彈性力學(xué)li2011-13

1、彈性力學(xué)彈性力學(xué)薄板是一種常見的工程構(gòu)件形式。薄板是一種常見的工程構(gòu)件形式。在機(jī)械、航空和土建工程中應(yīng)用廣泛。在機(jī)械、航空和土建工程中應(yīng)用廣泛。13 13 薄板小撓度彎曲問題薄板小撓度彎曲問題板作為工程構(gòu)件在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中有廣泛板作為工程構(gòu)件在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用。的應(yīng)用。板分成以下三種類型：薄板：（1/801/100）t/b（1/51/8）；薄膜：t/b（1/51/8）。xyzt/2t/2中面13.1 有關(guān)概念和附加假定第13章 薄板小撓度彎曲問題13.1 有關(guān)概念和附加假定（1）基本概念平板： 板面：側(cè)面：厚度：中面：薄板：縱向荷載、橫向荷載彈性曲面：撓度：薄板的小撓度彎曲：撓度小于

2、厚度的1/51/10 本章所研究的對(duì)象坐標(biāo)系的建立坐標(biāo)系的建立xyzt/2t/2中面（1/801/100）t/b（1/51/8）薄板幾何特征：幾何特征： （1/801/100）t/bt，所以， 在數(shù)值上最大，是主要應(yīng)力； 較小，是次要應(yīng)力； 更小，是更次要的應(yīng)力。因此，在計(jì)算薄板的內(nèi)力時(shí)，主要計(jì)算 ， 一般無需計(jì)算。xyyx,zyzx,zyxQ,QxyyxMMM,)1 ()21(2),4(6),4(612,12,122223223333tztzqzttQzttQztMztMztMzyyzxxzxyyxxyyyxx第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件（4）內(nèi)力與荷載的關(guān)系 平衡微分方程

3、從薄板中取一從薄板中取一微分體微分體，根據(jù)其平衡，根據(jù)其平衡條件建立，為了清楚，只畫中面。條件建立，為了清楚，只畫中面。其中，其中，荷載及剪力用力矢表示荷載及剪力用力矢表示；彎彎矩及扭矩，按照右手螺旋法則用矩矩及扭矩，按照右手螺旋法則用矩矢表示矢表示。根據(jù)空間問題的平衡條件：第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件（4）內(nèi)力與荷載的關(guān)系 平衡微分方程 根據(jù)平衡條件推出的，說明橫向根據(jù)平衡條件推出的，說明橫向剪力剪力 是維持板的平衡所必需的，是維持板的平衡所必需的，不能忽略，這也說明剪應(yīng)力不能忽略，

4、這也說明剪應(yīng)力 和和 對(duì)于維持板的平衡是必不可少的。對(duì)于維持板的平衡是必不可少的。yxQ,Qyzxz(a)(b)(c)將(b)、(c)代入(a)，得：（13-16） 用彎矩、扭矩及荷載表示的平衡微分方程第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件（5）撓度與荷載的關(guān)系將（將（13-12）的前三式代入（）的前三式代入（13-16）中，整理得：）中，整理得：即： 彈性曲面微分方程，也是以撓度w表示的平衡方程（即基本微分方程的力學(xué)意義）qywyxwxwD24422244qwD4 表示薄板在橫向荷載q作用下的靜力平衡條件是一個(gè)二維四階的線性偏微分方程，它共有8個(gè)待定積分常數(shù)，所以，一般有8個(gè)邊界條件

5、來確定。由于上下面的表面條件已被滿足，所以，8個(gè)邊界條件由板的側(cè)面邊界給出。)(2222ywxwDMx)(2222xwywDMyyxwDMMyxxy2)1 (第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件（6）邊界條件幾何邊界條件幾何邊界條件：在邊界上給定邊界撓度和邊界切線方向的轉(zhuǎn)角。：在邊界上給定邊界撓度和邊界切線方向的轉(zhuǎn)角。如固定邊邊界。如固定邊邊界?；旌线吔鐥l件混合邊界條件：在邊界上同時(shí)給出廣義力和廣義位移。如簡(jiǎn)支：在邊界上同時(shí)給出廣義力和廣義位移。如簡(jiǎn)支邊邊界。邊邊界。面力邊界條件面力邊界條件：在邊界上給定橫向剪力和彎矩。如自由邊邊界。：在邊界上給定橫向剪力和彎矩。如自由邊邊界。第13

