第一章章末檢測(cè)

1、章末檢測(cè)范圍1.11.2時(shí)間:45分鐘分值:100分題號(hào)1234567891011得分答案一、選擇題(本大題共7小題,每小題5分,共35分)1.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A=60°,a=2,則=()A.1B.C.D.2.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,則b=()A.B.C.2 D.33.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A=60°,b=1,SABC=,則的值為()A.B.C.D.4.根據(jù)下列情況,判斷三角形解的情況,其中正確的是()A.a=8,b=16,A=30°,有兩解B.

2、b=18,c=20,B=60°,有一解C.a=5,c=2,A=90°,無(wú)解D.a=30,b=25,A=150°,有一解5.已知鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC等于 ()A.5B.C.2D.16.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,則B等于()A.B.C.D.7.一船自西向東勻速航行,上午7時(shí)到達(dá)燈塔A的南偏西75°方向且距燈塔80 n mile的M處,若這只船的航行速度為10 n mile/h,則到達(dá)這座燈塔東南方向的N處時(shí)是上午()A.8時(shí)B.9時(shí)C.

3、10時(shí)D.11時(shí)二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)8.已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若A=,a=2,c=,則sin C=. 9.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且C=,sin A=,c-a=5-,則b=. 10.已知a,b,c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,若D為BC的中點(diǎn),·=,則角B=. 11.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=4,b=5,c=6,則=. 三、解答題(本大題共3小題,共45分)12.(15分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b

4、,c,且+=.(1)證明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.13.(15分)已知A,B,C為ABC的三個(gè)內(nèi)角,且其對(duì)邊分別為a,b,c,cos Bcos C-sin Bsin C=.(1)求A;(2)若a=2,b+c=4,求ABC的面積. 14.(15分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過(guò)t時(shí)后與輪船在B處相遇.(1)若相遇時(shí)小艇的航行距離最小,問(wèn)小

5、艇的航行速度應(yīng)為多少?(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí),試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使小艇能在最短時(shí)間內(nèi)與輪船相遇,并說(shuō)明理由.圖G1-1章末檢測(cè)答案1.D解析 由正弦定理得=,=,故選D.2.D解析 由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3b=-舍去,選D.3.B解析 因?yàn)镾ABC=,即bcsin A=,所以c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cos A=13,所以a=,所以=.4.D解析 選項(xiàng)A中,由=,得sin B=1,即B=90°,只有一解;選項(xiàng)B中,sin C=,且c>b

6、,C>B,故有兩解;選項(xiàng)C中,A=90°,a=5,c=2,b=,有解.因此A,B,C都不正確,故選D.5.B解析 ABC的面積S=AB·BCsin B=×1×sin B=,sin B=,又0<B<,B=或.當(dāng)B=時(shí),根據(jù)余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2+2=5,AC=,此時(shí)ABC為鈍角三角形,符合題意;當(dāng)B=時(shí),根據(jù)余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2=1,AC=1,此時(shí)AB2+AC2=BC2,ABC為直角三角形,不符合題意.綜上可知,AC=.6.A解析

7、 由條件得sin Bcos C+sin Bcos A=,由正弦定理,得sin Acos C+sin Ccos A=,sin(A+C)=,從而sin B=,又a>b,且B(0,),B=.7.D解析 由題意畫(huà)出示意圖如圖所示,則MAN=75°+45°=120°,MA=80,AMN=90°-75°=15°,ANM=45°.由正弦定理,得=,則MN=40,船從M處到N處需要的時(shí)間是=4(h),即到達(dá)這座燈塔東南方向的N處時(shí)是上午11時(shí),故選D. 8.解析 由正弦定理可得=,sin C=.9.解析 在ABC中,由正弦定理,得=,

8、即=.又c-a=5-,得c=5,a=.由sin A=,c=>,得cos A=,cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C=,則b2=a2+c2-2accos B=10+25-2×5××=5,則b=.10.30°解析 D為BC的中點(diǎn),=(+).又=-,·=(+)·(-)=(-)=(b2-c2),(b2-c2)=,b2=a2+c2-ac.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B知,cos B=,B=30°.11.解析 =,=.由余弦定理得cos A=,=×=,12.解:(1)

9、證明:根據(jù)正弦定理,可設(shè)=k(k>0),則a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,代入+=中,有+=,變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理,有cos A=,所以sin A=.由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4.13.解:(1) cos Bcos C-sin B

10、sin C=,cos(B+C)=cos(180°-A)=-cos A=,A=120°.(2)由(1)知A=120°,a=2,b+c=4,b2+c2-2bccos A=a2,即(b+c)2-2bc-2bccos A=a2,42-2bc+2bc×=,bc=4,ABC的面積S=bcsin A=×4×=.14.解:(1)由題意知AO=20,AB=30t,設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S,則S=. 故當(dāng)t=時(shí),Smin=10,v=30,即小艇以30海里/時(shí)的速度勻速行駛,相遇時(shí)小艇的航行距離最小.(2)由余弦定理得v2t2=400+900t2-2×20×30