《分?jǐn)?shù)除法》教材分析

1、分?jǐn)?shù)除法教材分析本單元是在學(xué)生巳經(jīng)掌握了分?jǐn)?shù)乘法的意義、分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算及其應(yīng)用以及整數(shù)除法的意 義、解方程等知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法。通過本單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生一方面完成了分?jǐn)?shù)加、 減、乘、除的學(xué)習(xí)任務(wù)，比較系統(tǒng)地學(xué)握了分?jǐn)?shù)的四則計(jì)算，掌握了解決相關(guān)實(shí)際問題的方 法；另一方面也進(jìn)一步加深了對(duì)乘除法關(guān)系的理解，體矣知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，為解決有關(guān)分?jǐn)?shù) 的實(shí)際問題提供更多的支持；同時(shí)也為后面學(xué)習(xí)比和比例、百分?jǐn)?shù)等知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 本單元的內(nèi)容主要包括：倒數(shù)的認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)除法的意義與計(jì)算以及解決相關(guān)的實(shí)際問題。一、與實(shí)驗(yàn)教材（義務(wù)教育課程標(biāo)椎實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)六年級(jí)，下麗 的主要區(qū)別（一）倒數(shù)的認(rèn)識(shí)新版教材將“倒

2、數(shù)的認(rèn)識(shí)”由原實(shí)驗(yàn)教材的“分?jǐn)?shù)乘法”單元移至“分?jǐn)?shù)除法”單元， 并獨(dú)立編排為一小節(jié)，作為分?jǐn)?shù)除法的準(zhǔn)備內(nèi)容。主要是出于以下幾方面的考慮：其一，由 干分?jǐn)?shù)除法的基本方法是“除以一個(gè)不竽于0的數(shù)，等干乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，因此認(rèn)識(shí)倒 數(shù)的概念以及熟練求出一個(gè)不等于0的數(shù)的倒數(shù)，是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法的重要的知識(shí)基礎(chǔ)；其 二，這樣編排，使本單元的知識(shí)呈現(xiàn)更有邏輯性、整體性，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律以及學(xué)生 學(xué)習(xí)知識(shí)的邏輯順序。（二）分?jǐn)?shù)除法的意義及計(jì)算方法我們知道：分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是乘法的逆運(yùn)算。但由干分?jǐn)?shù)乘 法的含義有了擴(kuò)展，分?jǐn)?shù)除法作為其逆運(yùn)算，具體含義也自然有了擴(kuò)展。因此，教學(xué)分?jǐn)?shù)除 法

3、的意義，可以用“同數(shù)連加”的實(shí)際例于引出兩道除法題來說明，也可以用“求一個(gè)數(shù)的 幾分之幾是多少”的實(shí)際例子引出除法題來說明。在具體討論分?jǐn)?shù)除法的意義時(shí)，實(shí)驗(yàn)教材 重視相關(guān)知識(shí)的類比，幫助學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)。采用整數(shù)與分?jǐn)?shù)對(duì)比、乘法與除法對(duì)比的方 式，揭示出分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。而新版教材對(duì)于除法意義的教學(xué)，僅從 編排上看，不再單獨(dú)設(shè)直例題，只在練習(xí)中加以滲透，如教材練習(xí)七第1題根據(jù)乘法算式 寫出兩道除法算式，第2題先看清左右兩題之間的關(guān)系，寫出得數(shù)。通過練習(xí)，使學(xué)生體 進(jìn)一步體矣到乘除法的互逆關(guān)系，明確分?jǐn)?shù)除法的意義。但從分?jǐn)?shù)除法計(jì)算方法的探尋過程 看：教材結(jié)合實(shí)際情境，引導(dǎo)學(xué)生列

4、出算式，通過折紙和畫圖的數(shù)形結(jié)合方法及分析，推理 出正確的計(jì)算結(jié)果。顯然，這分析的過程既是對(duì)分?jǐn)?shù)除法意義和算理的理解過程，也是分?jǐn)?shù) 除法計(jì)算方法的探尋與歸納過程。教材將分?jǐn)?shù)除法的意義教學(xué)與分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法教學(xué)有 機(jī)地融合在一起，在充分利用分?jǐn)?shù)乘除法意義互逆關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解算理, 學(xué)握計(jì)算方法。（三）用分?jǐn)?shù)除法知識(shí)解決實(shí)際問題分?jǐn)?shù)除法的實(shí)際問題主要有兩種情況：一種是利用巳學(xué)的數(shù)量關(guān)系直接列式解決實(shí)際問 題，與分?jǐn)?shù)除法計(jì)算方法同步教學(xué)。如例2,利用路程、時(shí)間、速度的數(shù)量關(guān)系直接列式， 只是具體數(shù)據(jù)變成了分?jǐn)?shù)；另一種是數(shù)量關(guān)系涉及“一個(gè)數(shù)的幾分之幾”或需用抽象的“1” 解決較為復(fù)雜

