圓中的分類討論

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓中的分類討論湖北省黃石市下陸中學(xué)宋毓彬由于圓中的點(diǎn)、線在圓中的位置分布可能有多種情況，經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致其答案的不唯一性。如：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)可能在圓內(nèi)，也可能在圓外；兩條弦的位置關(guān)系，可能在某一條直徑的同側(cè)，也可能在直徑的異側(cè)；圓與圓相切，可能外切，也可能內(nèi)切，等等。因此，求解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意分類討論思想。 一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不唯一性 例1.若所在O所在平面內(nèi)一點(diǎn)P到O上的點(diǎn)的最大距離為a，最小距離為b（ab），則此圓的半徑為（   ）。 （A）   （B） &

2、#160;（C）或    （D）a+b或ab 分析：P可能在圓內(nèi)，也可能在圓外。              圖11                      圖12  &

3、#160;P在圓內(nèi)時(shí)。如圖11。 連接O、P所在的直線交O于A、B。 則PA=a，PB=b  直徑AB=PA+PB=a+b，半徑OA=OB=AB=（a+b） P在圓外時(shí)。如圖12。 此時(shí)直徑AB=PAPB=ab，半徑OA=OB=AB=（ab） 由可知，應(yīng)選（C）。 二、弦與弦的位置關(guān)系不唯一性 例2.O的半徑為5cm，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD之間的距離是（   ）。 （A）7cm    （B）8cm

4、   （C）7cm或1cm     （D1cm 分析：弦AB與CD可能在圓心的同側(cè)，也可能在圓心的異側(cè)。               圖21                  &#

5、160;      圖22 弦AB與CD在圓心的同側(cè)。如圖21。 過(guò)O作弦AB的垂線，交AB于M，交CD于N。連接OB，OD。 ABCD，OMAB，ONCD 由垂徑定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm 在RtBMO中，OM=4cm，同理ON=3cm MN= OMON=43=1 cm 弦AB與CD在圓心的異側(cè)。如圖22。 此時(shí)，MN=OM+ON=4+3=7cm      

6、;  故選（C）。 例3如圖，已知AB是O的直徑，AC是O的弦，AB=2，AC=，在圖中畫出弦AD，使AD等于1，并求出CAD的度數(shù)。 分析：弦AC與弦AD可能在直徑AB的同側(cè)，可能在直徑AB的異側(cè)。  弦AC與弦AD在直徑AB的同側(cè)。如圖31。 連OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC= OC+OD=AC AOC=90°，CAO=ACO=45° 又OA=OD=AD，DAO=60° DAC=DAOCAO=15° 弦AC與弦AD在直徑A

7、B的異側(cè)。 此時(shí)，DAC=DAO+CAO=115° 三、點(diǎn)在直徑上的位置不唯一性 例4已知O的直徑AB=10cm，弦CDAB于點(diǎn)于點(diǎn)M。若OM：OA=3：5，則弦AC的長(zhǎng)為多少？ 分析：垂足M可能在半徑OA上，也可能在半徑OB上。  M在半徑OA上。如圖41。 連接OC。OC=OA=AB=5cm，  又OM：OA=3：5，OM=3cm AB是直徑，弦CDAB     在RtOMC中，  MC=4cm 又AM=OAOM

8、=2cm 在RtAMC中，AC=2（cm） M在半徑OB上。如圖42. 此時(shí)，AM=OA+OM=8cm AC=4（cm） 四、弦所對(duì)圓周角的不唯一性 例5圓的一條弦長(zhǎng)等于它的半徑，那么這條弦所對(duì)的圓周角為（   ）。 30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°（A）       （B）     &#

9、160;分析：弦（不是直徑）所對(duì)的弧有兩條，一條優(yōu)弧，一條劣弧， 因此，一條弦所對(duì)的圓周角也有兩個(gè)，并且這兩個(gè)圓周角互補(bǔ)。 如圖5。劣弧所對(duì)的角為ACB，優(yōu)弧所對(duì)的角為ADB。  由AB=0A=OB，AOB=60° ACB=AOB=30° ADB=（360°AOB）=（360°60°）=150°   故選（D） 五、圓與圓的位置關(guān)系不唯一性 例6如果兩圓相切，兩圓的圓心距為8cm，圓A的半徑為3cm，則圓B的半徑是（ 

10、;  ）。 5cm （B）11cm （C）3cm （D）11cm或5cm（A）       （B）      分析：圓與圓相切，可能是內(nèi)切，也可能是外切。              兩圓外切。如圖61。AB=8+3=11cm 兩圓內(nèi)切。如圖62。AB=83=5cm    故選（D） 六、相交圓圓心與公共弦的位置關(guān)系不唯一性 例7已知相交兩圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長(zhǎng)6cm，則這兩個(gè)圓的圓心距為           。 分析：兩圓圓心可能在公共弦的同側(cè)，也可能在公共弦的異側(cè)。    圓心在公共弦的異側(cè)。如圖71。 連接OA，OA。由圓的對(duì)稱性，O O垂直平分公共弦AB。 AD