布6.1連續(xù)型隨機(jī)變量 6.2正態(tài)分布1理解連續(xù)型隨機(jī)變量的概念以及連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)難點(diǎn)2認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義重點(diǎn)根底·初探教材整理正態(tài)分布閱讀教材P63P65，完成以下問(wèn)題1正態(tài)分布1在頻率分布直方圖中，為了理解得更多，圖中的區(qū)間會(huì)分得更細(xì)，假如將區(qū)間無(wú)限細(xì)分，最終得到一條曲線，這條曲線稱為隨機(jī)變量X的_，這條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱為X的_2假設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為fx_，其中與分別是隨機(jī)變量X的_與_，那么稱X服從參數(shù)和2的正態(tài)分布，記作XN，2【答案】1分布密度曲線分布密度函數(shù)2·均值標(biāo)準(zhǔn)差2正態(tài)曲線的性質(zhì)1函數(shù)

2、圖像關(guān)于直線_對(duì)稱；2>0的大小決定函數(shù)圖像的_；3P<X<_；P2<X<2_；P3<X<3_.【答案】1x2胖、瘦368.3%95.4%99.7%1判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1正態(tài)變量函數(shù)表達(dá)式中參數(shù)，的意義分別是樣本的均值與方差2服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量3正態(tài)曲線是一條鐘形曲線4離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布密度曲線描繪，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布用分布列描繪【解析】1×因?yàn)檎龖B(tài)分布變量函數(shù)表述式中參數(shù)是隨機(jī)變量取值的平均程度的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)，而是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差

3、去估計(jì)2因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量最多取可列個(gè)不同值而連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個(gè)區(qū)間上的任何值3由正態(tài)分布曲線的形狀可知該說(shuō)法正確4×因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描繪，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布密度曲線函數(shù)描繪【答案】1×234×2假設(shè)XN1,0.04，那么PX1_.【解析】由XN1,0.04知，正態(tài)曲線關(guān)于直線x1對(duì)稱，故PX10.5.【答案】0.5質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：小組合作型正態(tài)曲線及其性質(zhì)1如圖2­6­1，曲線C1：fx xR，曲線

4、C2：x xR，那么圖2­6­1A12B曲線C1與x軸相交C12D曲線C1，C2分別與x軸所夾的面積相等2如圖2­6­2是三個(gè)正態(tài)分布XN0,0.25，YN0,1，ZN0,4的密度曲線，那么三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z對(duì)應(yīng)的曲線分別是圖中的_，_，_.填寫(xiě)序號(hào)圖2­6­23如圖2­6­3所示是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖像寫(xiě)出其正態(tài)分布密度曲線的函數(shù)解析式，那么總體隨機(jī)變量的均值為_(kāi)，方差為_(kāi)圖2­6­3【精彩點(diǎn)撥】著眼點(diǎn)：1方差的大小；2正態(tài)曲線的特征及意義；3參數(shù)的幾何意義【自主解答】1由曲線C1，C

5、2對(duì)稱軸的位置知，12，由曲線C1瘦于C2知12，由fx0知，曲線C1在x軸上方，應(yīng)選D.2由0.2514，得X，Y，Z對(duì)應(yīng)的曲線分別是圖中的.3從正態(tài)曲線的圖像可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x20對(duì)稱，最大值為，所以20，解得.于是，正態(tài)分布密度曲線的函數(shù)解析式為：，x·，x，總體隨機(jī)變量的均值是20，方差是222.【答案】1D23202利用正態(tài)曲線的性質(zhì)可以求參數(shù)，詳細(xì)方法如下：(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對(duì)稱，由此性質(zhì)結(jié)合圖像求；(2)正態(tài)曲線在x處到達(dá)峰值，由此性質(zhì)結(jié)合圖像可求.再練一題1設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且相應(yīng)的概率密度函數(shù)為fx，那么 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690047

6、】A2，3B3，2C2，D3，【解析】由fx，得2，.【答案】C服從正態(tài)分布變量的概率問(wèn)題1隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N2，2，且P<40.8，那么P0<<2A0.6B0.4C0.3D0.22在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N1,4，求正態(tài)總體X在1,1內(nèi)取值的概率【精彩點(diǎn)撥】1根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性性質(zhì)進(jìn)展求解；2題可先求出X在1,3內(nèi)取值的概率，然后由正態(tài)曲線關(guān)于x1對(duì)稱知，X在1,1內(nèi)取值的概率就等于在1,3內(nèi)取值的概率的一半【自主解答】1隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N2，2，2，對(duì)稱軸是x2.P<40.8，P4P<00.2，P0<<40.6，P0<&