5、的實(shí)際問題，首先要理清數(shù)量關(guān)系，然后通過列方程等方法解決問題。例如本 單元新増的例6的“和倍、差倍”問題，例7的用抽象的“1”解決問題。利用“巳知一個(gè) 數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”的基本數(shù)量關(guān)系，借助數(shù)量之間的等量關(guān)系，列出方程解 決問題。貝是這里的幾分之幾不是直接給出的，需要通過尋找數(shù)量與對(duì)應(yīng)分率之間的關(guān)系計(jì) 算得到，顯然，解決問題的過程自然變得相對(duì)負(fù)雜。這既是對(duì)過去列方程解決問題的擴(kuò)展， 也為后面解決百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題做準(zhǔn)備。（四）把“比”的內(nèi)容單獨(dú)設(shè)賣一個(gè)單元新教材將“比”單獨(dú)設(shè)置為本書的第四單元，在“分?jǐn)?shù)除法”單元完成后進(jìn)行教學(xué)。二、教材例題分析（一）倒數(shù)的認(rèn)識(shí)例1：倒數(shù)的認(rèn)識(shí)教材首先

6、安排了幾組有代表性的乘積為1的乘法算式，使學(xué)生通過計(jì)算、觀察、討論等 活動(dòng)，尋找歸納它們的共同特點(diǎn)，導(dǎo)出倒數(shù)的定義。并用實(shí)例突出理解“互為倒數(shù)”的含義。 然后引導(dǎo)學(xué)生思考互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)有什么特點(diǎn)？為例1的學(xué)習(xí)做好鋪墊。例1教學(xué)求倒數(shù)的方法。教材首先安排找倒數(shù)的活動(dòng)，初步體驗(yàn)找倒數(shù)的方法。接著總 結(jié)找倒數(shù)的方法。具體分三種情況加以討論：求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)；求整數(shù)的倒數(shù)；1和0的倒數(shù) 的問題。練習(xí)六第5題通過學(xué)生對(duì)話討論形式判斷的倒數(shù)是0.75”的合理性問題，進(jìn)3一步揭示互為倒數(shù)的本質(zhì)：只要兩個(gè)數(shù)的乘積是1,那么這兩個(gè)數(shù)就互為倒數(shù)，與這兩個(gè)數(shù) 是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)無關(guān)。（二）分?jǐn)?shù)除法例1：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)教

7、材以折紙活動(dòng)為栽體，利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生直觀理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理。 教材分兩個(gè)戻次編排：先解決分?jǐn)?shù)的分于能被整數(shù)整除的情況；再引出分于不能被整數(shù)整除 的情況。第一個(gè)問題是分子能被整數(shù)整除的情況，有兩種思考方法：一是利用整數(shù)除法的意 義，將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法理解并計(jì)算;二是利用分?jǐn)?shù)的意義，將問題轉(zhuǎn)化為求3的252 來理解計(jì)算。在此基礎(chǔ)上提出第二個(gè)問題，凸顯方法一的局限性與方法二的一般適用性。教 材這樣編排的意圖，一是讓學(xué)生在折一折、涂一涂的過程中逐步發(fā)現(xiàn)體悟分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方 法；二是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探索過程，從中領(lǐng)悟把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求其中 的一份，就是求一個(gè)數(shù)的幾分之

8、一是多少，同時(shí)滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。在此基礎(chǔ)上，教材提 出問題：“根據(jù)上面的折紙實(shí)驗(yàn)和算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ ”旨在啟發(fā)學(xué)生通過思考總結(jié) 出一般的計(jì)算方法。例2: 個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)本例研究一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算，包括整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)兩種情況。根據(jù)教 材提供的情境，顯然“路程一時(shí)間=速度”這一數(shù)量關(guān)系成為列式的依據(jù)。由于學(xué)生對(duì)這一 數(shù)量關(guān)系比較熟悉，所以列出分?jǐn)?shù)除法算式不矣感到困難，這有利于把教學(xué)重點(diǎn)集中干計(jì)算 方法的探索與理解。理解2-的算理是本例的重點(diǎn)。教材采用畫線段圖的直觀方式呈現(xiàn)推算的思路：由于1 3小時(shí)里有3個(gè)1小時(shí)，所以可以先求出1小時(shí)走了多少千米，即先求出？小時(shí)走的2 km的3

9、33一半（即1）。有了直觀圖的支持，降低了學(xué)生對(duì)2xlx3中每一部分含義的理解難度，順 2 2利完成從“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)”到“乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”的轉(zhuǎn)化。有了整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理的鋪墊，教材在教學(xué)時(shí)，沒有呈現(xiàn)線段圖，而是通過提6 12問“為什么寫成x蟲”，引導(dǎo)學(xué)生通過遷移類推，自行闡述算理。5最后教材以提問的方式，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)分?jǐn)?shù)除法的一般算法，并啟發(fā)學(xué)生用自己的方式 表示這一算法。例3：分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序問題巳在“分?jǐn)?shù)乘法”單元解決了，學(xué)生在此學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算， 既是分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用，也為后面學(xué)習(xí)利用分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算解決實(shí)際問題打下基礎(chǔ)。教 材提供了兩種不同的解決方法，體現(xiàn)了不同的分

