湖北省武漢市外國語學(xué)校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、湖北省武漢市外國語學(xué)校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題、單選題_ 一 21 .式子1 5 55n n N的結(jié)果為（n 1.C. 5_1D.以上都不對第21頁共19頁【答案】C【解析】 直接根據(jù)等比數(shù)列的前 n項和公式即可得出結(jié)果【詳解】由等比數(shù)列前n項和公式可得1 5 525n故選：C.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列前 n項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 .uur uu r2 .已知O, A, B是平面上的三個點，直線 AB上有一點C,滿足AC 3CB 0,uuu則 OB ()1 uur2uur2 uuu1 uurA. -OA -OCB. -OA -OC33332 uuu1uur1 uuu2 uurC. -O

2、A -OCD. -OA -OC3333【答案】D【解析】根據(jù)題意，畫出示意圖.由平面向量的線性運算及平面向量基本定理即可表示出uuuOB .uuuruuu r根據(jù)題意O, A, B是平面上的三個點線，且AB上一點C滿足AC 3CB 0則位置關(guān)系可用下圖表示所以B為線段AC上靠近C的三等分點 則由平面向量的線性運算可得uuu uur uurOB OA ABuuu 2 uuir OA AC3uuu 2 uuur uuuOA OC OA 31 uur 2 uuur-OA -OC33故選：D【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3 .在 ABC中，角B,C所對的邊

3、分邊為b,c,已知b 40,c 20,C 60 ,則此三角形的解的情況是（）A .有一解B.有兩解C.無解D .有解但解的個數(shù)不確定【答案】C【解析】由三角形正弦定理 b 可知二40-20 o sin B J3 B無解,sin B sin C sin B sin 60所以三角形無解，選 C.4 .等差數(shù)列 an的通項公式為an 2n 8 ,有如下四個結(jié)論：P :數(shù)列an是遞增數(shù)dn2列；F2:數(shù)列nan是遞增數(shù)列；P3:數(shù)列一是遞增數(shù)列；R :數(shù)列4是遞增數(shù)n列.其中結(jié)論正確的是（）A. P,P3B,P2,PlC,P3,P4D. B,P3【解析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可判斷P ；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

4、可判斷P2 , Pt；根據(jù)反比例類型函數(shù)的性質(zhì)可判斷P3.【詳解】.an 2n 8,由一次函數(shù)的單調(diào)性可知數(shù)列a 是遞增數(shù)列，即 P-正確;2nan 2n 8n ,由二次函數(shù)的單調(diào)性可得，其先減后增，即P2錯誤；an _ 8an_2反比例類型函數(shù)的單調(diào)性可得是遞增數(shù)列，即P3正確；n nn2. 2an 4n 32n 64 ,由二次函數(shù)的單調(diào)性可得，其先減后增，即P4錯誤，故選：A.【點睛】本題主要考查通過數(shù)列的函數(shù)特征判斷數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題uur r urn r uuuc,uuu CF5 .已知D,E,F分別是 ABC的邊BC,CA,AB的中點，且BC a,CA b , ABuuv r

5、1 r 4 uuv r 1 J UUU 1 r 1,r _ uuiv uuv 則 AD =- b 3a； BE = a+b； CF =- -a + -b AD + BE +=0.其中正確的等式的個數(shù)為（）A. 1B . 2C. 3D . 4【解析】本題考查的知識點是向量的加減法及其幾何意義、及零向量，我們根據(jù)已知中 的圖形，結(jié)合向量加減法的三角形法則，對題目中的四個結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，即可得到 答案.【詳解】uuiv uuuv uuu uuuv 1 uuvuuv 1 uuuv如圖可知 AD = AC + CD = AC + - CB = CA BC 22r 1 r 一一八=-b - -a ,故正

6、確.uuv uuu uuv uuu 1 uuv BE = BC + CE= BC + CA2=a+1b,故正確.2uuu uuv uuv uuv 1 uuuv r 1 r r CF =CA+ AE = CA+ 2 AB = b + (- a-b)uuu/ uuv uuu uuiv uuv uuu AD + BE + CF = DA + BE + CFuuiv uuv uuv uuu=(DC + CA)+ BE + CF=(-a + b)+ a + b a + b=0,故正確.2222故選D.【點睛】本題考查的主要知識點是向量加減法及其幾何意義，關(guān)鍵是要根據(jù)向量加減法及其幾何意義，將未知的向量分

