最新中考數學二次函數壓軸題題型歸納

1、中考二次函數綜合壓軸題型歸類、常考點匯總1、兩點間的距離公式：AB = j(yA - yB j +(xA xB 22、中點坐標：線段AB的中點C的坐標為：xA + xB yA , yB 1 22 J直線 y =k1x +bi( ki = 0)與 y = k2x +b2 ( k2 0 0 )的位置關系：(1)兩直線平行 u ki =k2且bi =b2(2)兩直線相交 a ki # k2(3)兩直線重合u k = k2 且 bi = b2(4)兩直線垂直kik2 = - i3、一元二次方程有整數根問題 ，解題步驟如下： 用和參數的其他要求確定參數的取值范圍；解方程，求出方程的根；(兩種形式：分式、

2、二次根式) 分析求解：若是分式，分母是分子的因數；若是二次根式，被開方式是完全平方式。例：關于x的一元二次方程 x22(m+i' +m2=0有兩個整數根， m<5且m為整數，求m的值。4、二次函數與x軸的交點為整數點問題。(方法同上)例：若拋物線 y = mx2+(3m+i x+3與x軸交于兩個不同的整數點，且 m為正整數，試確定 此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：已知關于x的方程mx2 3(mi)x+2m 3 = 0 ( m為實數)，求證：無論 m為何值，方程總 有一個固定的根。解：當m=0時，x=i;當 m#0 時，A=(m

3、3f 20, x = 3m )C, x1=2x2 =i ;2mm綜上所述：無論 m為何值，方程總有一個固定的根是io6、函數過固定點問題，舉例如下：已知拋物線y=x2 -mx+m-2 (m是常數)，求證：不論 m為何值，該拋物線總經過一個 固定的點，并求出固定點的坐標。解：把原解析式變形為關于 m的方程y -x2 +2 = m(i - x );2y -x 2=01 x =0y J.x = 1拋物線總經過一個固定的點（1, 1）。小結：關于x的方程ax = b有無數解ua = 0b=0（題目要求等價于：關于 m的方程y -x2 +2 = m（1 -x"論m為何值，方程恒成立）7、路徑最

4、值問題（待定的點所在的直線就是對稱軸）（1）如圖，直線11、12,點A在12上，分別在11、12上確定兩點M、N ,使得AM + MN之和最小。（2）如圖，直線112相交，兩個固定點 A、B,分別在11、12上確定兩點M、N ,使得BM +MN + AN之和最小。（3）如圖，A、B是直線1同旁的兩個定點，線段 a,在直線1上確定兩點E、F （ E在F的 左側），使得四邊形AEFB的周長最小。A98、在平面直角坐標系中求面積的方法:直接用公式、割補法三角形的面積求解常用方法：如右圖,&pae=1/2- PM- x=1/2 - AN - Ay9、函數的交點問題： 二次函數(y=ax2+bx

5、+c)與一次函數(y=kx+h)y = ax2+bx+ c(1)解方程組)y ax bx 9求出兩個圖象交點的坐標。y=kx+ h(2)解方程組J'y=ax2+bx+ c,即 ax2+(b-kx+c-h = 0, y=kx+ h通過可判斷兩個圖象的交點的個數有兩個交點u&>0僅有一個交點二,： =0沒有交點二A<010、方程法(1)設：設主動點的坐標或基本線段的長度(2)表示：用含同一未知數的式子表示其他相關的數量(3)列方程或關系式11、幾何分析法特別是構造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時，利用幾何分析法能給解題帶來

6、方便。幾何要求幾何分析涉及公式應用圖形跟平行有關的 圖形平移11 l2 u k1= k2、k =x1 x2平行四邊形矩形梯形跟直角有關的 圖形勾股定理逆定理利用相似、全等、平 行、對頂角、互余、 互補等ab =J(yA y 2 +心-xb 2直角三角形 直角梯形 矩形跟線段有關的 圖形利用幾何中的全等、 中垂線的性質等。AB =4(Va -yB ) +(xa -xb )等腰三角形全等等腰梯形跟角有關的圖 形利用相似、全等、平 行、對頂角、互余、 互補等【例題精講】,0)兩點，頂點為D。y= x2-2x-3 (以下幾種分類的函數解析式就是這個)和最小，差最大在對稱軸上找一點 P,使得PB+PC的

7、和最小，求出 P點坐標在對稱軸上找一點 P,使得PB-PC的差最大，求出 P點坐標求面積最大連接AC,在第四象限找一點 P,使彳# AACP面積最大，求出 P坐標 討論直角三角 連接AC,在對稱軸上找一點 P,使得AACP為直角三角形，求出P坐標或者在拋物線上求點 P,使 ACP是以AC為直角邊的直角三角形. 討論等腰三角 連接AC,在對稱軸上找一點 P,使得AACP為等腰三角形, 求出P坐標 討論平行四邊形1、點E在拋物線的對稱軸上，點 F在拋物線上,且以B, A, F, E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點 F的坐標二綜合題型例1(中考變式)如圖，拋物線y = x2+bx+c與x軸交與A