7、lt;20.3.應(yīng)選C.【答案】C2由題意得1，2，所以P1X3P12X120.683 0.又因?yàn)檎龖B(tài)曲線關(guān)于x1對(duì)稱，所以P1X1P1X3P1X30.341 5.1求解本類問(wèn)題的解題思路是充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性，把待求區(qū)間的概率轉(zhuǎn)化到區(qū)間的概率2常用結(jié)論有：1對(duì)任意的a，有PXaPXa；2PXx01PXx0；3PaXbPXbPXa再練一題2假設(shè)N5,1，求P5<<7【解】N5,1，正態(tài)分布密度函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)為5，1.該正態(tài)曲線關(guān)于x5對(duì)稱，P5<<7×P3<<7×0.9540.477.探究共研型正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用探究1假設(shè)某工廠消費(fèi)的

8、圓柱形零件的外直徑N4,0.25，那么該圓柱形零件外直徑的均值，標(biāo)準(zhǔn)差分別是什么？【提示】零件外直徑的均值為4，標(biāo)準(zhǔn)差0.5.探究2某工廠消費(fèi)的圓柱形零件的外直徑N4,0.25，假設(shè)零件的外直徑在3.5,4.5內(nèi)的為一等品試問(wèn)1 000件這種零件中約有多少件一等品？【提示】P3.5<4.5P<<0.683 0，所以1 000件產(chǎn)品中大約有1 000×0.683 0683件一等品探究3某廠消費(fèi)的圓柱形零件的外直徑N4，0.25質(zhì)檢人員從該廠消費(fèi)的1 000件這種零件中隨機(jī)抽查一件，測(cè)得它的外直徑為5.7 cm.試問(wèn)該廠消費(fèi)的這批零件是否合格？【提示】由于圓柱形零件的外

9、直徑N4,0.25，由正態(tài)分布的特征可知，正態(tài)分布N4,0.25在區(qū)間43×0.5,43×0.5，即2.5,5.5之外取值的概率只有0.003，而5.72.5,5.5這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，根據(jù)統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想，認(rèn)為該廠這批零件是不合格的設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)XN110,202，且知試卷總分值150分，這個(gè)班的學(xué)生共54人求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格不低于90分的人數(shù)和130分以上的人數(shù)【精彩點(diǎn)撥】要求及格的人數(shù)，即要求出P90X150，而求此概率需將問(wèn)題化為正態(tài)分布中幾種特殊值的概率形式，然后利用對(duì)稱性求解【自主解答】XN

10、110,202，110，20，P11020<X<110200.683.X>130的概率為：×10.6830.158 5；X90的概率為：0.6830.158 50.841 5.及格的人數(shù)為54×0.841 545人，130分以上的人數(shù)為54×0.158 59人解此類問(wèn)題一定要靈敏把握P()，P(22)，P(33)進(jìn)展轉(zhuǎn)化，然后利用特定值求出相應(yīng)概率.同時(shí)要充分利用曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1這一特殊性質(zhì).再練一題3在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)服從一個(gè)正態(tài)分布，即N90,1001試求考試成績(jī)位于區(qū)間70,110上的概率是多少2假設(shè)這次考試

11、共有2 000名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)?0,100間的考生大約有多少人【解】N90,100，90，10.1由于正態(tài)變量在區(qū)間2，2內(nèi)取值的概率是0.954，而該正態(tài)分布中，2902×1070，2902×10110，于是考試成績(jī)位于區(qū)間70,110內(nèi)的概率就是0.954.2由90，10，得80，100，由于正態(tài)變量在區(qū)間，內(nèi)取值的概率是0.683.一共有2 000名考生，所以考試成績(jī)?cè)?0,100間的考生大約有2 000×0.6831 366人構(gòu)建·體系1正態(tài)分布密度函數(shù)為，x，x，那么總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別是A0和8B0和4C0和2D0和【解析】由條件

12、可知0，2.【答案】C2.如圖2­6­4是當(dāng)取三個(gè)不同值1，2，3的三種正態(tài)曲線N0，2的圖象，那么1，2，3的大小關(guān)系是圖2­6­4A1>1>2>3>0B0<1<2<1<3C1>2>1>3>0D0<1<21<3【解析】當(dāng)0，1時(shí)，正態(tài)曲線fx.在x0時(shí)，取最大值，故21.由正態(tài)曲線的性質(zhì)，當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定越小，曲線越“瘦高；越大，曲線越“矮胖，于是有0<1<21<3.【答案】D3假設(shè)隨機(jī)變量XN，2，那么PX_.【解析】由于隨機(jī)變量XN，2，其正態(tài)密度曲線關(guān)于直線X對(duì)稱，故PX.【答案】4隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N2，2，且PX<40.84，那么PX0_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690048】【解析】由XN2，2，可知其正態(tài)曲線如下圖，對(duì)稱軸為x2，那么PX0PX41PX<410.840.16.【答案】0.165一批燈泡的使用時(shí)間X單位：小時(shí)服從正態(tài)分布N10 000,4002，求這批燈泡中“使用時(shí)間超過(guò)10