人教版高中不等式復(fù)習(xí)講義(含答案,超經(jīng)典!)

1、設(shè)相應(yīng)的一元二次方程 ax2 bx c 0 a0的兩根為x1> x2且x1x2，不等式的根本知識(shí)一不等式與不等關(guān)系1、應(yīng)用不等式組表示不等關(guān)系;不等式的主要性質(zhì)：1對(duì)稱(chēng)性：ab ba2傳遞性：ab,bc ac加法法那么：aba c bc;ab, cdacb d同向可加乘法法那么：ab,c0 acbc ；a b, c0acbca b0, c d0acbd同向同正可乘)倒數(shù)法貝U:a b,ab01 1 a b乘方法那么a b 0 anbn(nN *且n 1)開(kāi)方法那么：ab 0n an b(nN*且n 1)2、應(yīng)用不等式的性質(zhì)比擬兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。鹤鞑罘ㄗ鞑钜灰蛔冃我灰慌袛喾?hào)一一結(jié)論3、應(yīng)用

2、不等式性質(zhì)證明不等式二解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 a 0的解集：b2 4ac，一兀二次方程ax2 bx c 0a 0的根有兩相異實(shí)根X1,X2X1X2有兩相等實(shí)根bX22a無(wú)實(shí)根ax2 bx c 0 (a 0)的解集xx 咅或X x2bXX2aRax2 bx c 0 (a 0)的解集XX1 X x22、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí),f (x)g(x)0g(x) 0分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正 般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去

3、分母。f(x) 0 f (x)g(x)0; f(x) 0g(x)g(x)3、不等式的恒成立問(wèn)題：常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“別離變量法轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題假設(shè)不等式A在區(qū)間D上恒成立，那么等價(jià)于在區(qū)間X min假設(shè)不等式f x B在區(qū)間D上恒成立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上f X max B三線性規(guī)劃1、用二元一次不等式組表示平面區(qū)域二元一次不等式 Ax+By+C> 0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.虛線表示區(qū)域不包括邊界直線2、二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法由于對(duì)在直線 Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)X, y，把它的坐標(biāo)x, y代入Ax+By+C,所得

4、到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以 只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn) X0,y°，從Ax0+ By0+ C的正負(fù) 即可判斷Ax+By+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域 .特殊地，當(dāng) C0時(shí)，常把 原點(diǎn)作為此特 殊點(diǎn)3、線性規(guī)劃的有關(guān)概念:線性約束條件：在上述問(wèn)題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱(chēng)線性約束條件.線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=ax+by是欲到達(dá)最大值或最小值所涉與的變量x、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù).線性規(guī)劃問(wèn)題：般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題,統(tǒng)稱(chēng)為線性規(guī)劃問(wèn)題.可行解、可行域和最優(yōu)解滿足線性

5、約束條件的解x,y叫可行解.由所有可行解組成的集合叫做可行域.使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解.4、求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟:1尋找線性約束條件，列出線性目標(biāo)函數(shù);2由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做岀可行域;3依據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)作參照直線ax+by= 0,在可行域內(nèi)平移參照直線求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)四根本不等式ab 乞上21.假設(shè)a,b R,那么a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)2如果a,b是正數(shù)，那么 ab當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取""號(hào).2變形： 有:a+b > 2 ab ； ab <，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)23.如果

6、a,b R+ ,a b=P定值,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),a+b有最小值2 P ;如果S2a,b R+且a+b=S 定值,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),ab有最大值注: (1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，可以求它們和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大2求最值的重要條件“一正，二定，三取等4.常用不等式有：12 b a2- Vab 了2了根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算a b2 2 2結(jié)構(gòu)選用；2a、b、c R, a b c ab bc ca 當(dāng)且僅當(dāng) a b c時(shí)，取等 號(hào)；3假設(shè)a b 0,m0，那么b 丄糖水的濃度問(wèn)題。a a m不等式主要題型講解一不等式與不等關(guān)系題

7、型一：不等式的性質(zhì)1. 對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c中，給出以下命題：假設(shè) a b,貝 V ac2bc2 ；假設(shè) ac2 bc2,貝 V a b ；2 2 11假設(shè)a b 0,那么a2 ab b2 ；假設(shè)a b 0,那么a bb a假設(shè)a b 0,那么；假設(shè)a b 0,那么a b ；a bb11假設(shè)cab 0,那么；假設(shè)a b, ，那么a 0,b0 。c a c ba b其中正確的命題是題型二：比擬大小作差法、函數(shù)單調(diào)性、中間量比擬，根本不等式2. 設(shè)2， pa -， q2a 4a 2，試比擬p,q的大小a 23. 比擬 1 + logx3 與 2logx2(x 0且 x 1)的大小4.b 1, P l

