對(duì)稱(chēng)性在微積分學(xué)中的應(yīng)用20150711

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱(chēng),則 有 ( , )x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)1( , )|( , ),0Dx yx yD x 2( , )|( , ),0Dx yx yD y 其中其中其中其中（2）如果D關(guān)于x軸(y=0)對(duì)稱(chēng),則 有 ( , )x yD 20,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yyf x y dxdyf x y dxdyf x yy關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)二重積分的對(duì)稱(chēng)性二重積分的對(duì)稱(chēng)性目錄 上頁(yè)

2、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 120,(,)( , ),2( , )( , )(,)( , )2( , )DDDfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxyf x yf x y dxdy 或其中 同上.12,D D（3）如果D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則 有 ( , )x yD目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推論推論:若若 D 關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 和和 y 軸都對(duì)稱(chēng)軸都對(duì)稱(chēng) ,則則10,( , )( , )4( , ),( , ),DDf x yxyf x y dxdyf x y dxdyf x yx y關(guān)于 或 為奇函數(shù)關(guān)于均為偶函數(shù)1( , )|0,0Dx yD xyD1Dxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

3、返回 結(jié)束 積分區(qū)域 D 關(guān)于 直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，即若(x,y)D,則(y, x)D.二重積分的輪換對(duì)稱(chēng)性：二重積分的輪換對(duì)稱(chēng)性：也就是表示D不等式x,y對(duì)調(diào)不等式不變,有(1)( , )d( , )dDDf x yf y x若D1 , D2分別是 D 中關(guān)于 直線(xiàn) y=x 對(duì)稱(chēng)的兩部分，則：.),(),(21dxdyxyfdxdyyxfDD簡(jiǎn)述為“你對(duì)稱(chēng)，我奇偶你對(duì)稱(chēng)，我奇偶”.(2)( , )( , ) f x yf y x( , )d0Df x y(3)( , )( , )f x yf y x，d),(Dyxfd),(21Dyxf則D1Dxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.二重積分的對(duì)稱(chēng)

4、性二重積分的對(duì)稱(chēng)性（1）如果D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則 有 ( , )x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)1( , )|( , ),0Dx yx yD x 2( , )|( , ),0Dx yx yD y 其中其中其中其中（2）如果D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則 有 ( , )x yD 20,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yyf x y dxdyf x y dxdyf x yy關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 120,(,)( , ),2( , )( ,

5、 )(,)( , )2( , )DDDfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxyf x yf x y dxdy 或其中 同上.12,D D（4）如果D關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，則yx( , )( , )DDf x y dxdyf y x dxdy（3）如果D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則 有 ( , )x yD目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1)( , )( , )DDf x y dxdyf y x dxdy稱(chēng)為關(guān)于積分變量的輪換對(duì)稱(chēng)性若 D 關(guān)于直線(xiàn)y = x對(duì)稱(chēng)，則簡(jiǎn)述為“你對(duì)稱(chēng)，我奇偶你對(duì)稱(chēng)，我奇偶”運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，(2)( , )( , ) f x yf y

6、 xD 位于 y=x 軸右下方的部分為D1 , ( , )d0Df x y(3)( , )( , )f x yf y x，則d),(Dyxfd),(21Dyxf則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 補(bǔ)充：補(bǔ)充：利用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算利用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算12( , , ):( , , )0:f x y z dvfzf x y z dvfz的偶函數(shù)的奇函數(shù)yozxxozy1,(:)I若關(guān)于三坐標(biāo)面都對(duì)稱(chēng)卦限 則：1212,xoy 若且、關(guān)于面對(duì)稱(chēng)，則：18( , , ): , ,( , , )0:f x y z dVfx y zf x y z dVf的偶函數(shù)任一變量的奇函數(shù)關(guān)于z是偶函數(shù)( ,

7、 ,)( , , )f x yzf x y z( , , )f x y z關(guān)于z是奇函數(shù)( , ,)( , , )f x yzf x y z ( , , )f x y z目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三重積分的輪換對(duì)稱(chēng)性三重積分的輪換對(duì)稱(chēng)性: :(, )d d d(, )d d d .fx y zx y zfy x zx y z 1.(兩字母輪換兩字母輪換) 如果將如果將x,y換為換為y,x積分域積分域 不變不變,則則2.(三字母輪換三字母輪換) 如果將如果將x,y,z換為換為y,z,x積分域積分域 不變不變,則則(, )d d d(, ,)d d d .fx y zx y zfy z xx

