利用導數(shù)研究函數(shù)(單調(diào)性

1、§3.5 利用導數(shù)研究函數(shù)(單調(diào)性、極值和凸性)一、與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的一些結(jié)論定理3.11(單調(diào)的充分必要條件) 若函數(shù)在有限閉區(qū)間上連續(xù),在上可導,則在上遞增(或遞減)當且僅當在上成立(或).證: “僅當”.假定在上遞增.,當時,有,故,即在上成立.“當”.假定在上成立.,使得.這說明,即在上遞增.定理3.12(嚴格單調(diào)的充分條件) 若函數(shù)在有限閉區(qū)間上連續(xù),在上成立(或),則在上嚴格遞增(或嚴格遞減).反之,結(jié)論可能不正確.證: ,使得.這說明,即在上嚴格遞增.定理3.13(嚴格單調(diào)的充分條件) 若函數(shù)在有限閉區(qū)間上連續(xù),在上除去有限個點后成立(或),則在上嚴格遞增(或嚴格遞減

2、).反之,結(jié)論可能不正確.證:設(shè),在上成立,故在上嚴格遞增,從而在上嚴格遞增.定理3.14(嚴格單調(diào)的充分必要條件) 若函數(shù)在有限閉區(qū)間上連續(xù),在上可導,則在上嚴格遞增(或嚴格遞減)當且僅當同時成立(1) 在上有(或)；(2) 開區(qū)間,.證: “僅當”.假定在確保了(1)成立；開區(qū)間,因為在上不是常數(shù),故,即(2)成立.“當”在上遞增,即,有.若,則是常數(shù),從而,與(2)相矛盾,故.命題 (有實用價值) 設(shè)函數(shù)都在有限閉區(qū)間上連續(xù),在上可導,并且在上成立(或),那么(1) 若,則(或)；(2) 若,則(或).證: 函數(shù)在上遞增(或嚴格遞增).(1) ,有(或),故(或).(2) ,有(或),故

3、(或).例1(必須記住) ,總成立不等式.證: 函數(shù) 在上連續(xù),在上可導,并且,總有.于是, .二、與函數(shù)的極值有關(guān)的一些結(jié)論定理3.15(極值的充分條件)設(shè)是開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),.那么(1) 若在上成立(或),在上成立(或),則是在上的最大值(或嚴格最大值)；(2) 若在上成立(或),在上成立(或),則是在上的最小值(或嚴格最小值).證: 顯然.定理3.16(簡單情形下極值的充分條件) 設(shè)是函數(shù)的駐點,并且存在,那么(1) 若,則是的嚴格極大值；(2) 若,則是的嚴格極小值；(3) 若,則各種情形都可能出現(xiàn).證: (1) ,故,使得當時成立.于是,在上成立；在上成立.這說明是在上的嚴格最大值

4、,即是的嚴格極大值.(2) 與(1)的證明類似.(3) 說明各種情形都可能出現(xiàn).求有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值的方法 設(shè)函數(shù)在有限閉區(qū)間上連續(xù),在上可導.若在上只有有限個駐點,則；.練習題3.5() 2(3,4),3,4,5,6,7,8,9(3),11,13,15.問題3.5() 4,8,10.三、與函數(shù)的凸性有關(guān)的一些結(jié)論定義3.6 設(shè)是區(qū)間上的函數(shù).若,總成立不等式,則稱是區(qū)間上的凸函數(shù)(或嚴格凸函數(shù)).注意 是區(qū)間上的凸函數(shù)(或嚴格凸函數(shù)),區(qū)間是區(qū)間上的凸函數(shù)(或嚴格凸函數(shù)).凸函數(shù)的幾何意義 是區(qū)間上的凸函數(shù)(或嚴格凸函數(shù)) ,以和為端點的開線段總是位于(或嚴格位于)的圖像的

5、上方.證: 使得；反之亦然.于是.注記3. 函數(shù)是開區(qū)間上的凸函數(shù)(或嚴格凸函數(shù))當且僅當同時成立(1) 在上連續(xù)；(2) ,總成立不等式.證: “僅當”.假定是開區(qū)間“當”.假定(1),(2)成立.由(2)的幾何意義和的連續(xù)性,以和為端點的開線段總是位于的圖像的上方.這表明是上的凸函數(shù).注記3. 設(shè)是以為左、右端點的區(qū)間,那么函數(shù)是上的凸函數(shù)(或嚴格凸函數(shù))當且僅當同時成立(1) 是上的凸函數(shù)(或嚴格凸函數(shù))；(2) 當時,；當時,.證: “僅當”.假定是上的凸函數(shù).由凸函數(shù)的定義便知(1)成立.由定理3.19的推論知,和都存在.固定. ,有；,有.“當”.假定(1),(2)成立.由凸函數(shù)的

