高中數(shù)學數(shù)形結合習題

1、1. 若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）CABCD2若圓上至少有三個不同點到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是 ( ) 3在下列四個函數(shù)中，滿足性質：“對于區(qū)間上的任意，恒成立”的只有 （ ）A（A）（B） （C）（D）4. 若直線與曲線恰有一個公共點，則的取值范圍是 ( )或(-1,14. 表示一組斜率為1的平行直線，表示y軸的右半圓。如圖可知，簡要評述 數(shù)形結合思想的靈活運用，此題可以進一步拓展，等。5若關于x的方程有四個不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍為_。題型解析例1方程sin2x=sinx在區(qū)間（0，2）解的個數(shù)為（ ） y （A）1 （B）2 （C）3 （D）

2、4 g o f x 分析：解方程f（x）=g（x）的問題歸結為兩個函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的交點橫坐標，特別是求方程近似解時此方法非常有效。解:如圖 在同一坐標系內，作出y=sin2x，x(0,2)；g=sinx，x(0,2)的圖有三個交點，故方程sin2x=sinx在(0,2)內有三個解。一般情況下將方程化為一端為曲線，一端為動直線時，解題較為簡單，考查邏輯思維能力與計算能力，還體現(xiàn)了化歸與轉化和分類討論的思想。練習 設f(x)是定義在R上以2為周期的函數(shù),對于KZ用表示區(qū)間(2k-1,2k+1),已知x時,有f(x)=。(1) 求f(x)在上的解析式。(2) 對于自然數(shù)K,求集合=a

3、|使方程f(x)=ax在上有兩個不相等的實根。 解(1)如右圖 從圖形可以看出f(x)=。 y(2)如下圖 由f(x)=ax,x,得=ax o x即-(4k+a)x+4=0,考察函數(shù)f(x)= -(4k+a)x+4，x(2k-1,2k+1)的圖象位置,依題意該函數(shù)圖象在(2k-1,2k+1)內必與x軸有兩個不同交點。則有 0 y f(2k-1) 0 f(2k+1)0 2k 2k-1(4k+a)/22k+1 o 2k-1 2k+1 x從中解得:0<a1/(2k+1),(kN)故=a|0<a1/(2k+1),(kN)。例2 已知三點，問m為何值時，最小，并求最小值分析：根據(jù)三個點橫坐標

4、的特點可知，它們在坐標系中是從左到右依次排列的，當且僅當它們共線時，最小解：依題意知，當三點共線時最小，此時，解得（舍去）或，此時三個點分別為，練習已知點，在y軸和直線上分別找一點P和N，使得的周長最小分析：作點關于y軸和直線的對稱點，則，所以的周長等于，當且僅當三點共線時取最小值，所以點應為直線和y軸與直線的交點解：作點關于y軸和直線的對稱點，則點的坐標分別為，由兩點式得，整理得，即為直線的方程，易得它和y軸和直線的交點坐標分別為即使得周長最小的點P和N的坐標分別為評注：本題利用對稱思想為線段找到了“替身”，從而將問題轉化成了兩點之間線段最短的問題例3.已知點在直線上，且的最小值為，求m的值

5、解：，它是點和點之間的距離，它的最小值就是點到直線的距離，由點到直線的距離公式可得，平方得，整理得，評注：本題通過挖掘代數(shù)式的幾何意義，將點點距轉化成了點線距，這種以距離為背景的題型時有出現(xiàn)，請同學們注意訓練和總結練習.求點到直線的距離的最大值分析：對直線方程整理后，我們會發(fā)現(xiàn)它表示過定點的一條直線，因為點線之間垂線段最短，所以，當且僅當時取等號，即此時取得最大值解：可化為，它表示過直線和交點的直線解方程組得兩直線交點為，即直線恒過定點，當時取最大值，的最大值為例4.已知，a2<a-b，求證：【分析與解】 讀完題目與任何一個圖形似乎很難聯(lián)系起來，我們在對已知條件的分析中，去尋覓解題的靈感

6、.a2<a-b，即為b<a-a2.要證b<，那么a與k如何取得聯(lián)系呢？令.這樣一來，一個二次函數(shù)的圖形出現(xiàn)了，它對解題有幫助嗎？ 二次函數(shù)g（a）的圖象的對稱軸為上單調遞增，又b<g（a）， 【反思】 在分析已知條件時找到了一個能夠幫助我們解決問題的圖形，而正是這個圖形的啟示，以后的思路暢通無阻了.數(shù)形結合，發(fā)生在解題過程中的任何時刻，我們絕不是刻意地去追求或精心地去構造直觀的幾何圖形，而這個在解題時十分有用的直觀圖往往總是在對問題透徹了解之后突然出現(xiàn)的，這就是解題中的靈感. 例5.已知實數(shù)a、b，滿足a+b=1. 求證： （a-3）2+（b+4）22. 【思