8、y z 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注注: :關(guān)于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的對(duì)稱(chēng)性關(guān)于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的對(duì)稱(chēng)性若 L 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)( , )Lf x y ds對(duì)(1)(, )( , )( , )0Lfx yf x yf x y ds當(dāng)時(shí)1(2)(, )( , )( , )2( , )LLfx yf x yf x y dsf x y ds當(dāng)時(shí)其中L1 是L 的關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx yL x若 L 關(guān)于直線(xiàn) y = x 對(duì)稱(chēng)(即x與y對(duì)調(diào)后L表達(dá)式不變)( , )( , )LLf x y dsf y x ds原理原理: 積分值與被積變量用什么字母表示無(wú)關(guān)積

9、分值與被積變量用什么字母表示無(wú)關(guān)xy01LL目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注注 關(guān)于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的對(duì)稱(chēng)性關(guān)于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的對(duì)稱(chēng)性若 L 關(guān)于xoy 平面對(duì)稱(chēng)( , , )f x y z ds對(duì)(1)( , ,)( , , )( , , )0f x yzf x y zf x y z ds當(dāng)時(shí)1(2)( , ,)( , , )( , , )2( , , )f x yzf x y zf x y z dsf x y z ds當(dāng)時(shí)其中 是 的關(guān)于 xoy 平面平面對(duì)稱(chēng)的部分弧段1( , , )|( , , ),0 x y zx y zL z 1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果以如果以y代代x,

10、以以z代代y,以以x代代z后后, ( , )d( , ,)d .f x y zsfy z xs 1.(兩字母輪換兩字母輪換) 如果將如果將x,y換為換為y,x, ( , , )d( , , )d .f x y zsf y z xs2.(三字母輪換三字母輪換) 表達(dá)式不變表達(dá)式不變,則則的表達(dá)式不變的表達(dá)式不變,則則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 補(bǔ)充：利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化對(duì)面積的曲面積分計(jì)算12( , , ):( , , )0:f x y z dSfzf x y z dSfz的偶函數(shù)的奇函數(shù)yozxxozy1,(:)I若 關(guān)于三坐標(biāo)面都對(duì)稱(chēng)卦限 則：1212,xoy 若且、關(guān)于面對(duì)稱(chēng)，則：18( ,

11、, ): , ,( , , )0:f x y z dSfx y zf x y z dSf的偶函數(shù)任一變量的奇函數(shù)關(guān)于z是偶函數(shù)( , ,)( , , )f x yzf x y z( , , )f x y z關(guān)于z是奇函數(shù)( , ,)( , , )f x yzf x y z ( , , )f x y z目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)面積的的曲面積分的輪換對(duì)稱(chēng)性對(duì)面積的的曲面積分的輪換對(duì)稱(chēng)性: :(, )(, ).fx y z dSfy x z dS 1.(兩字母輪換兩字母輪換) 如果將如果將x,y換為換為y,x積分域積分域不變不變,則則2.(三字母輪換三字母輪換) 如果將如果將x,y,z換為換

12、為y,z,x積分域積分域 不變不變,則則(, )(, ,).fx y z dSfy z x dS 完全類(lèi)似于三重積分的對(duì)稱(chēng)性目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分利用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分若 分段光滑曲線(xiàn)L 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng),且L在y軸右半部分和在y軸左半部分的方向相反( , )Lf x y dx對(duì)(1)(, )( , )( , )0Lfx yf x yf x y dx當(dāng)時(shí), 1(2)(, )( , ),( , )2( , )LLfx yf x yf x y dxf x y dx當(dāng)時(shí)其中L1 是L 的關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx y

13、L x,Ly設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng) 且對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)子曲線(xiàn)曲線(xiàn)相向?yàn)榉捶絼t：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dxf x y dxfx右若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)xy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸(y)對(duì)稱(chēng)就關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱(chēng)就關(guān)于誰(shuí)(y軸軸)的方向相反的方向相反目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分利用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分若 分段光滑曲線(xiàn)L 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng),且L在x軸上半部分和在x軸下半部分的方向相反( , )Lf x y dx對(duì)(1)( ,)( , )( , )0Lf xyf x yf x y dx當(dāng)時(shí),