8、g a lg b,Q1 b(lg a lg b), R lg( )，那么 P,Q,R 的大小關(guān)系2 2(二) 解不等式題型三：解不等式5. 解不等式 y ' 16. 解不等式(x 1)(x 2)2 0。7. 解不等式25 X 1x2 2x 328. 不等式 ax bx 120 的解集為x|-1 vxv2，那么 a=, b=9. 關(guān)于x的不等式ax b 0的解集為(1,),那么關(guān)于x的不等式 竺20的解x 2集為10. 解關(guān)于x的不等式ax2 (a 1)x 10題型四：恒成立問(wèn)題11.關(guān)于x的不等式a X2+ a x+1 > 0恒成立，那么a的取值X圍是12.假設(shè)不等式x2 2mx

9、 2m 10對(duì)0 x 1的所有實(shí)數(shù)x都成立，求m的取值X1913.x 0, y 0且 一x y(1)x5，求函數(shù)y4x 21的最大值。4x 51，求使不等式x y m恒成立的實(shí)數(shù) m的取值X圍。(三) 根本不等式ab2題型五：求最值14.(直接用)求以下函數(shù)的值域1 1(1)y= 3x 2 + 衣(2) y= x+ x15.(配湊項(xiàng)與系數(shù))16.(耐克函數(shù)型)求 y7xx 110(x1)的值域。注意：在應(yīng)用根本不等式求最值時(shí)，假設(shè)遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x) x -的x單調(diào)性。X2517.(用耐克函數(shù)單調(diào)性)求函數(shù) y / 2的值域。vx2 418.(條件不等式)(1)假設(shè)實(shí)數(shù)滿足a

10、 b 2，那么3a 3b的最小值是.(2)19x 0, y 0，且1，求x y的最小值。x y(3) x, y為正實(shí)數(shù)，且x 2+二 =1，求x . 1 + y2的最大值.1(4)a, b為正實(shí)數(shù)，2b + ab+ a = 30,求函數(shù)y =話 的最小值題型六：利用根本不等式證明不等式2 2 219.a, b, c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a b c ab bc ca20.正數(shù) a, b, c滿足 a + b+ c= 1，求證：(1 a)(1 b)(1 c)> 8abc21. a、b、c R，且 a b c 1。求證:題型七：均值定理實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題:22.某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積

11、為200m2的三級(jí)污水處理池(平面圖如圖),如果池外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元,池壁的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。四線性規(guī)劃25.x, y滿足約束條件:x 03x 4yy，那么2y 2X的最小值是題型八：目標(biāo)函數(shù)求最值2x y 3023.滿足不等式組7x y 80，求目標(biāo)函數(shù)k 3x y的最大值x,y 0實(shí)系數(shù)兀一次方程2x 1 ax a b 10的兩個(gè)實(shí)根為 X!、x2 ,并且24.0人2,x22 那么的取值X圍是a 1x 2y 3026.變量x, y滿足約束條件x 3y 3 0.假設(shè)目

12、標(biāo)函數(shù)z ax y (其中a>0)僅 y 10在點(diǎn)3，0處取得最大值，那么 a的取值X圍為。y1,27.實(shí)數(shù)x, y滿足y2x1,如果目標(biāo)函數(shù)z x y的最小值為1，那么實(shí)數(shù)m等于xym.()題型九：實(shí)際問(wèn)題28.某餅店制作的豆沙月餅每個(gè)本錢(qián)35元，售價(jià)50元；鳳梨月餅每個(gè)本錢(qián) 20元，售價(jià)30元。現(xiàn)在要將這兩種月餅裝成一盒，個(gè)數(shù)不超過(guò)10個(gè)，售價(jià)不超過(guò) 350元，問(wèn)豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個(gè)，可使利潤(rùn)最大？又利潤(rùn)最大為多少？復(fù)習(xí)一一不等式的根本知識(shí)參考答案高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容練習(xí)-不等式1.;2.3.4-時(shí)，1+log x3 > 2log x2 ；當(dāng) 134時(shí)，1+ log x3 &