7、考與分析】 本題看似一不等式證明題，但是我們通過分析，不等式左端是距離的平方的形式，由已知條件，我們可以把問題轉化為點在直線上的位置關系，進而由點到直線的距離公式求解.    證明： 不等式左端可視為點P（a，b）到點Q（3，-4）的距離的平方，而點P（a，b）可看作直線l：x+y=1上的任意一點，于是問題轉化為點P在直線l上什么位置時線段PQ最短，當然是PQl時點Q到l的距離最短，所以如下圖    【反思】 本題我們主要是利用點到直線的距離公式的幾何意義解題. 練習. 已知：a，b，c為正實數(shù)。求證:(a+b+c) + +2(a+b

8、+c)。 分析:由欲證不等式中的 聯(lián)想到勾股定理, D a b c C把看作邊長分別為a,b的矩形的對角線,因此,我們 c可以構造如圖所示的圖形。以a+b+c為邊構成正方形ABCD, b 則AC=(a+b+c),AE=,EF=,FC=, A B而 ACAE+EF+FCAD+CD 所以有 (a+b+c)+2(a+b+c)。 注:觀察、聯(lián)想是構造圖行,創(chuàng)新解題的關鍵。注：有些題目若按常規(guī)的代數(shù)解法需要討論,比較煩瑣且易產生遺漏現(xiàn)象,我們這樣構造利用圖象分析,得出答案非常直觀簡潔。例6 不等式的解集是,則的取值范圍是( )A. B. C. D.分析:分別作出與的圖象,從圖象上很容易得到結論.y 2x

9、解: 令, 是過原點且斜率為的直線, 是圓心在半徑為2的圓在軸及軸上方的部分,不等式的幾何意義是半圓在上恒處于直線的上方(如圖),可知是,上述結論成立,的取值范圍是.選C.綜合自測1設的最小值是（ ）32.設奇函數(shù)f(x)的定義域為(-，0)(0，+)且在(0，+)上單調遞增，f(1)0，則不等式的解集是_。y-1O1x 2.解析：由已知畫出y=f(x)的圖象可知：當x(-1，0)(1，+)時f(x)0當x（-，-1）(0，1)時 f(x)0又成立，則必有0x(x-)1,解之得：x0 或 x3.拋物線上的點P到直線有最短的距離,則P的坐標是（ ） 解析:1. 設直線與相切,聯(lián)立整理得,由,得,

10、這時得切點(,1), 4設為拋物線的焦點，為該拋物線上三點，若，則 （ ）65:已知向量,向量,向量,則向量與向量的夾角的取值范圍是（ ） 答案:1. 由,知點A在以(2,2)為圓心,為半徑的圓周上(如圖),過原點O作圓C的切線,為切點,由,知,有,過點O作另一切線,為切點,則, 6.直線與曲線 的公共點的個數(shù)為 （ ）47關于x的方程，給出下列四個命題：存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不同的實根 存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不同的實根存在實數(shù)k，使得方程恰有5個不同的實根 存在實數(shù)k，使得方程恰有8個不同的實根其中假命題的個數(shù)是_設,化原式為：，畫出函數(shù)的圖象，看使u-1的解的個數(shù)，可知假命題的

11、個數(shù)為0。8對,記則則函數(shù)的最小值是_y=|x+1|y=|x-2|y-12ox解析：由，OMCyx如右圖 9. 如果實數(shù)x、y滿足，那么的最大值是 。如圖，聯(lián)結圓心C與切點M，則由OMCM，又RtOMC中，OC=2，CM= 所以，OM=1，得10求函數(shù)的最大值。解：由定義知1-0且2+x0 -1x1，故可設x=cos，0，則有可看作是動點M（cos，sin）(0，)與定點A（-2，0）連線的斜率，而動點M的軌跡方程，0，即（y0，1是半圓。設切線為AT，T為切點，|OT|=1，|OA|=2 ，0kAM即函數(shù)的值域為0，故最大值為。11 解：，它與橢圓在第一象限的部分（包括端點）有公共點，（如圖

12、）相切于第一象限時，u取最大值12. 已知：acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)求證： 分析：解決此題的關鍵在于由條件式的結構聯(lián)想到直線方程進而由A、B兩點坐標特點知其在單位圓上還要根據(jù)圖形的性質分析清楚結論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結合方法完成解題證明:在平面直角坐標系中，點A（cos,sin）與點B（cos,sin）是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點如圖從而：AB2=(coscos) 2+(sinsin) 2=22cos()又單位圓的圓心到直線l的距離由平面幾何知識知OA2(AB) 2=d2即13.若不等式的所有m都成立。求x的取值

13、范圍。解：原不等式化為（-1）m-（2x-1）0記f（m）=（-1）m -（2x-1）（-2m2），其圖像是線段。結合圖像和題意知，只須：f（-2）=-2（-1）-（2x-1）0f（2）=2（-1）-（2x-1）0即 解之，x的取值范圍為。14.已知二次函數(shù)的圖象以原點為頂點且過點（1，1），反比例函數(shù) 的圖象與直線y=x的兩個交點間的距離為8， （1）求函數(shù)f（x）的表達式；（2）證明：當a3時，關于x的方程f（x）=f（a）有三個實數(shù)解 用數(shù)形結合思想求f（x）f（a）=0解的個數(shù)解 （1）由已知，設，由=1，得b=1設=（k0），則其圖象與直線y=x的交點分別為A（k，k），B（k，k），由|AB|=8，得k=8，( x)=，故f（x）=（2）由