14、 1(2)( ,)( , ),( , )2( , )LLf xyf x yf x y dxf x y dx 當(dāng)時(shí)其中L1 是L 的關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx yL y,Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng) 且對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)子曲線(xiàn)曲線(xiàn)相向?yàn)榉捶絼t：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dxf x y dxfy上若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)xy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸(x)對(duì)稱(chēng)就關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱(chēng)就關(guān)于誰(shuí)(x軸軸)的方向相反的方向相反目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,Ly設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng) 且對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)子曲線(xiàn)曲

15、線(xiàn)相向?yàn)橥絼t：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dxf x y dxfx右若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)( , )Lf x y dx對(duì),Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng) 且對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)子曲線(xiàn)曲線(xiàn)相向?yàn)橥絼t：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dxf x y dxfy上若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)xy01LLxy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸對(duì)稱(chēng)就關(guān)于誰(shuí)的方向相同注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸對(duì)稱(chēng)就關(guān)于誰(shuí)的方向相同目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算,dLxyx其中L 為沿拋物線(xiàn)xy 2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxy

16、AO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxd2dLOBxy xxy xxyxy 解法解法2 從點(diǎn)xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A,x設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng) 且對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)子曲線(xiàn)方向曲線(xiàn)為相反,xyy被積函數(shù)是 的奇函數(shù).54d21023xx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算d ,Lx yx其中L 為沿拋物線(xiàn)xy 2解解:d0.Lx yxxyxy 從點(diǎn)的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A,Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)且對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)

17、子曲線(xiàn)方向曲線(xiàn)為相反,x yy被積函數(shù)是 的偶函數(shù).目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,Ly設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng) 且對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)子曲線(xiàn)曲線(xiàn)相向?yàn)榉捶絼t：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dyf x y dyfx右若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù),Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng) 且對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)子曲線(xiàn)曲線(xiàn)相向?yàn)榉捶絼t：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dyf x y dyfy上若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)xy01LLxy01LL( , )Lf x y dy對(duì)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,Ly設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng) 且對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)子曲線(xiàn)曲線(xiàn)相向?yàn)橥絼t：0,( ,)2( ,)LL

18、fxf x y dyf x y dyfx右若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)( , )Lf x y dy對(duì),Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng) 且對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)子曲線(xiàn)曲線(xiàn)相向?yàn)橥絼t：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dyf x y dyfy上若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)xy01LLxy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸對(duì)稱(chēng)就關(guān)于誰(shuí)的方向相同注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸對(duì)稱(chēng)就關(guān)于誰(shuí)的方向相同目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （逆時(shí)針?lè)较颍鏁r(shí)針?lè)较颍? .其中其中C: : 求求22,Cdydxxy 1xy 解：解：oyx220,Cdyxy,Lx關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng) 且對(duì)稱(chēng)的兩曲線(xiàn)個(gè)

19、子曲線(xiàn)221xxy被積函數(shù)是的偶函數(shù).220,Cdxxy,Ly關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng) 且對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)子曲線(xiàn)曲線(xiàn)方向?yàn)橄喾?221yxy被積函數(shù)是的偶函數(shù).方向?yàn)橄喾?220Cdydxxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分滿(mǎn)足輪換對(duì)稱(chēng)性, 不滿(mǎn)足一般的對(duì)稱(chēng)性如果積分區(qū)域滿(mǎn)足輪換對(duì)稱(chēng)性，則被積函數(shù)進(jìn)行輪換后積分值不變,不過(guò)要同時(shí)輪換 dxdy，dydz，dzdx( , , )( , , )f x y z dxdyf y z x dydz( , , )( , , )f x y z dydzf y z x dzdx( , , )( , , )f x y z dzdxf y z x dxdy,0,2xo

20、yRzRdxdyRdxdyRz上設(shè)分片光滑的閉曲面 關(guān)于面對(duì)稱(chēng) 方向?yàn)橥鈧?cè) 則：若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)補(bǔ)充：利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算補(bǔ)充：利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,),xoy設(shè)分片光滑的關(guān)于面對(duì)稱(chēng) 方向?yàn)橥?面內(nèi)曲側(cè)閉則：補(bǔ)充：利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算補(bǔ)充：利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算,xoy設(shè)分片光滑的關(guān)于面對(duì)稱(chēng) 且對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)子曲面曲面相向?yàn)橥絼t：0,2RzRdxdyRdxdyRz上若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)0,2RzRdxdyRdxdyRz上若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù),xoy設(shè)分片光滑的關(guān)于面對(duì)

21、稱(chēng) 且對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)子曲面曲面相向?yàn)榉捶絼t：0,2RzRdxdyRdxdyRz上若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 輪換對(duì)稱(chēng)性在微分學(xué)中的應(yīng)用輪換對(duì)稱(chēng)性在微分學(xué)中的應(yīng)用1.(兩字母輪換兩字母輪換) 如果將如果將x,y換為換為y,x函數(shù)的表達(dá)式不函數(shù)的表達(dá)式不變變,即即(, )ufx y z 函數(shù),如果滿(mǎn)足(, )xxufx y z 只需將上式中的將將x,y換為換為y,x,就得到就得到對(duì)變量y的偏導(dǎo)數(shù):(, )yyufx y z (, );yfy x z 則稱(chēng)此函數(shù)關(guān)于自變量則稱(chēng)此函數(shù)關(guān)于自變量 x,y具有輪換對(duì)稱(chēng)性具有輪換對(duì)稱(chēng)性(, )(, )fx y zfy x z

22、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 輪換對(duì)稱(chēng)性在微分學(xué)中的應(yīng)用輪換對(duì)稱(chēng)性在微分學(xué)中的應(yīng)用2.(三字母輪換三字母輪換) 如果將如果將x,y,z換為換為y,z,x函數(shù)的表達(dá)式不變函數(shù)的表達(dá)式不變(, )ufx y z 函數(shù),如果滿(mǎn)足則稱(chēng)此函數(shù)關(guān)于自變量則稱(chēng)此函數(shù)關(guān)于自變量 x,y,z具有輪換對(duì)稱(chēng)性具有輪換對(duì)稱(chēng)性只需將上式中的將將x,y,z換為換為y,z, x就得到就得到對(duì)變量y的偏導(dǎo)數(shù):(, )zzufx y z ( ,)zfz x y (, )yyufx y z (, ,);yfy z x 即即(,)(, ,)fx y zfy z x ( ,)fz x y ( , , )xxufx y z 只需將上式

23、中的將將y,z, x 換為換為z,x,y 就得到就得到對(duì)變量z的偏導(dǎo)數(shù):目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1 . 求223yyxxz解法解法1xz)2, 1 (xz解法解法2) 2, 1(xz在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz先求后代先代后求目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注

24、意：注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù)不一定連續(xù).上節(jié)例 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( , ) |,f x yxy 00|0|(0,0)limlimxxxxxfxx不存在00|0|(0,0)limlim.yyyyyfyy不 存 在目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 證明函數(shù)222,1zyxrru滿(mǎn)足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對(duì)稱(chēng)性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 練習(xí)P69，6（1）44224,

25、zxyx y zx3248,xxyyz3248,yx y22zx22128,xy22zy22128,yx2zx y 16.xy解解 :目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(例例4. 設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用輪換對(duì)稱(chēng)性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx注意注意: x ,

26、 y , z 具有 輪換對(duì)稱(chēng)性輪換對(duì)稱(chēng)性 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(例例4. 設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用輪換對(duì)稱(chēng)性 , 1(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)4yzxfff)dd(d41zyx注意注意: x , y , z 具有輪換對(duì)稱(chēng)性輪換對(duì)稱(chēng)性 ( , , )( , , )( , , )f x y