13、lt; 2log x 2 ；當(dāng)3x -時(shí),31 + logx3 = 2log x24.lga 0,lgbR宀)1f0 Q (lga lgb) lg a lgb lg . ab 1 lg ab Q 二 r>q>p。5.6.x | X 1 或 X2；7.(1,1)U(2,3)；8.2不等式ax bx120 的解集為x|-1 v XV 2，那么 a =-6, b=_6.10.解：1 a = 0時(shí)，不等式的解集為XX 1 ；2分11當(dāng)a工0寸，a(x)(x- 1)< 0；當(dāng)a< 0時(shí)，原不等式等價(jià)于(x)(x- 1) >0aa1不等式的解集為XX 1或X； 6分a當(dāng)0&l

14、t;a< 1時(shí)，1< 1，不等式的解集為x1 X - ； 8分aa11當(dāng)a> 1時(shí)，< 1,不等式的解集為x ' x 1 ； 10分aa當(dāng)a = 1時(shí)，不等式的解為 ©12分).9.(,1) (2,11.0 < xv 412.m1-)213.m,1614.解:(1) y= 3x2+右>2 2： 2 = - 6 二值域?yàn)?.6 ， +8)(2)當(dāng) x> 0 時(shí)，y = x+1 > 2px x =2 ；當(dāng)xv 0時(shí),1 1尸X+1= -(-x-x )15.值域?yàn)?，-2 U 2， +8)54,5 4x 0， y4x2 5 4x4x

15、5132 3 15 4x當(dāng)且僅當(dāng)5 4x(2)1，即x 1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng) x 1時(shí)，5 4xy = X8-= l2z - (8 - 2h) < 擴(kuò)亡-巧，=8ymax 1。當(dāng)2x= 3- 2a，即x= 2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x = 2時(shí)，y x(8 2x)的最大值為8。16.解析一:/ +7/ + 10> =當(dāng)1 ,即 - 1 '時(shí)，y 2., (x 1)459 (當(dāng)且僅當(dāng)x= 1時(shí)取“=號(hào))。解析二：此題看似無(wú)法運(yùn)用根本不等式，可先換元，令t=x+ 1，化簡(jiǎn)原式在別離求最值。(t 1)27(t 1)+10 t2 5t 4y ： t當(dāng)-14tt,即 t= ；時(shí)，y 2(當(dāng)t

16、=2即x= 1時(shí)取“=號(hào))。17.解：令x24 t(t 2)，那么2xx2 4t 】(t2)x24 丿因?yàn)?0,t -1，但 tt1y t 在區(qū)間t1不在區(qū)間2,，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?8.(條件不等式)1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故y總2(1)解：3a和3b都是正數(shù)，3a3b > 23a3b23ab6當(dāng)3aba3時(shí)等號(hào)成立，由a b 2與33b得a b 1即當(dāng)aabb 1時(shí)，33的最小值是6.當(dāng)且僅當(dāng)9x時(shí)，上式等號(hào)成立，又y，可得x4,y12 時(shí)，xmin16(3)1 + y 2廠=x 1十與解:下面將x，+與 分別看成兩個(gè)因式:+ y

17、22 )2x 2k2 =y 21-k 2十22即 x , 1 + y2 = .2+專(zhuān).2(2)片19解：丁 x 0,y 0,- - 1,19x y x y _y9x10 6 10 16x yx yxy(4)解：法一 a=汙，ab =需 b =b+ 1b + 1b + 1由 a > 0 得，Ov b v 15令 t = b+1, 1 v tv 16，ab2t2+ 如31 一 2( t + 普)+ 34 V t+ 嚴(yán)莎 t 晉法二：由得：30 ab= a + 2b - a + 2bA2.2 ab - - 30 abA 2f2 ab/ ab< 18y售 當(dāng)且僅當(dāng)t= 4，即 b= 3，a

18、= 6時(shí)，等號(hào)成立。18令 u = ab 那么 u2+ 2 2 u - 30 < 0，- 5 2 < u< 3 2,ab < 3J2 ， ab< 18，. y> 花19.a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證2 ab22 cab bcca20.正數(shù)a，b，c滿足a+ b + c= 1，求證：(1 a)(1 b)(1 c) a 8abc21.a、b、c R，且 a b c 1o求證：丄11 1丄18abc11 ab c2 bc廠1“2 . ac證明:! P4a、b、c R ，a b c 1 o-1o同理1aaaabb1 1 乙眇。上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得cC11 i 2、. be 2 ., ac 2 ab號(hào)。ea b e320022.假設(shè)設(shè)污水池長(zhǎng)為x米，那么寬為：-米200 2 200>：米中間隔墻長(zhǎng)：: