最新中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題題型歸納

1、中考二次函數(shù)綜合壓軸題型歸類、?？键c(diǎn)匯總1、兩點(diǎn)間的距離公式：AB = j(yA - yB j +(xA xB 22、中點(diǎn)坐標(biāo)：線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為：xA + xB yA , yB 1 22 J直線 y =k1x +bi( ki = 0)與 y = k2x +b2 ( k2 0 0 )的位置關(guān)系：(1)兩直線平行 u ki =k2且bi =b2(2)兩直線相交 a ki # k2(3)兩直線重合u k = k2 且 bi = b2(4)兩直線垂直kik2 = - i3、一元二次方程有整數(shù)根問題 ，解題步驟如下： 用和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍；解方程，求出方程的根；(兩種形式：分式、

2、二次根式) 分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次根式，被開方式是完全平方式。例：關(guān)于x的一元二次方程 x22(m+i' +m2=0有兩個(gè)整數(shù)根， m<5且m為整數(shù)，求m的值。4、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為整數(shù)點(diǎn)問題。(方法同上)例：若拋物線 y = mx2+(3m+i x+3與x軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且 m為正整數(shù)，試確定 此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：已知關(guān)于x的方程mx2 3(mi)x+2m 3 = 0 ( m為實(shí)數(shù))，求證：無論 m為何值，方程總 有一個(gè)固定的根。解：當(dāng)m=0時(shí)，x=i;當(dāng) m#0 時(shí)，A=(m

3、3f 20, x = 3m )C, x1=2x2 =i ;2mm綜上所述：無論 m為何值，方程總有一個(gè)固定的根是io6、函數(shù)過固定點(diǎn)問題，舉例如下：已知拋物線y=x2 -mx+m-2 (m是常數(shù))，求證：不論 m為何值，該拋物線總經(jīng)過一個(gè) 固定的點(diǎn)，并求出固定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：把原解析式變形為關(guān)于 m的方程y -x2 +2 = m(i - x );2y -x 2=01 x =0y J.x = 1拋物線總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)（1, 1）。小結(jié)：關(guān)于x的方程ax = b有無數(shù)解ua = 0b=0（題目要求等價(jià)于：關(guān)于 m的方程y -x2 +2 = m（1 -x"論m為何值，方程恒成立）7、路徑最

4、值問題（待定的點(diǎn)所在的直線就是對(duì)稱軸）（1）如圖，直線11、12,點(diǎn)A在12上，分別在11、12上確定兩點(diǎn)M、N ,使得AM + MN之和最小。（2）如圖，直線112相交，兩個(gè)固定點(diǎn) A、B,分別在11、12上確定兩點(diǎn)M、N ,使得BM +MN + AN之和最小。（3）如圖，A、B是直線1同旁的兩個(gè)定點(diǎn)，線段 a,在直線1上確定兩點(diǎn)E、F （ E在F的 左側(cè)），使得四邊形AEFB的周長(zhǎng)最小。A98、在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法:直接用公式、割補(bǔ)法三角形的面積求解常用方法：如右圖,&pae=1/2- PM- x=1/2 - AN - Ay9、函數(shù)的交點(diǎn)問題： 二次函數(shù)(y=ax2+bx

5、+c)與一次函數(shù)(y=kx+h)y = ax2+bx+ c(1)解方程組)y ax bx 9求出兩個(gè)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)。y=kx+ h(2)解方程組J'y=ax2+bx+ c,即 ax2+(b-kx+c-h = 0, y=kx+ h通過可判斷兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)u&>0僅有一個(gè)交點(diǎn)二,： =0沒有交點(diǎn)二A<010、方程法(1)設(shè)：設(shè)主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或基本線段的長(zhǎng)度(2)表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量(3)列方程或關(guān)系式11、幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時(shí)，利用幾何分析法能給解題帶來

6、方便。幾何要求幾何分析涉及公式應(yīng)用圖形跟平行有關(guān)的 圖形平移11 l2 u k1= k2、k =x1 x2平行四邊形矩形梯形跟直角有關(guān)的 圖形勾股定理逆定理利用相似、全等、平 行、對(duì)頂角、互余、 互補(bǔ)等ab =J(yA y 2 +心-xb 2直角三角形 直角梯形 矩形跟線段有關(guān)的 圖形利用幾何中的全等、 中垂線的性質(zhì)等。AB =4(Va -yB ) +(xa -xb )等腰三角形全等等腰梯形跟角有關(guān)的圖 形利用相似、全等、平 行、對(duì)頂角、互余、 互補(bǔ)等【例題精講】,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D。y= x2-2x-3 (以下幾種分類的函數(shù)解析式就是這個(gè))和最小，差最大在對(duì)稱軸上找一點(diǎn) P,使得PB+PC的

7、和最小，求出 P點(diǎn)坐標(biāo)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn) P,使得PB-PC的差最大，求出 P點(diǎn)坐標(biāo)求面積最大連接AC,在第四象限找一點(diǎn) P,使彳# AACP面積最大，求出 P坐標(biāo) 討論直角三角 連接AC,在對(duì)稱軸上找一點(diǎn) P,使得AACP為直角三角形，求出P坐標(biāo)或者在拋物線上求點(diǎn) P,使 ACP是以AC為直角邊的直角三角形. 討論等腰三角 連接AC,在對(duì)稱軸上找一點(diǎn) P,使得AACP為等腰三角形, 求出P坐標(biāo) 討論平行四邊形1、點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn) F在拋物線上,且以B, A, F, E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn) F的坐標(biāo)二綜合題型例1(中考變式)如圖，拋物線y = x2+bx+c與x軸交與A

8、(1,0),B(-3 交Y軸于C(1)求該拋物線的解析式與 ABC的面積。(2)在拋物線第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)M,使4MBC是以/ BCM為直角的直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。若沒有，請(qǐng)說明理由0)若E為拋物線B、C兩點(diǎn)間圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) (不與A、B重合)，過E作EF與X軸垂直，交 BC于F ,設(shè)E點(diǎn)橫坐標(biāo)為x.EF的長(zhǎng)度為L(zhǎng) , 求L關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式？關(guān)寫出 X的取值范圍？當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段 EF的值最大，并求此時(shí) E點(diǎn)的坐標(biāo)？(4)在(5)的情況下直線 BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)H、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？H。當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以點(diǎn)E、F、(5)在(5)

9、的情況下點(diǎn) E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使三角形BCE的面積最大?例2 1考q：4t朱于面積最值如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(1,0)、(0, 4弓)，點(diǎn)B在X軸上.已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過 A、B、C三點(diǎn)，且它的對(duì)稱軸為直線 x= 1,點(diǎn)P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) P與B、C不重合)，過點(diǎn) P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)F.(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,試用含m的代數(shù)式表示線段 PF的長(zhǎng);(3)求 PBC面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).例3 考點(diǎn)：討論等腰如圖，已知拋物線 y= 3x2+bx+c與y軸相交于C,與x軸相交于A、B,點(diǎn)A的坐

10、標(biāo)為（2, 0）, 2點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0, 1）.（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) E作DEx軸于點(diǎn)D,連結(jié)DC,當(dāng) DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在直線BC上是否存在一點(diǎn) P,使4ACP為等腰三角形，若存在，求點(diǎn) P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.例4考點(diǎn)：討論直角三角如圖，已知點(diǎn) A （一 1, 0）和點(diǎn)B （1, 2）,在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P,使得 ABP為直角三角形，則滿足這樣條件的點(diǎn)P共有（）（A） 2個(gè) （B） 4個(gè)（C）6個(gè)（D） 7個(gè) 已知：如圖一次函數(shù) y= -x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)21B; 一次函數(shù)y=-2bx+ c的圖象與一次函