27、zf y z xf z x y(0, ,0)( ,0,0),fyf y可得(0,0, )( ,0,0)fzf z目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三重積分的計(jì)算：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇：合適的坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系，柱面坐標(biāo)系，球面坐標(biāo)系；在各種坐標(biāo)系系下相應(yīng)的先一后二(穿針?lè)?與先二后一(截面法)；恰當(dāng)?shù)姆e分次序，從而正確地確定積分限；二重積分的計(jì)算：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇：合適的坐標(biāo)系；恰當(dāng)?shù)姆e分次序，從而正確地確定積分限。*2在掌握基本運(yùn)算的基礎(chǔ)上，還應(yīng)了解如何根據(jù)對(duì)稱(chēng)性及輪換對(duì)稱(chēng)性等方法來(lái)計(jì)算重積分. 此外,還要會(huì)用對(duì)稱(chēng)性,交換積分次序,變量代換以及重積分性質(zhì)來(lái)解決一些較難

28、的問(wèn)題(計(jì)算題及證明題).*1計(jì)算的難點(diǎn)：各種坐標(biāo)系下積分限的確定目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性和被積函數(shù)的奇偶性利用積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算各種積分計(jì)算各種積分目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5., ,)(aaCxf設(shè)證證:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa時(shí))()(xfxf時(shí))()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算定積分利用對(duì)稱(chēng)

29、性計(jì)算定積分目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( )()bbaaf x dxf abx dx,abxtdtdx ()( )baabf abx dxf t dt ,xatbxbta當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)( )baf t dt練習(xí)練習(xí) P253 2. ( ) , ,f xC a b 設(shè)設(shè)( )baf x dx分析分析 (1) 積分區(qū)間相同積分區(qū)間相同；(2) 被積函數(shù)不同被積函數(shù)不同. .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 x 軸(y=0) 對(duì)稱(chēng)，(1) ( ,) f x yy若被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，即( ,)( , ).f xyf x y(2) ( , ) f x yy若被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，即).,(),(yxf

30、yxf 利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算二重積分利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算二重積分xyO1DDD 位于 x 軸上方的部分為D1 , 則),(yxf在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù), 設(shè)區(qū)域D 關(guān)于1( , )|( , ),0Dx yx yD y 則d),(Dyxf0d),(Dyxfd),(21Dyxf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證: (1) 不妨假設(shè)積分區(qū)域是X-型的 ).()(,:21xyyxybxaD由積分區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)性:12( )( ).y xy x oxyab)(1xyy )(2xyy 1D21( )( ) ( , ) ( , )byxayxDf x y ddxf x y dy22( )( ) ( , )

31、byxayxf x y dy dx 2( )02 ( , )byxaf x y dy dx 1 2( , ) .Df x y d(1) ( ,) f x yy若被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，即( ,)( , ).f xyf x y1 ( , ) 2( , ) .DDf x y df x y d則則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，即關(guān)于關(guān)于若被積函數(shù)若被積函數(shù) ),( )2(yyxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD則則證證 （2）積分區(qū)域 ).()(,:21xyyxybxaD由積分區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)性:).()(21xyxy )()(21),( ),(

32、xyxybaDdyyxfdxdyxf oxyab)(1xyy )(2xyy 1D dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是是奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy 于是， dyxfD ),( dxdyyxfbaxyxy )()(22),( dxba 0 20. . 0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0Dx yD x命題命題:（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱(chēng),則 有 ( ,

33、)x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)1( , )|( , ),0Dx yx yD x其中其中D 位于 y 軸右方的部分為 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證 不妨假定不妨假定D的右半部分的右半部分D1為為X型區(qū)域：型區(qū)域：1:,( )( )Daxbxyx由由D關(guān)于關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)性，軸的對(duì)稱(chēng)性，D的左半部分的左半部分D2為：為：2:, ()()Dbxaxyx 2()()( )( )( )( )( )( )( , )( , )(, )()(, )=(, )=axbxDxtatbtb

34、tbxataxf x y dxdyf x y dy dxft y dydtft y dy dtfx y dy dx 換元交換變量則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( ,)( , )f xyf x y 若21( )( )( , )( , )( , )bxaxDDf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdy 12( , )( , )( , )0DDDf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy則則所以( ,)( , )f xyf x y若21( )( )( , )( , )( , )bxaxDDf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdy 則則1(