6、章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件（6）邊界條件以矩形薄板為例，討論各種邊界處的邊界條件。以矩形薄板為例，討論各種邊界處的邊界條件。OA固定邊，固定邊， OC簡(jiǎn)支邊，簡(jiǎn)支邊， AB、BC自由邊自由邊 固定邊固定邊OA (x=0) 邊界上的撓度和轉(zhuǎn)角應(yīng)為零，邊界上的撓度和轉(zhuǎn)角應(yīng)為零，所以邊界條件有：所以邊界條件有：0)( , 0)( , 0)(000 xxxywxww（不獨(dú)立）若該固定邊由于支座沉陷而發(fā)生撓度及轉(zhuǎn)角，則上式右邊將不等若該固定邊由于支座沉陷而發(fā)生撓度及轉(zhuǎn)角，則上式右邊將不等于零而分別等于已知的撓度及轉(zhuǎn)角：于零而分別等于已知的撓度及轉(zhuǎn)角：)()(),()(00yxwywwxx第

7、13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件簡(jiǎn)支邊簡(jiǎn)支邊OC (y=0) 撓度為零，彎矩為零撓度為零，彎矩為零0)( , 0)(00yyyMw（13-18）若該簡(jiǎn)支邊由于支座沉陷而發(fā)生撓度，并且還受有分布的力矩荷若該簡(jiǎn)支邊由于支座沉陷而發(fā)生撓度，并且還受有分布的力矩荷載，則：載，則：DxMxwywxMMxwwyyyy)()()()(),()(02222000)( , 0)(02222012-13yyxwyww）式（0)( , 0)(02200)(022yyxwywwy第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件自由邊自由邊AB (y=b) 彎矩、扭矩、橫向剪力為零彎矩、扭矩、橫向剪力為零0)

8、( , 0)( , 0)(byybyyxbyyQMM基爾霍夫指出：基爾霍夫指出：薄板任一邊界上的扭矩都可以變換為等效的橫向薄板任一邊界上的扭矩都可以變換為等效的橫向剪力和原來的橫向剪力合并。剪力和原來的橫向剪力合并?；鶢柣舴蛑赋觯夯鶢柣舴蛑赋觯罕“迦我贿吔缟系呐ぞ囟伎梢宰儞Q為等效的橫向薄板任一邊界上的扭矩都可以變換為等效的橫向剪力和原來的橫向剪力合并。剪力和原來的橫向剪力合并。 可用2個(gè)大小相等為Myx，方向相反，相距dx的垂直力代替 可用2個(gè)大小相等為 ，方向相反，相距dx的垂直力代替 dxxMMyxyxxMQVyxyy此外，還有兩端未抵消的集中剪力 RA(Myx)A， RB(Myx)B最終

9、角點(diǎn)B出現(xiàn)未抵消的的集中力應(yīng)是RB(Myx)B(Mxy)B2(Myx)ByMQVxyxx及兩端的集中力RB(Mxy)B，RC(Mxy)C 第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件自由邊自由邊AB (y=b) 彎矩、扭矩、橫向剪力為零彎矩、扭矩、橫向剪力為零0)( , 0)( , 0)(byybyyxbyyQMM齊爾西霍夫指出：齊爾西霍夫指出：薄板任一邊界上的扭矩都可以變換為等效的橫薄板任一邊界上的扭矩都可以變換為等效的橫向剪力和原來的橫向剪力合并，所以上面后兩式可合并，經(jīng)推導(dǎo)，向剪力和原來的橫向剪力合并，所以上面后兩式可合并，經(jīng)推導(dǎo)，可得出：可得出：0)2( , 0)(23332222b

10、ybyyxwywxwyw0)()( , 0)(byyxybyybyyxMQVM用w可寫成：（13-19）若在若在AB邊上有分布的力矩荷載邊上有分布的力矩荷載M(x)和分布的橫向荷載和分布的橫向荷載V(x)，則：，則：)()(),()(xVVxMMbyybyyDxVyxwywDxMxwywbyby)()2( ,)()(23332222利用式（13-12），得：第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件自由邊自由邊BC (x=a) 彎矩、扭矩、橫向剪力為零彎矩、扭矩、橫向剪力為零0)()( , 0)(axxyxaxxaxxyMQVM0)2( , 0)(23332222axaxyxwxwywxw