11、數(shù)B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1y= - x+1的圖象交于 2(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求四邊形BDEC的面積S;(3)在x軸上是否存在點(diǎn) P,使得 PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出所有的 點(diǎn)P,若不存在，請(qǐng)說明理由.例5考點(diǎn):討論四邊形已知：如圖所示，關(guān)于x的拋物線y= ax2+x+ c (aw0)與x軸交于點(diǎn)A ( -2, 0),點(diǎn)B (6, 0), 與y軸交于點(diǎn)C.(1)求出此拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在拋物線上有一點(diǎn) D,使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點(diǎn) D的坐標(biāo)，并求出直線 AD的 解析式；(3)在(2)中的直線AD交拋物線的

12、對(duì)稱軸于點(diǎn) M,拋物線上有一動(dòng)點(diǎn) P, x軸上有一動(dòng)點(diǎn) Q.是 否存在以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.x綜合練習(xí):2xOy中，拋物線 y=ax 4ax + 4a+c與x軸交于點(diǎn) A、點(diǎn)B,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1, 0), OB=OC,拋物線的頂點(diǎn)為 D。(1) 求此拋物線的解析式；(2) 若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)P滿足/ APB = Z ACB ,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3) Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于/ AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為 A ,若QA QB=J2,求點(diǎn)Q 的坐標(biāo)和此時(shí) QAA'的面積。2在平面直角坐標(biāo)系

13、xOy中，已知二次函數(shù) y =ax2+2ax+c的圖像與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x 軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0%(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，若直線OM把四邊形ACDB分成面積為1 : 2的兩部分，求出此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn) P在何處時(shí)4CPB的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)。口口圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線y =2x2 -2x與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn) A,頂點(diǎn)為B , m且對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C。(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)(用含 m的代數(shù)式表示)；(2) D為OB中點(diǎn)，直線

14、 AD交y軸于E,若E (0, 2),求拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，點(diǎn) M在直線OB上，且使得 MMC的周長(zhǎng)最小，P在拋物線上，Q在直線BC上，若以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn) P的坐標(biāo)。£S知關(guān)于 x 的方程(1m)x2+(4m)x+3 = 0。(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求 m的取值范圍；(2)若正整數(shù)m滿足82m> 2,設(shè)二次函數(shù)y = (1 m)x2+(4m)x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，將此圖象在 x軸下方的部分沿 x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一 個(gè)新的圖象；請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答： 當(dāng)直線y=kx+3與此圖象恰好有

15、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)， 求出k的值(只需要求出兩個(gè)滿足題意的 k值即可)。升8 6 -5如圖,拋物線 y=ax2+2ax+c (awQ與y軸交于點(diǎn)C (0, 4)，與x軸交于點(diǎn)A (4, 0)和B.(1)求該拋物線的解析式;(2)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) Q作QE /AC,交BC于點(diǎn)E, 連接CQ.當(dāng)4CEQ的面積最大時(shí)，求點(diǎn) Q的坐標(biāo)；(3)平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn) P,與直線AC交于點(diǎn)F, 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2, 0).問是否有直線1,使ODF是等腰三角形？ 若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說 明理由.三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題題型一、拋物線與 x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于某定點(diǎn)

16、的兩側(cè)例1.已知二次函數(shù) y=x2+(m- 1)x+ m-2的圖象與x軸相交于A (xi, 0) , B(X2, 0)兩點(diǎn)，且X1<X2.(1)若xix2<0,且m為正整數(shù)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；若xi<1, x2> 1,求m的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù) E使彳#過 A B兩點(diǎn)的圓與y軸相切于點(diǎn)C (0, 2),若存在，求出 m的值； 若不存在，請(qǐng)說明理由；1 MD 1(4)若過點(diǎn)D (0, y)的直線與(1)中的二次函數(shù)圖象相交于 M N兩點(diǎn)，且"DN=與，求該直 線的表達(dá)式.題型二、拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離問題例2已知二次函數(shù)y= x 2+mx+m-