35、 , )2( , )DDf x y dxdyf x y dxdy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 命題命題:（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱(chēng),則 有 ( , )x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)1( , )|( , ),0Dx yx yD x 2( , )|( , ),0Dx yx yD y 其中其中其中其中（2）如果D關(guān)于x軸(y=0)對(duì)稱(chēng),則 有 ( , )x yD 20,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yyf x y dxdyf x y dxdyf

36、x yy關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 120,(,)( , ),2( , )( , )(,)( , )2( , )DDDfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxyf x yf x y dxdy 或其中 同上.12,D D（3）如果D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則 有 ( , )x yD目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推論推論:若若 D 關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 和和 y 軸都對(duì)稱(chēng)軸都對(duì)稱(chēng) ,則則10,( , )( , )4( , ),( , ),DDf x yxyf x y dxdyf x y dxdyf x yx y關(guān)于 或 為奇函數(shù)關(guān)于均為偶函數(shù)1( , )|0,0D

37、x yD xyD1D目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 積分區(qū)域 D 關(guān)于 直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，即若(x,y)D,則(y, x)D.二重積分的輪換對(duì)稱(chēng)性：二重積分的輪換對(duì)稱(chēng)性：也就是表示D不等式x,y對(duì)調(diào)不等式不變,有(1)( , )d( , )dDDf x yf y x若D1 , D2分別是 D 中關(guān)于 直線(xiàn) y=x 對(duì)稱(chēng)的兩部分，則：.),(),(21dxdyxyfdxdyyxfDD簡(jiǎn)述為“你對(duì)稱(chēng)，我奇偶你對(duì)稱(chēng)，我奇偶”.(2)( , )( , ) f x yf y x( , )d0Df x y(3)( , )( , )f x yf y x，d),(Dyxfd),(21Dyxf則D1D目錄 上頁(yè) 下

38、頁(yè) 返回 結(jié)束 D2D3D4D4. 則yxyxyxDdd)sincos(yxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(10)(D1D提示提示: 如圖 ,4321DDDDD由對(duì)稱(chēng)性知0ddyxyxD在43DD yxsincos上是關(guān)于 y 的奇函數(shù)在21DD 上是關(guān)于 x 的偶函數(shù)A,),(ayxaxayxD),(1yxD ,0ayxaxxyaaaOP182 1(2) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 關(guān)于關(guān)于 軸解解: 積分區(qū)域如圖所示，將區(qū)域分成 設(shè)設(shè) 是以是以 為頂點(diǎn)的三角形區(qū)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)D(1,1),( 1,1),( 1, 1) 域

39、，域， 是區(qū)域是區(qū)域 在第一象限部分在第一象限部分.D1D1ddsincos2dd)sincos(DDyxyxyxyxxy四個(gè)小區(qū)域，由于區(qū)域21DD y軸對(duì)稱(chēng)，區(qū)域43DD x，0dddddd4321DDDDDyxxyyxxyyxxy4. 證明證明軸對(duì)稱(chēng)，故D2D3D4D1Dxya11O0809B 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 而0ddsincos43DDyxyx故Dyxyxxydd)sincos(1ddsincos2DyxyxDyxyxddsincos21ddsincosDDyxyxD2D3D4D1DxyaaaO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyo解：解： 利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算 因?yàn)镈關(guān)于

40、x 軸對(duì)稱(chēng)，( ,)( , ),f xyf x y 且且0.I 所所以以cos()sin(),xyDIxexy dxdy 11cos()11xydxde 1coscos10 xxeedx Ccos()sin(),xyDIxexy dxdy3. 設(shè)設(shè)其中其中:1,1,D xy().I 則則1.;.;.0;.AeBeCD 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 A解：解：2 2xyoD 利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算,因?yàn)镈關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，(, )( , )fx yf x y且0.I 所以272222020.3xxIdxxy dydx2,DIxy dxdy3. 設(shè)設(shè)其中其中2:0,2,Dyxx().I 則則3264.