7、解為已知向量.6.在 ABC 中，已知(a2 b2)sin (A是()A.等腰三角形C.等腰直角三角形【答案】B22【解析】解：因為(a2 b2)sin (A B)B) (a2 b2)sin (A B),則 ABC 的形狀B.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(a2 b2)sin (A B)將邊化為角，利用分解因式和降哥的變形得到三角形的形狀為直角三角形，選B7 .已知由實數(shù)組成的等比數(shù)列an的前n項和為Sn ,若$0 21 , S30 49 ,則。是()A.7B . 9C. 63D.7 或 63【答案】A【解析】由等比數(shù)列的求和公式， 結(jié)合條件，求出q10 2, 魯 7,代入可求S10.1

8、 q【詳解】由題意顯然可知公比q 1 ,/20/3049,ai 1 q c a 1 q-21，S301 q1 q上述兩式相除可得q102,37,1 q107,a 1 qS101 q故選：A.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題 8 .數(shù)學(xué)九章中對已知三角形三邊長求三角形的面積的求法填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白，雖與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平,其求法是：“以小斜哥并大斜哥減中斜哥，余半之，自乘于上，以小斜哥乘大斜哥減上,22.22cab余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即(S, a, b,

9、c分別表示三角形的面積及三邊長)現(xiàn)有周長為 4應(yīng) 2J5的VABC ,滿足 sinA:sinB:sinC (J2 1):J5:(J2 1),試用以上給出的公式，求得VABC的面積為()A. 73B . 2百C. 75D. 2君【答案】A【解析】根據(jù)正弦定理可得：a:b:c (J2 1):J5:(J2 1),周長為4衣 2石,可得a , b , c的值，代入公式可得答案；【詳解】由題意 sinA:sinB:sinC (J2 1):J5:(J2 1),根據(jù)正弦定理：可得 a:b:c (72 1):T5:(J2 1),周長為442而，即a b c 4我2瓜可得 a 2 72 2, b=2而，c 2

10、72 2,J 222 .2 212 2c a b-c a J3,42故選：A.【點睛】本題考查三角形的正弦定理的運用，考查了學(xué)生的運算能力，求出三邊的長是解題的關(guān) 鍵，屬于基礎(chǔ)題.9.VABC 中，AC 6 ,點 P 為 AC 中點.若 BP 歷，AB 3BC ,則 AB ()A. 4B . 275C. 6D . 375【答案】C【解析】設(shè)BC x,則AB 3BC 3x ,在VABC和 ABP中分別運用余弦定理即可求出x ,進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】設(shè) BC x,則 AB 3BC 3x,由余弦定理可得：在VABC 中，cos A222AC2 AB2 BC22AC AB29 2x29x*AB2 A

11、P2 BP2 9x2 2在 4ABP 中，cosA :2AB AP 18x9 2x2 9x2 2人所以9二一2,解得x 2或x 2 (舍去)9x 18x所以AB 3x 6,故選：C.【點睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題10 .已知VABC是長為2的等邊三角形,uuv uuv uuvP為平面ABC內(nèi)一點，則PA (PB PC)的最小值是()A.2B.3C.4D.123【答案】B【解析】以BC為x軸，BC的垂直平分線 DA為y軸，D為坐標(biāo)原點建立平面直角坐uuu uuu uuu uuu uur UULT_ 2標(biāo)系，表不出向量 PA, PB , PC,得

12、到PA (PB PC) 2x 2y(J3 y),進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】如圖，以BC為x軸，BC的垂直平分線 DA為y軸，D為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo) 系，則 A(0,m)，B( 1,0),C(1,0),設(shè) P(x,y),所以uuuPA(x, .3 y)uuuPBuur(1 x, y) , PC (1x,y)所以uuuPBuuirPC2x,2y),uurPAuuu (PBuurPC)2x22y( .323 2y) 2x 2(y -y)、3.當(dāng) P(0,)時,2所求的最小值為故選：B本題主要考查求向量數(shù)量積的最值,通過建系的方法處理,熟記向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可，屬于?？碱}型11 .已知 ABC

