正弦定理和余弦定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)學(xué)案

1、正弦定理和余弦定理一、正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC常見變形(1)a2Rsin A，b2RsinB，c2RsinC；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsinAsinBsinC；(4)；(5)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C二、對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的探究正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：1已知兩角和任意一邊，求另兩邊和另一角；2已知

2、兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角第一類問題有唯一解，當(dāng)三角形的兩角和任一邊確定時(shí)，三角形就被唯一確定第二類問題的三角形不能唯一確定，可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況下面以已知a，b和A，解三角形為例加以說明法一;由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：(1)若sin B>1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0，即無解；(2)若sin B1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；(3)若sin B<1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.顯然由0<sin B<1可得B有兩個(gè)值，一個(gè)為鈍角，一個(gè)為銳角，考慮到“大角對(duì)大邊”、“三角形內(nèi)角和等于180°”等，此時(shí)需進(jìn)行討論

3、判斷三角形解的個(gè)數(shù)也可由“三角形中大邊對(duì)大角”來判定設(shè)A為銳角，若ab，則AB，從而B為銳角，有一解；若a<b，則A<B，由正弦定理得sin B；sin B>1，無解；sin B1，一解；sin B<1，兩解法二：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Aabbsin A<a<ba<bsin Aa>bab解的個(gè)數(shù)一解兩解無解一解無解三、三角形的面積公式已知條件選用公式三角形的一邊及此邊上的高公式1：SABCa·hab·hbc·hc(ha，hb，hc分別為邊a，b，c上的高)三角形的兩邊及夾角公式2：SABCabs

4、in Cbcsin Aacsin三角形的兩角及一邊 公式3：SABCa2，SABCb2，SABCc2.三角形的三邊公式4：(海倫公式)SABC，其中p(abc).SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(R、r分別是三角形外接圓、內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.高頻考點(diǎn)一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在ABC中，已知a2，b，A45°，則滿足條件的三角形有()A1個(gè)B2個(gè)C0個(gè)D無法確定(2)在ABC中，已知sinAsinB1，c2b2bc，則三內(nèi)角A，B，C的度數(shù)依次是_(3)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a，s

5、inB，C，則b_.【感悟提升】(1)判斷三角形解的個(gè)數(shù)的兩種方法代數(shù)法：根據(jù)大邊對(duì)大角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和公式、正弦函數(shù)的值域等判斷幾何圖形法：根據(jù)條件畫出圖形，通過圖形直觀判斷解的個(gè)數(shù) (2)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理用正弦定理時(shí)，需判斷其解的個(gè)數(shù)，用余弦定理時(shí)，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個(gè)數(shù)【變式探究】(1)已知在ABC中，ax，b2，B45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是()Ax2Bx2C2x2D2x2(2)在ABC中，A60°，AC2，BC，則AB_.高頻考點(diǎn)二和三角形面積有關(guān)的問題例2、(2015·

6、浙江)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tanC的值；(2)若ABC的面積為3，求b的值【感悟提升】(1)對(duì)于面積公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化【變式探究】四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四邊形ABCD的面積高頻考點(diǎn)三正弦、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3、(1)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若<cosA，則ABC為()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三

7、角形(2)在ABC中，cos2(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則ABC的形狀為()A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【舉一反三】(2015·課標(biāo)全國(guó))如圖，在ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的長(zhǎng)【感悟提升】(1)判斷三角形形狀的方法化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論(2)求解幾何計(jì)算問題要注意根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標(biāo)示；選擇在某個(gè)三角形中運(yùn)

8、用正弦定理或余弦定理【變式探究】在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，若cacosB(2ab)cosA，則ABC的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形練習(xí)：1已知ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若A，b2acosB，c1，則ABC的面積等于() A. B. C. D.2在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若C2B，則為() A2sinC B2cosB C2sinB D2cosC3已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則B()A. B. C. D.4在ABC中，若lg(ac)lg(ac)lgblg，則A

9、()A90° B60° C120° D150°5在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若3a2b，則的值為() A B. C1 D.6在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足csinAacosC，則sinAsinB的最大值是()A1 B. C. D37.在ABC中,若A=3,B=4,BC=32,則AC=()A.32B.3C.23D.458.在ABC中,若a2+b2<c2,則ABC的形狀是()A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形D.不能確定9.已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且c-bc-a=

10、sinAsinC+sinB,則B=()A.6B.4C.3D.3410.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.若C=120°,c=2a,則()A.a>b B.a<b C.a=b D.a與b的大小關(guān)系不能確定11.在ABC中,a=15,b=10,A=60°,則cosB=.12.ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,則B=.13.ABC中,點(diǎn)D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC.(2)若BAC=60°,求B.14.在ABC中,角A,B,C的對(duì)

11、邊分別為a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若BA·BC=2,且b=22,求a和c的值.15.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,點(diǎn)(a,b)在直線x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上.(1)求角C的值.(2)若2cos2A2-2sin2B2=32,且A<B,求ca.16.如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cosCAD的值.(2)若cosBAD=-714,sinCBA=216,求BC的長(zhǎng).正余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用對(duì)實(shí)際應(yīng)用問題中的一些名稱、術(shù)語的含義的理解(1)坡角：坡向與

12、水平方向的夾角，如圖(2)仰角和俯角：在視線和水平線所成角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角，如圖(3)方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角，如圖中B點(diǎn)的方位角為.(4)方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.如圖中ABC為北偏東60°或?yàn)闁|偏北30°. （4） （3） （3） （2） （1） 知識(shí)點(diǎn)一測(cè)量距離問題例1 (導(dǎo)學(xué)號(hào)：30280048)如圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為12 n mile，在A

13、處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為8 n mile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東60°.求：(1)A處與D處之間的距離；(2)燈塔C與D處之間的距離1如圖，從氣球A上測(cè)得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高度AD是60 m，則河流的寬度BC是()A240(1)mB180(1) mC120(1) m D30(1) m知識(shí)點(diǎn)二測(cè)量高度問題例2 (導(dǎo)學(xué)號(hào)：30280050)某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40米以后，望見塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔的最大仰角為30°，求塔高2如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60°，C點(diǎn)的仰角CAB45°以及MAC75°；從C點(diǎn)測(cè)得MCA60°.已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_m.知識(shí)點(diǎn)三測(cè)量角度問題例3 (導(dǎo)學(xué)號(hào)：30280052)如圖，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A為(1)n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距離A為2 n mile的C處有一艘