6、幾何意義,以和為端點的開線段總是位于的圖像的上方.這表明是上的凸函數(shù).定理3.17(Jensen不等式)若是區(qū)間上的凸函數(shù),則,總成立不等式 .當是區(qū)間上的嚴格凸函數(shù)時,上式等號成立當且僅當.證: 不妨設(shè) ,顯然.這說明不等式的左邊有意義.對應用數(shù)學歸納法.(1) 當時,故.(2) 假定當時結(jié)論成立,要證當時結(jié)論也成立.令,則,故由歸納法假定便得到 .當是區(qū)間上的嚴格凸函數(shù)時,上式等號成立當且僅當,即.定理3.18 (Jensen不等式的另一形式) 若是區(qū)間上的凸函數(shù),則,總成立不等式 .當是區(qū)間上的嚴格凸函數(shù)時,上式等號成立當且僅當.定理3.19 是區(qū)間上的凸函數(shù)(或嚴格凸函數(shù))固定的,函數(shù)

7、在上遞增(或嚴格遞增).證: .假定是上的凸函數(shù).,下述三個不等式,和恰有一個成立.由凸函數(shù)的幾何意義即知.假定固定的,函數(shù)在上遞增.,當時,總成立.這說明以和為端點的開線段總是位于的圖像的上方.故是區(qū)間上的凸函數(shù).推論 設(shè)是開區(qū)間上的凸函數(shù),那么(1) 若,則；若,則.(2) 若,則；若,則.證: 僅證(1).當時,對固定的,在遞增,故.當時,只需考慮不在上遞增的情形.取,使得.因為在上遞增,故,從而.定理3.20 設(shè)是以為左、右端點的區(qū)間.若函數(shù)在上連續(xù),在上可導,則是上的凸函數(shù)(或嚴格凸函數(shù))當且僅當在上遞增(或嚴格遞增).證: 僅證嚴格的情形.“僅當”.假定是上的嚴格凸函數(shù).,和,分別

8、對和應用定理3.19便有 .令,得到.這說明在上嚴格遞增.“當”.假定在上嚴格遞增.,記.則當時,使得,故.當時,使得,故.這說明在上嚴格遞增,從而是上的嚴格凸函數(shù).定理3.21 設(shè)是以為左、右端點的區(qū)間.若函數(shù)在上連續(xù),在上2階可導,則是上的凸函數(shù)(或嚴格凸函數(shù))當且僅當在上成立(或在上成立,并且都有).證: 例2(幾何平均不大于算術(shù)平均) ,有不等式.等號成立當且僅當.證: 在上成立,故是上的嚴格凸函數(shù),從而,.例3(算術(shù)平均不大于均方根) ,有不等式.等號成立當且僅當.證: 在上成立,故是上的嚴格凸函數(shù),從而.練習題3.5() 17,19(2,3,4),20,21,22,23.問題3.5

9、() 1,2,3,9.§3.6 LHospital法則LHospital法則可以認為是連續(xù)型的Stolz定理；Stolz定理也可以認為是離散型的LHospital法則.定理3.22和3.23(型)設(shè)在的去心鄰域上可導,并且在的去心鄰域上處處不取零值.若,則 .將“”換成“,”后,結(jié)論仍然成立.證: 設(shè)是足夠小的常數(shù).當時,在上應用Cauchy中值定理知,使得 .故；同理,.對于“”的情形, 有 .推論1(型) 設(shè)在的去心鄰域上階可導,并且在的去心鄰域上處處不取零值.若 ,則 .將“”換成“,”后,結(jié)論仍然成立.定理3.24 (型) 設(shè)在的去心鄰域上可導,并且在的去心鄰域上處處不取零值.若,則 .將“”換成“,”后,結(jié)論仍然成立.證: 僅證和,并且是的情形.(1). ,使得當時成立.故當 時, 在應用Cauchy中值定理知,使得 ,從而 .故 ,即；同理,.(2). ,使得當時成立.故當 時, 在應用Cauchy中值定理知, 使得,從而 .故 ,即；同理,.推論2(型) 設(shè)在的去心鄰域上階可導,并且 在的去心鄰域上處處不取零值.若 ,則 .將“”換成“,”后,結(jié)論仍然成立.注記 易將“型,型,型,型,型”的極限化成“型”或“型”的極限,再利用LHos