11、即：若作用分布的力矩荷載若作用分布的力矩荷載M(y)和分布的橫向荷載和分布的橫向荷載V(y) ，則：，則：)()(),()(yVVyMMaxxaxxDyVyxwxwDyMywxwaxax)()2(,)()(23332222第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件 兩邊相交的點(diǎn)兩邊相交的點(diǎn)可寫為：由于在由于在BC邊和邊和AB邊上扭矩的等效交換，在邊上扭矩的等效交換，在B點(diǎn)沒有抵消的集中反力點(diǎn)沒有抵消的集中反力RBC(Mxy)B,及及RAB(Myx)B可得交角可得交角B點(diǎn)處總的集中反力：點(diǎn)處總的集中反力：BByxwDR)(1 (22（13-22）角點(diǎn)的集中反力均可用該式來求注意：集中剪力或集

12、中反力的正負(fù)號(hào)決定于角點(diǎn)處的扭矩的正集中剪力或集中反力的正負(fù)號(hào)決定于角點(diǎn)處的扭矩的正負(fù)號(hào)；負(fù)號(hào)；RA、RC以沿以沿z軸的正向時(shí)為正，而軸的正向時(shí)為正，而RO、RB以沿以沿z軸的負(fù)軸的負(fù)向時(shí)為正向時(shí)為正。BxyBxyByxBCBABMMMRRR)(2)()(第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件特殊：特殊：a. B點(diǎn)是自由邊點(diǎn)是自由邊AB和和BC的交點(diǎn)，且沒有的交點(diǎn)，且沒有支撐，即支撐，即B為一懸空點(diǎn)。則：為一懸空點(diǎn)。則：0)()(,22byaxByxwyxw0BRb. B點(diǎn)是自由邊點(diǎn)是自由邊AB和和BC的交點(diǎn)，有集中荷載的交點(diǎn)，有集中荷載P作用且沿作用且沿z軸正向，軸正向，則：則：PR

13、B)1 (2)()()(1 (2,222DPyxwyxwPyxwDbyaxBB第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件特殊：特殊：c. B點(diǎn)是自由邊點(diǎn)是自由邊AB和和BC的交點(diǎn)，且在的交點(diǎn)，且在B點(diǎn)有支柱支撐，則：點(diǎn)有支柱支撐，則：byaxBbyaxBwwww,)()(0)()(或或 支柱上端沉陷支柱上端沉陷求出求出w(x,y)后，即可根據(jù)（后，即可根據(jù)（13-22）求得支柱反力）求得支柱反力RB。第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件設(shè)矩形薄板的兩邊支撐在與板邊剛性連接的梁上，若將梁看成設(shè)矩形薄板的兩邊支撐在與板邊剛性連接的梁上，若將梁看成是板的彈性支座，板邊即屬于一種彈性支撐

14、邊。是板的彈性支座，板邊即屬于一種彈性支撐邊。若梁的彎曲剛度很大，扭轉(zhuǎn)剛度很小，則作為若梁的彎曲剛度很大，扭轉(zhuǎn)剛度很小，則作為簡(jiǎn)支邊簡(jiǎn)支邊；若梁的彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度都很大，則板邊可作為若梁的彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度都很大，則板邊可作為固定邊固定邊；若兩者都很小，則作為若兩者都很小，則作為自由邊自由邊。若梁的扭轉(zhuǎn)剛度很小，但彎曲剛度既不很大也不很小，則此時(shí)，若梁的扭轉(zhuǎn)剛度很小，但彎曲剛度既不很大也不很小，則此時(shí)，板邊的撓度就等于梁的撓度，板邊繞板邊的撓度就等于梁的撓度，板邊繞y軸的轉(zhuǎn)角就是梁橫截面的軸的轉(zhuǎn)角就是梁橫截面的扭轉(zhuǎn)角，則扭轉(zhuǎn)角，則邊界條件為：邊界條件為：彎矩為零，板邊的分布剪力等于梁所受的分