8、(1,0),B(-3 交Y軸于C(1)求該拋物線的解析式與 ABC的面積。(2)在拋物線第二象限圖象上是否存在一點M,使4MBC是以/ BCM為直角的直角三角形，若存在，求出點P的坐標。若沒有，請說明理由0)若E為拋物線B、C兩點間圖象上的一個動點 (不與A、B重合)，過E作EF與X軸垂直，交 BC于F ,設E點橫坐標為x.EF的長度為L , 求L關于X的函數關系式？關寫出 X的取值范圍？當E點運動到什么位置時，線段 EF的值最大，并求此時 E點的坐標？(4)在(5)的情況下直線 BC與拋物線的對稱軸交于點H、D為頂點的四邊形為平行四邊形？H。當E點運動到什么位置時，以點E、F、(5)在(5)

9、的情況下點 E運動到什么位置時，使三角形BCE的面積最大?例2 1考q：4t朱于面積最值如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為(1,0)、(0, 4弓)，點B在X軸上.已知某二次函數的圖象經過 A、B、C三點，且它的對稱軸為直線 x= 1,點P為直線BC下方的二次函數圖象上的一個動點(點 P與B、C不重合)，過點 P作y軸的平行線交BC于點F.(1)求該二次函數的解析式；(2)若設點P的橫坐標為m,試用含m的代數式表示線段 PF的長;(3)求 PBC面積的最大值，并求此時點P的坐標.例3 考點：討論等腰如圖，已知拋物線 y= 3x2+bx+c與y軸相交于C,與x軸相交于A、B,點A的坐

10、標為（2, 0）, 2點C的坐標為（0, 1）.（1）求拋物線的解析式；（2）點E是線段AC上一動點，過點 E作DEx軸于點D,連結DC,當 DCE的面積最大時，求點D的坐標；（3）在直線BC上是否存在一點 P,使4ACP為等腰三角形，若存在，求點 P的坐標，若不存在，說明理由.例4考點：討論直角三角如圖，已知點 A （一 1, 0）和點B （1, 2）,在坐標軸上確定點P,使得 ABP為直角三角形，則滿足這樣條件的點P共有（）（A） 2個 （B） 4個（C）6個（D） 7個 已知：如圖一次函數 y= -x+1的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點21B; 一次函數y=-2bx+ c的圖象與一次函

11、數B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標為（1,1y= - x+1的圖象交于 2(1)求二次函數的解析式；(2)求四邊形BDEC的面積S;(3)在x軸上是否存在點 P,使得 PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的 點P,若不存在，請說明理由.例5考點:討論四邊形已知：如圖所示，關于x的拋物線y= ax2+x+ c (aw0)與x軸交于點A ( -2, 0),點B (6, 0), 與y軸交于點C.(1)求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；(2)在拋物線上有一點 D,使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點 D的坐標，并求出直線 AD的 解析式；(3)在(2)中的直線AD交拋物線的

12、對稱軸于點 M,拋物線上有一動點 P, x軸上有一動點 Q.是 否存在以A、M、P、Q為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.x綜合練習:2xOy中，拋物線 y=ax 4ax + 4a+c與x軸交于點 A、點B,與y軸的正半軸交于點C,點A的坐標為(1, 0), OB=OC,拋物線的頂點為 D。(1) 求此拋物線的解析式；(2) 若此拋物線的對稱軸上的點P滿足/ APB = Z ACB ,求點P的坐標；(3) Q為線段BD上一點，點A關于/ AQB的平分線的對稱點為 A ,若QA QB=J2,求點Q 的坐標和此時 QAA'的面積。2在平面直角坐標系

13、xOy中，已知二次函數 y =ax2+2ax+c的圖像與y軸交于點C(0,3),與x 軸交于A、B兩點，點B的坐標為(-3,0%(1)求二次函數的解析式及頂點D的坐標；(2)點M是第二象限內拋物線上的一動點，若直線OM把四邊形ACDB分成面積為1 : 2的兩部分，求出此時點 M的坐標；(3)點P是第二象限內拋物線上的一動點，問：點 P在何處時4CPB的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點 P的坐標。口口圖，在平面直角坐標系 xOy中，拋物線y =2x2 -2x與x軸負半軸交于點 A,頂點為B , m且對稱軸與x軸交于點C。(1)求點B的坐標(用含 m的代數式表示)；(2) D為OB中點，直線

14、 AD交y軸于E,若E (0, 2),求拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，點 M在直線OB上，且使得 MMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線BC上，若以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點 P的坐標。£S知關于 x 的方程(1m)x2+(4m)x+3 = 0。(1)若方程有兩個不相等的實數根，求 m的取值范圍；(2)若正整數m滿足82m> 2,設二次函數y = (1 m)x2+(4m)x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，將此圖象在 x軸下方的部分沿 x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一 個新的圖象；請你結合這個新的圖象回答： 當直線y=kx+3與此圖象恰好有