10、析思路。先分步列式，再列綜合算式解答。 對(duì)于不帶括號(hào)的分?jǐn)?shù)乘除法混合運(yùn)算，既可以從左至右按步驟計(jì)算，也可以直接轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù) 連乘后同時(shí)約分計(jì)算。例4: “巳知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”的實(shí)際問題本例中所要解決的問題是分?jǐn)?shù)乘法中“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的逆向問題。這類 問題如果用算術(shù)方法解，較難理解，學(xué)生往往難以判斷哪個(gè)量是單位“1”，數(shù)量關(guān)系也較 復(fù)殺。因此，教材依據(jù)“兒童體內(nèi)的水分約占體重的3”，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，利用巳5有知識(shí)畫線段圖，找到等量關(guān)系，列出方程并解出方程。這樣思考問題的思路與相應(yīng)的分?jǐn)?shù) 乘法問題完全一致，只是參與列式的是未知數(shù)而巳，這就大大降低了學(xué)生理解的難度?！?/p>

11、回顧與反思”部分中檢驗(yàn)結(jié)果的合理性是相應(yīng)乘法數(shù)量關(guān)系的二次應(yīng)用。同時(shí)，對(duì)有 效信息選取的反思，以及對(duì)列方程方法、價(jià)值的體矣，也是學(xué)生反思的重點(diǎn)。例5: “巳知比一個(gè)數(shù)多（或少）幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”的實(shí)際問題本例是“求比一個(gè)數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”的逆向問題，是以例4為基礎(chǔ)， 把條件稍做改變，形成稍復(fù)雜的問題。顯然，用算術(shù)方法解決這樣的實(shí)際問題，抽象程度更 高，思維難度更大。教材借助小女孩的設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖，并給出了完整的圖示, 為學(xué)生分析、理解等量關(guān)系提供直觀輔助。讓學(xué)生經(jīng)歷從“多（或少）幾分之幾”到是幾 分之幾”的轉(zhuǎn)化，找到等量關(guān)系，列出形如1_ X二C的方程；同樣，

12、教材利用小男孩的I a丿分析，借助線段圖，引導(dǎo)學(xué)生找到“一個(gè)數(shù)加（或減）增加部分等干增加（或減少）后的數(shù)” 這個(gè)更容易理解的數(shù)量關(guān)系，列出形如x-x=c的方程。因此，教材選擇符合學(xué)生順向思 維的思路，給出多樣化的解題方法。例6: “和倍、差倍”問題本例中包括兩個(gè)未知量，題中給出了這兩個(gè)未知量之間的兩種關(guān)系，要求學(xué)生根據(jù)這樣 的關(guān)系列方程解答。由于這兩種關(guān)系中，一種是兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系，另一種是兩個(gè)量之 間的和或差的關(guān)系，因此，這樣的問題過去被稱為“和倍問題” “差倍問題”。教材以籃球比賽上、下半場得分為素材，引出含有兩個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問題。在這里兩個(gè) 未知量是指上半場得分、下半場得分，兩種關(guān)系

13、是指上半場得分+下半場得分=42以及下半 場得分是上半場得分的一半，或者上半場得分是下半場得分的2倍。教材給出了兩種解法，區(qū)別在于先設(shè)哪個(gè)量為未知數(shù)，然后利用兩個(gè)量的數(shù)量關(guān)系，用 代數(shù)式表示出另一個(gè)量。例7：可用抽象的“1”解決的實(shí)際問題教材利用修路這一 “工程問題”來引入，使學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解答問題 的過程。例如，學(xué)生矣認(rèn)為題中缺少解題的信息，此時(shí)，教師迫問：缺少什么信息呢？學(xué)生 矣回答:不知道公路長多少千米。這樣就很自然地引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)公路總長為某個(gè)具體的長度, 把新問題轉(zhuǎn)化為舊問題，加以解決。通過學(xué)生之間的交流，發(fā)現(xiàn)雖然假設(shè)的公路具體長度不 同，得到的結(jié)果卻是相同的，便學(xué)生產(chǎn)生探究原因的欲望。通過分析，發(fā)現(xiàn)不管公路總長是 多少，兩隊(duì)每天修的長度分別占總長度的丄和丄是不變的，這也是能得到相同結(jié)果的內(nèi)在12 18原因此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步抽象，可用“1”來表示公路總長。采用“工程問題”引出可用抽象的“1”來解決的問題，但并非是對(duì)工程問題進(jìn)行系統(tǒng) 教學(xué)，而是要建立一種數(shù)量關(guān)系的模型。要讓學(xué)生經(jīng)歷利用自主探究解決問題的過程，掌 握用假設(shè)、驗(yàn)證等方法解決問題的基本策略，讓學(xué)生體矣模型思想。