41、0;.;.;.256.33ABCD目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyo解解1=4DDxy dxdyxy dxdy32004cos sinadd 32004cos sinadd 42201sin2a 41.2a 222:,0,0,xyxyD由由于于被被積積函函數(shù)數(shù)是是 和和 的的偶偶函函數(shù)數(shù), ,積積分分域域關(guān)關(guān)于于 軸軸和和 軸軸都都對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng), ,記記則則有有xyaxy1D目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 計(jì)算二重積分221()d d ,Dyxf xyxy2yx所圍成的閉區(qū)域.例例5.1y 和1y 2yx解解:D211,:1,xxy （畫(huà)出積分區(qū)域草圖）.其中D 為 利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)

42、化計(jì)算, 因?yàn)橐驗(yàn)镈關(guān)于關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，軸對(duì)稱(chēng)， 且且22() ()yx fxy22()yxf xy 22()d d0.Dyxf xyxy221()d dDyxf xyxyd dDyxy11dx21dxy y11 dx1411221dxx4.521221yx1011B目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 計(jì)算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxD

43、dd)1ln(224目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( , , )f x y z dv當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù)012( , , )f x y z dv( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題 4 若空間區(qū)域若空間區(qū)域關(guān)于關(guān)于 xOy 面面 (z = 0) 對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)，則 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

44、 返回 結(jié)束 證證 不妨假定不妨假定的上半部分的上半部分1為為XY型區(qū)域：型區(qū)域：1( , , )|( , ),( , )( , )x y zx yDx yzx y 由由關(guān)于關(guān)于xOy坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)性，坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)性，的下半部分的下半部分2為：為：2( , , )|( , ),( , )( , )x y zx yDx yzx y 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , , )( , , )( , ,)()( , ,)=( , ,)=x yx yDztx yx yDx yx yDx yx yDf x y z dvdf

45、x y z dzdf x ytdtdf x yt dtdf x yz dz換元改變變量則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z若2112( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )0 x yx yDf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dv 則所以目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z若21121( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , ,

46、)( , , )( , , )2( , , )x yx yDf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dv則所以目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用積分曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性利用積分曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算對(duì)計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( , )Lf x y ds命題命題 5若曲線(xiàn)若曲線(xiàn) L 關(guān)于關(guān)于 y 軸軸 (x = 0) 對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)為偶函數(shù)

47、012( , )Lf x y ds(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0Lx yL xL1Lxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證 設(shè)設(shè) L 的右半部分的右半部分 L1 由以下參數(shù)方程給出：由以下參數(shù)方程給出：1:( ),( ),Lxtytatb 由由 L 關(guān)于關(guān)于 y 軸的對(duì)稱(chēng)性，軸的對(duì)稱(chēng)性，L 的左半部分的左半部分 L2 的參的參數(shù)方程為：數(shù)方程為：22222( , )=( ),( ) ( )( )=( ),( ) ( )( )Lbabaf

48、 x y dsfttttdtfttttdt于是2:( ),( ),Lxtytatb 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (, )( , )fx yf x y 若211222( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )0LbaLLLLf x y dsfttttdtf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds 則所以目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (, )( , )fx yf x y若2112122( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )2( , )LbaLLLLLf x y dsfttttdtf x y

49、dsf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds則所以目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( , )Lf x y ds命題命題 5若曲線(xiàn)若曲線(xiàn)L關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 (y = 0) 對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)當(dāng) f(x,y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , )Lf x y ds( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0Lx yL yL1Lxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( ,

50、, )f x y z ds當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , , )f x y z ds( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題 6 若空間曲線(xiàn)若空間曲線(xiàn) 關(guān)于關(guān)于 xOy 面面 (z = 0) 對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)，則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證 設(shè)設(shè) 的上半部分的上半部分 1 由以

51、下參數(shù)方程給出：由以下參數(shù)方程給出：1:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 由由 關(guān)于關(guān)于xOy面的對(duì)稱(chēng)性，面的對(duì)稱(chēng)性， 的左半部分的左半部分 2 的的參數(shù)方程為：參數(shù)方程為：2222222( , , )=( ( ), ( ),( ) ( )( )( )=( ( ), ( ),( ) ( )( ) ( )babaf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x ty tz tx ty tz tdt 于是2:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z 若211

52、2222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=0baf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 則所以目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z若21121222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=2( , , )baf x y z dsf x ty tz tx ty tz td

53、tf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 則所以目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用積分曲面的對(duì)稱(chēng)性利用積分曲面的對(duì)稱(chēng)性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算對(duì)計(jì)算對(duì)面積的曲面積分面積的曲面積分目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( , , )f x y z dS當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , , )f x y z dS( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z