15、三個公共點時， 求出k的值(只需要求出兩個滿足題意的 k值即可)。升8 6 -5如圖,拋物線 y=ax2+2ax+c (awQ與y軸交于點C (0, 4)，與x軸交于點A (4, 0)和B.(1)求該拋物線的解析式;(2)點Q是線段AB上的動點，過點 Q作QE /AC,交BC于點E, 連接CQ.當4CEQ的面積最大時，求點 Q的坐標；(3)平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點 P,與直線AC交于點F, 點D的坐標為(-2, 0).問是否有直線1,使ODF是等腰三角形？ 若存在，請求出點 F的坐標；若不存在，請說 明理由.三、中考二次函數代數型綜合題題型一、拋物線與 x軸的兩個交點分別位于某定點

16、的兩側例1.已知二次函數 y=x2+(m- 1)x+ m-2的圖象與x軸相交于A (xi, 0) , B(X2, 0)兩點，且X1<X2.(1)若xix2<0,且m為正整數，求該二次函數的表達式；若xi<1, x2> 1,求m的取值范圍；(3)是否存在實數 E使彳#過 A B兩點的圓與y軸相切于點C (0, 2),若存在，求出 m的值； 若不存在，請說明理由；1 MD 1(4)若過點D (0, y)的直線與(1)中的二次函數圖象相交于 M N兩點，且"DN=與，求該直 線的表達式.題型二、拋物線與x軸兩交點之間的距離問題例2已知二次函數y= x 2+mx+m-

17、5 ,(1)求證：不論 m取何值時，拋物線總與 x軸有兩個交點；(2)求當m取何值時，拋物線與 x軸兩交點之間的距離最短.題型三、拋物線方程的整數解問題例1. 已知拋物線y =x2 -2(m+1)x + m2 =0與x軸的兩個交點的橫坐標均為整數，且m< 5,則整數m的值為例2.已知二次函數 y=x22mx+ 4m 8.(1)當xW2時，函數值y隨x的增大而減小，求 m的取值范圍；(2)以拋物線y=x2 2mx+4m 8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內接正MMN (M, N兩點在拋物線上)，請問： AMN勺面積是與m無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；(3)若拋物線y

18、= x2 2mx+4m8與x軸交點的橫坐標均為整數, 求整數m的值.題型四、拋物線與對稱，包括：點與點關于原點對稱、拋物線的對稱性、數形結合例1.已知拋物線y=x2+bx+c (其中b>0, cw0)與y軸的交點為A,點A關于拋物線對稱軸的對稱點為 B(m,n),且AB=2.(1)求m,b的值(2)如果拋物線的頂點位于x軸的下方，且 BO=V20o求拋物線所對應的函數關系式(友情提醒：請畫圖思考)題型五、拋物線中韋達定理的廣泛應用(線段長、定點兩側、點點關于原點對稱、等等)2 ,一一，、一例1.已知：一次函數 y=x 4x+m的圖象與x軸交于不同的兩點 A ( x1，0)、B (x2,。

19、)( x1v X2),其頂點是點 C,對稱軸與x軸的交于點D.(1)求實數m的取值范圍；(2)如果(x1+1) ( x2+1) =8,求二次函數的解析式；(3)把(2)中所得的二次函數的圖象沿 y軸上下平移，如果平移后的函數圖象與x軸交于點A、B1，頂點為點C1,且 ABG是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數解析式.綜合提升1 .已知二次函數的圖象與 x軸交于A, B兩點，與y軸交于點C (0, 4),且| AB = 2，3,圖象的 對稱軸為x=1.(1)求二次函數的表達式；(2)若二次函數的圖象都在直線y = x+m的下方，求 m的取值范圍.2 .已知二次函數 y=x2+mx-2.(1)若該

20、二次函數圖象與 x軸的兩個交點 A B分別在原點的兩側，并且 A氏。5,求m的值；(2)設該二次函數圖象與 y軸的交點為C,二次函數圖象上存在關于原點對稱的兩點M N,且Samnc= 27,求m的值.3 .已知關于x的一元二次方程 x2 2(卜+1口+卜2=0有兩個整數根，k<5且k為整數.(1)求k的值；(2)當此方程有兩個非零的整數根時，將關于 x的二次函數y=x2-2(k+ 1)x+k2的圖象沿x軸向左平移4個單位，求平移后的二次函數圖象的解析式；(3)根據直線y = x+ b與(2)中的兩個函數圖象交點的總個數，求 b的取值范圍.4 .已知二次函數的圖象經過點 A (1, 0)和

21、點B (2, 1),且與y軸交點的縱坐標為 mi (1)若m為定值，求此二次函數的解析式；(2)若二次函數的圖象與 x軸還有異于點A的另一個交點，求 m的取值范圍；(3)若二次函數的圖象截直線 y= -x+ 1所得線段的長為2艱，求m的值.四、中考二次函數定值問題1.如圖，已知二次函數 L1： y=x2 - 4x+3與x軸交于A. B兩點(點A在點B左邊)，與y軸交于點 C.(1)寫出二次函數 L1的開口方向、對稱軸和頂點坐標；(2)研究二次函數 L2： y=kx2- 4kx+3k (kw0).寫出二次函數 L2與二次函數L1有關圖象的兩條相同的性質；EF若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出的長度；如果會，請說明理由.2.如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于A(2O)、B(2, 0)、C(0, l)三點，過坐標原點 。的直線