13、的外接圓半徑為uuu且3OAuuu4OBuur r5OC 0 ,則uuur uuu OC AB的值為(B7C.【解析】【詳解】uuu因為3OAuuu4OBuuir 5OCuuu4OBuur5OCuuu3OA,所以uuu 2 16OBuuu40OBuuurOCuur 2 25OCuuu29OA又因為uuuOAuumOBuuurOCuuuOBuuurOCuuur同理可求OAuuirOC所以uuurOCuuuABuuurOCuuuOBuuuOA故選C.12 .已知等差數(shù)列an的前項和為Sn,若3a3，a2019321a2019 1則有（）A. a3a2019 且 S20212021B -a3a201

14、9 且 S2021202122019 且 S20214042D.a3a2019 且 S20214042【解析】對已知等式進(jìn)行構(gòu)造為a332a32 1 和a20192a201921，通過提取公因式可得a3a2019兩式相加因式分解可得a3a20194 ,最后根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式即可得結(jié)果a3a3,易知aa3a3a30,又,a20191a2019，a2019a201921,即a20192 a2019易知a20190,即 a20192,故而a3a2019.可得a3a20192 a20190,a3 2a20192a32a2019a32a201920,由于a32a2019a32 a20192a32a

15、201920,即 a3a20194 ,S2021aa_22i20212a3 a2019202124042.故選：C.本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及其前n項和,考查了學(xué)生的計算能力,利用立方和公式進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題二、填空題13 .已知VABC角A, B, C所對的邊分別為8, C 60,uur uur則 BC CA【答案】20【解析】直接利用數(shù)量積的定義即可得出結(jié)果【詳解】uuur uuuBC CAuurBCuuuCA cos 180o20,故答案為： 20.【點睛】本題考查了數(shù)量積的定義，考查了計算能力，理解向量夾角的概念是解題的關(guān)鍵，屬于 屬于題.14 .已知等比數(shù)列an

16、的前n項和為Sn,若a3 = 3 , S3 = 9 ,則ai的值為 223【答案】3或62【解析】由題意，要分公比q 1,q 1兩種情況分類討論，當(dāng) q = 1時，S3 = 3a1即可求解，當(dāng)qw1時，根據(jù)求和公式求解當(dāng) q=1 時，S3 = 3a1 = 3a3=3x = 符合題意，所以 a = 3 ； 2223、“八 41 q29當(dāng) qw1時，S3= a(1+q + q2)= ，1 q2-23m 3又a3 = a1q=一得a1=2 ,代入上式,2 2q2 ，32q22、9(1 +q+q )=- 21+ - -2 = 0, q解得1 = 2或。=1（舍去）. qq31 ,7 一因為q =-,所

17、以a1=-1= 6 ,2 223八 綜上可得a=一或6.2【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的求和公式,涉及分類討論的思想，屬于中檔題.15. zXABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c .已知sin B sinA(sinC cosC) 0, a 2, c /2,則C=【解析】由B (A C)代入方程消去一個未知數(shù)，轉(zhuǎn)化成關(guān)于A,C的方程，再利用正弦定理求C的正弦值.【詳解】由題可得 sin AcosC cosAsinC sin Asin C sin AcosC 0 ,即 sinC(sinA cos A) J2sinCsin(A -) 0,所以 A 44由正弦定理as

18、in Ac1可得.3 冗 sin C，即 sin C 二，sin C sin24-一 一一.一 一一.一 九因為c a ,所以C A,所以C -.6【點睛】本題由于給定邊a,c的長，所以三角方程中選擇消去B這一未知數(shù)，為正弦定理的使用做鋪墊.1 一 *16 .數(shù)列 an滿足a1 一，且對任意n N , an 132 anan ，右 cn1:,數(shù)列cnan1前n項和為Sn ,則S2019勺整數(shù)部分是【解析】由已知可得an1an,計算出a4 114時，一an0,1 ,對已知等式取倒數(shù)可得:an 11一；,即an 1cnan“裂項求和”方法即可得出2an 1 ana1 an 1an,5281a452

19、81528169166561n 4 時,-0,1 an2111 an 1 anan , 7 ,可得:an 1anan1111an 1 anan 1cn11, anan 1，數(shù)列cn的前n項和Snaa2a2a3an1, a an 1C 11-1”S2019 3 2,3 ,其整數(shù)部分為2,a1a2020 a2020故答案為：2.【點睛】 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、裂項求和方法、數(shù)列的單調(diào)性、實數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能 力與計算能力，屬于中檔題.三、解答題2/Vr b1rbr r r17 .右平面向重a、b滿足|a_ r rr ,一（1）右a b平仃于x軸，求向重 a的坐標(biāo);,r , ,. r r ,一

20、(2)若 |a | 4 ,求 |2a b | 的值.【答案】（1）a 3,1 或a 1,1 ；（2）VT09,r ，一 ，.、一【解析】（1）設(shè)出a x,y ,根據(jù)平行關(guān)系及模長列出方程組，求出方程組的解即可 得結(jié)果；rr rr r(2)通過對|a b | 1兩邊同時平萬可求出 a b,然后求出|2a b |的平萬再開萬即 可.【詳解】，八5 r(1)設(shè) a x, y ,r rr |a b | 1 , a b 平行于 x 軸，b ( 2, 1),r J解得 . a b x 2,y 1 , 2 x 2 y y 1 01,1rra 3,1 或 a(2) . b ( 2, 1), b 娓, r r

21、, r ,又|a b | 1 , | a | 4 ,r2 r 2_ r r 讖r r 曰 r r2 a b2a b1 ,即16 5 2ab1，斛得 a b10，rr2 r 2 r r r 23 |2a b |2 4 a 4ab b 64 40 5 109,4 |2a b| .109.【點睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角 ，平面向量共線(平行)的坐標(biāo) 表示，考查了學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.18 . ZXABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a, b, c.已知 2cosc(acosB bcosA) c.(1)求角C；(2)若c 幣,SABC 挈，求 ABC的周長.【答案

22、】(1) C 一(2) 5日3【解析】【詳解】試題分析：(1)根據(jù)正弦定理把 2cosc(acosB bcosA) c化成1.一2cosc(sin AcosB sin BcosA) sin C ,利用和角公式可得 cosC ,從而求得角C；(2)根據(jù)三角形的面積和角C的值求得ab 6,由余弦定理求得邊 a得到 ABC的周長.試題解析：(1)由已知可得 2cosc(sin AcosB sin BcosA) sinC2cosC sin( A B) sin C cosC(2)SABC - absinC23、3一 ab 2ab 6又 Qa2 b2 2abcosC c2a2 b2 13, (a b)2

23、25 a b 5 ABC的周長為5 J7【考點】 正余弦定理解三角形.19 .在 ABC中，A, B,C的對邊分別是a,b,c,已知a 1 ,平面向量rrr r _ _ .m (sin( C), cosC), n (sin( B ),sin B),且 m n sin 2 A .(1 )求 ABC外接圓的面積;(2)已知O為AABC的外心，由O向邊BC、CA、AB引垂線，垂足分別為D、E、F,求uurODuurOEuuur OF的值.cosAcosBcosC【答案】(1)萬；(2)石【解析】【詳解】(1)由題意，sin 2A sinCcosB sinBcosC得 2sin AcosA sin(

24、B C) sin A1由于 ABC 中 sin A 0, 2cos A 1, cosA 21 sin A 1 cos2 Aa 212R= 一，R , S -sin A ,3. 33(2)因為。為ABC的外心，由O向邊BC、CA、AB引垂線，垂足分別為 D、E、F,延長CO交圓于G點,CG為圓的直徑,三 90 r ODLBC r二 ODffBG r丁 Z/l = ZG r DOC = A BOD dBOD - ZA rOD =39 ZBOE . OHODOB。同理可知-Cutj BODOEOFcost A eas B V3&/i二 3 K =20 .已知數(shù)列 an是等差數(shù)列，a1 f(x 1),