54、) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題 7 若曲面若曲面 關(guān)于關(guān)于 xOy 面面 (z = 0) 對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)，則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證 設(shè)設(shè) 的上半部分的上半部分1由以方程給出：由以方程給出：1:( , ),( , )zz x yx yD由由 關(guān)于關(guān)于xOy面的對(duì)稱(chēng)性，面的對(duì)稱(chēng)性， 的下半部分的下半部分2的方的方程為：程為：22222( , , )( , ,( , ) 1 ( , )( , )( , ,( , ) 1 ( , )( , )xyDxyDf x y z dSf x yz

55、 x yzx yzx ydxdyf x yz x yzx yzx ydxdy 于是1:( , ),( , )zz x yx yD 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 211222( , , )( , , ( , ) 1 ( , )( , )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=0 xyDf x y z dSf x y z x yzx yzx ydxdyf x y z dSf x y z dSf x y z dSf x y z dS 則所以( , ,)( , , )f x yzf x y z若目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2112122( , , )( , , ( , ) 1

56、( , )( , )( , , )( , , )=( , , )+( , , )2( , , )xyDf x y z dSf x y z x yzx yzx ydxdyf x y z dSf x y z dSf x y z dSf x y z dSf x y z dS則所以( , ,)( , , )f x yzf x y z若目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算三重積分利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算三重積分1.1.關(guān)于積分區(qū)域關(guān)于積分區(qū)域 的對(duì)稱(chēng)性的對(duì)稱(chēng)性: :2.關(guān)于函數(shù)關(guān)于函數(shù)f(x,y,z)的奇偶性的奇偶性( , , )( , ,),( , , ),( , ,)f x y zf x yzx y

57、zx yz若若則稱(chēng)則稱(chēng)f(x,y,z)在在 上是關(guān)于上是關(guān)于z的奇或偶函數(shù)的奇或偶函數(shù)* *類(lèi)似地可定義類(lèi)似地可定義f(x,y,z)在在 上是關(guān)于上是關(guān)于z的奇或偶函數(shù)的奇或偶函數(shù).若若(x,y,z)(x,y,z), ,有有(x,y,z)(x,y,z), ,則則 關(guān)于關(guān)于xoyxoy坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)。坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)。* *類(lèi)似地可定義類(lèi)似地可定義 關(guān)于關(guān)于yoz,zoxyoz,zox坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)性。坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)性。( , , )( ,),( , , ),( ,)f x y zf xyzx y zxyz若若則稱(chēng)則稱(chēng)f(x,y,z)在在 上是關(guān)于上是關(guān)于y,z的奇或偶函數(shù)的奇或偶函數(shù).* *類(lèi)似地可定義其他

58、類(lèi)似地可定義其他. .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( , , )(,),( , , ),(,)f x y zfxyzx y zxyz 若若則稱(chēng)則稱(chēng)f(x,y,z)在在 上是關(guān)于上是關(guān)于x,y,z的奇或偶函數(shù)的奇或偶函數(shù)4. 利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算三重積分的有關(guān)結(jié)論利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算三重積分的有關(guān)結(jié)論:若若 關(guān)于關(guān)于xoyxoy坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng), , f(x,y,z)在在 上是關(guān)于上是關(guān)于z的奇或偶函數(shù)的奇或偶函數(shù), 10( , , )2( , , )fzf x y z dvf x y z dvfz為的奇函數(shù)為的偶函數(shù).* *類(lèi)似地可表示其他一些結(jié)果類(lèi)似地可表示其他一些結(jié)果. .3.3.積分區(qū)域積分區(qū)域 , ,被積函數(shù)被積函數(shù)f(x,y,z) 的輪換對(duì)稱(chēng)性的輪換對(duì)稱(chēng)性: :將積分區(qū)域積分區(qū)域 的邊界曲面方程的邊界曲面方程( (或或被積函數(shù)被積函數(shù)f(x,y,z) )中中, ,變變量量x,y,zx,y,z依此輪換依此輪換, ,方程方程( (或或函數(shù)函數(shù)f(x,y,z)的形式不變的形式不變目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若若 關(guān)于三