17、5 ,(1)求證：不論 m取何值時(shí)，拋物線總與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)求當(dāng)m取何值時(shí)，拋物線與 x軸兩交點(diǎn)之間的距離最短.題型三、拋物線方程的整數(shù)解問題例1. 已知拋物線y =x2 -2(m+1)x + m2 =0與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且m< 5,則整數(shù)m的值為例2.已知二次函數(shù) y=x22mx+ 4m 8.(1)當(dāng)xW2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求 m的取值范圍；(2)以拋物線y=x2 2mx+4m 8的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正MMN (M, N兩點(diǎn)在拋物線上)，請(qǐng)問： AMN勺面積是與m無關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由；(3)若拋物線y

18、= x2 2mx+4m8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù), 求整數(shù)m的值.題型四、拋物線與對(duì)稱，包括：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、拋物線的對(duì)稱性、數(shù)形結(jié)合例1.已知拋物線y=x2+bx+c (其中b>0, cw0)與y軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為 B(m,n),且AB=2.(1)求m,b的值(2)如果拋物線的頂點(diǎn)位于x軸的下方，且 BO=V20o求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(友情提醒：請(qǐng)畫圖思考)題型五、拋物線中韋達(dá)定理的廣泛應(yīng)用(線段長(zhǎng)、定點(diǎn)兩側(cè)、點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、等等)2 ,一一，、一例1.已知：一次函數(shù) y=x 4x+m的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn) A ( x1，0)、B (x2,。

19、)( x1v X2),其頂點(diǎn)是點(diǎn) C,對(duì)稱軸與x軸的交于點(diǎn)D.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)如果(x1+1) ( x2+1) =8,求二次函數(shù)的解析式；(3)把(2)中所得的二次函數(shù)的圖象沿 y軸上下平移，如果平移后的函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A、B1，頂點(diǎn)為點(diǎn)C1,且 ABG是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數(shù)解析式.綜合提升1 .已知二次函數(shù)的圖象與 x軸交于A, B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C (0, 4),且| AB = 2，3,圖象的 對(duì)稱軸為x=1.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若二次函數(shù)的圖象都在直線y = x+m的下方，求 m的取值范圍.2 .已知二次函數(shù) y=x2+mx-2.(1)若該

20、二次函數(shù)圖象與 x軸的兩個(gè)交點(diǎn) A B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且 A氏。5,求m的值；(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象與 y軸的交點(diǎn)為C,二次函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M N,且Samnc= 27,求m的值.3 .已知關(guān)于x的一元二次方程 x2 2(卜+1口+卜2=0有兩個(gè)整數(shù)根，k<5且k為整數(shù).(1)求k的值；(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于 x的二次函數(shù)y=x2-2(k+ 1)x+k2的圖象沿x軸向左平移4個(gè)單位，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；(3)根據(jù)直線y = x+ b與(2)中的兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，求 b的取值范圍.4 .已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A (1, 0)和

21、點(diǎn)B (2, 1),且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 mi (1)若m為定值，求此二次函數(shù)的解析式；(2)若二次函數(shù)的圖象與 x軸還有異于點(diǎn)A的另一個(gè)交點(diǎn)，求 m的取值范圍；(3)若二次函數(shù)的圖象截直線 y= -x+ 1所得線段的長(zhǎng)為2艱，求m的值.四、中考二次函數(shù)定值問題1.如圖，已知二次函數(shù) L1： y=x2 - 4x+3與x軸交于A. B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊)，與y軸交于點(diǎn) C.(1)寫出二次函數(shù) L1的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)研究二次函數(shù) L2： y=kx2- 4kx+3k (kw0).寫出二次函數(shù) L2與二次函數(shù)L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；EF若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點(diǎn)，問線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如果不會(huì)，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由.2.如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A(2O)、B(2, 0)、C(0, l)三點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn) 。的直線