15、布荷載。彎矩為零，板邊的分布剪力等于梁所受的分布荷載。彈性支撐邊彈性支撐邊第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件如圖：如圖：彈性支撐邊彈性支撐邊yxABCOabpVMxxxx00)( , 0)(p為梁所受的分布荷載，以向下為正。為梁所受的分布荷載，以向下為正。由材力結(jié)論：由材力結(jié)論：pywEIx044)(有：有：0)2(00442333044xxxywDEIyxwxwywEIV同理：同理：0)2( :442333axywDEIyxwxwax第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件例例1 矩形板的支撐與承受的荷載如圖所示，試寫出用撓度表示矩形板的支撐與承受的荷載如圖所示，試寫出用撓

16、度表示的邊界條件。的邊界條件。 例題例題a. 固定邊固定邊OAc. 自由邊自由邊BC0)( , 0)(00 xxxww000)( , 0)(MMwyyyb. 簡(jiǎn)支邊簡(jiǎn)支邊OC002222)(MxwywDy0)( , 0)(axxaxxVM0)2( , 0)(23332222axaxyxwxwywxw即：即：第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件 例題例題d. 自由邊自由邊AB023332222)2(, 0)(qyxwywDxwywbyby即：即：0)( , 0)(qVMbyybyye. 角點(diǎn)支撐角點(diǎn)支撐0)(,byaxw第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件例例2 四邊簡(jiǎn)支矩形

17、薄板如圖，角點(diǎn)四邊簡(jiǎn)支矩形薄板如圖，角點(diǎn)B由于支撐構(gòu)件的沉陷而發(fā)生由于支撐構(gòu)件的沉陷而發(fā)生撓度撓度 ，不計(jì)彎曲形變，寫出邊界條件。，不計(jì)彎曲形變，寫出邊界條件。 例題例題 AB0)( ,)(byybyMxawBCyxABCOab0)( ,)(axxaxMybwOA0)( , 0)(00 xxxMwOC 0)( , 0)(00yyyMw角點(diǎn)角點(diǎn)Bbyaxw,)(第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件 例題例題設(shè)設(shè)xyabw則有：則有：yxABCOab, 0, 0, 0, 0)1 (, 0, 0yxyxyxxyyxVVQQabDMMMM代入以上邊界條件的表達(dá)式，可知，邊界條件也均可滿足。代

18、入以上邊界條件的表達(dá)式，可知，邊界條件也均可滿足。并且滿足：并且滿足：所以所以)0(04qwxyabw為正確解答。為正確解答。第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件 例題例題yxABCOab注意注意 雖然分布反力為零，但集中反力存雖然分布反力為零，但集中反力存在。在。由（由（13-22）式：）式：abDyxwDRBB)1 (2)(1 (22并且：并且：abDRRRCAO)1 (2其中：其中：RORB與與 方向相同；方向相同；RARC與與 方向相反。方向相反。第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件 例題例題第13章 薄板小撓度彎曲問題13.3 邊界條件13.6 簡(jiǎn)支邊矩形薄板的納

19、維葉解法第13章 薄板小撓度彎曲問題13.6 納維葉解法 適用于四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板設(shè)四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板，受橫向分布荷載q(x,y)作用，求其撓度及內(nèi)力。解：其撓度方程為：qwD4即：即：(a)Dqywyxwxw4422244213.6 簡(jiǎn)支邊矩形薄板的納維葉解法第13章 薄板小撓度彎曲問題其邊界條件為：13.6 納維葉解法13.6 簡(jiǎn)支邊矩形薄板的納維葉解法第13章 薄板小撓度彎曲問題 適用于四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板(b)13.6 納維葉解法Dyxqywyxwxw),(24422244(a)13.6 簡(jiǎn)支邊矩形薄板的納維葉解法第13章 薄板小撓度彎曲問題將（b）代入（a）中：(c)將q也展成與左邊同樣的重三角級(jí)數(shù)，即：因?yàn)閝(x,y)為已知，所以可求出Cmn。13.6 納維葉解法第13章 薄板小撓度彎曲問題（1）薄板受均布荷載q0或或則：繼而用（13-12）求得內(nèi)力。(d)13.6 納維葉解法第13章 薄板小撓度彎曲問題（2）13.6 納維葉解法第13章 薄板小撓度彎曲問題（2）13.6 納維葉解法第13章 薄板小撓度彎曲問題（2）13.6 納維葉解法注：注：第13章 薄板小撓度彎曲問題13.6 納維葉解法納維葉解法納維葉解法缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：適用范圍窄，只適用于四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板，而且適用范圍窄，只適用于四邊簡(jiǎn)支的矩