25、 a20, a3 f(x 1),其中-，、2一f (x) x 4x 2 .(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)若an是遞增數(shù)列，數(shù)列 bn是以p為首項，p為公比的等比數(shù)列(其 an 4 bn , 一.非零實常數(shù))，求數(shù)列 的n項和Tn.2【答案】(1) an 2n 4或an/ * / 一 、2n 4, n N ; (2)Tn【解析】(1)由& a3 2a20f x 1 f x 10,即 x2 4x 3n ip np n 1 p2, p1 p出x,從而可得首項和公差，即得結(jié)果;1兩種情(2)由(1)以及等比數(shù)列的定義可得an 4 bn n pn,分為p 1和p2形，結(jié)合錯位相減法即可得其前n項

26、和Tn.【詳解】22 八 一(1)af x 1 x 2x1,a2 0, a3f x 1 x 6x 7,. aa30, x2 4x 30 , x 1 或 3,當(dāng) x 1時，a2 , d 2,即 an 2n 4 , n N ;當(dāng) x 3時，a1 2 , d 2,即 an2n 4 , n n *;綜上可得數(shù)列an的通項公式為an 2n 4, n N或an2n 4, n(2)由于an是遞增數(shù)列，數(shù)列bn是以p為首項，p為公比的等比數(shù)列an 4 bn2當(dāng)p 1時,an 4 bn2當(dāng)p 1時,Tn p 2p23p3 Lnnp2p3 3p4nnp由得p Tnpn n 1p np化簡解：Tnn 1p np n

27、綜上可得：Tnn 1p np n 11 p本題主要考查了數(shù)列的遞推式，考查了利用錯位相減法求和,屬于中檔題21 .如圖，某學(xué)校擬建一塊五邊形區(qū)域的“讀書角”,三角形區(qū)域ABE為書籍?dāng)[放區(qū),四邊形區(qū)域為BCDE為閱讀區(qū),沿著AB、AE處擺放折線形書架（書架寬度不計）（2）若區(qū)域ABE為銳角三角形，求書架總長度oDE =3BC = 3CD= 3庭 m .AB +AE的取值范圍.【答案】（1） BE6m(2) 66,12【解析】（1）連接由余弦定理可得 BD ,由已知可求/ CDB = / CBD = 30 ,/ CDE =120BDE = 90,利用勾股定理即可得解 BE的值；（2）設(shè)/ABE=a

28、 ,由正弦定理，可得AB = 4 73 sin (120a), AE = 4 J3 sin a ,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得AB +AE = 12sin ( a+30 ),結(jié)合范圍 60 v a +30 120 ,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求AB+AE的最大值，從而得解.連接BDBDC 中，BCCD 、3,/BCD=120由余弦定理BD2BC2 CD22BC CD cos BCD ,得BD22 一 一由 2串 5/3cos120 ,得BD3m又 BC=CD,/ BCD=120BDCBDE90 . ABE 中，BD=3 , DE3，3,由勾股定理BE2BD2 DE2 323.3 2 36. 2

29、Sn33第23頁共19頁故 BE 6m.設(shè) ABE貝 U AEB 180 60120在ABE中,AB由正弦定理sin 120BEAEsin60sin4.3AB 43sin 120AE 473sin ，故 AB AEsin 120= 4.3 sinsin120 coscos120sin4、33 . sin2,3cos212sin30 ABE為銳角三角形,故309030120sin6.3 ABAE12所以暑假的總長度AB+AE的取值范圍是673,12 ,本題考查余弦定理，考查正弦定理，考查三角函數(shù)的化簡，考查學(xué)生分析解決問題的能 力，屬于中檔題.此類函數(shù)的實際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題一建模一解模一還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考 慮.將實際的最大(小)化問題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)是最優(yōu)化 問題中，最常見的思路之一.一.2S1 2222 .設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn ,已知ai1, 一nan 1- n2n - n Nn33(1)求a2的值;(2)求數(shù)列 an的通項公式；,121(3)令h(n) a，f(n) 一 n ，證明：對任意n N+,均有 (n) an32 .，、1、，f(n)h(n) h(1) h(2)h