平面向量知識(shí)點(diǎn)與考點(diǎn)精

1、平面向量知識(shí)點(diǎn)與2013考點(diǎn)精講知識(shí)網(wǎng)絡(luò)第1講 向量的概念與線性運(yùn)算知識(shí)梳理1 .平面向量的有關(guān)概念:(1)向量的定義：既有大小又有方向(2)表示方法：用有向線段來(lái)表示向量 .有向線段的的量叫做向量.長(zhǎng)度 表示向量的大小，用箭頭所1)2)3)4)5)2.指的方向表示向量的方向.用字母a, b,或用AB, BC ,表示.特別提醒:模：向量的長(zhǎng)度叫向量的模，記作|a|或| AB|.零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作 0;零向量的方向不確定.單位向量：長(zhǎng)度為1個(gè)長(zhǎng)度單位的向量叫做單位向量 .共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規(guī)定零向量與任何向量共線相等的向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相

2、等的向量向量的線性運(yùn)算1 .向量的加法：(1)定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法如圖，已知向量ab, *在平面內(nèi)任取一點(diǎn)uuuA,作 ABuuirBCb,則向量AC叫做a與b的和，記uuu作 a+b,即 a+b ABuurBCuuir AC特殊情況:a bCA(3)a平行四邊形法則(a+b) +c=a+ (b+c).a b ABC(2 )對(duì)于零向量與任一向量 a,有a 0 0(2)法則： 三角形法則(3)運(yùn)算律：a +b=b+a；2 .向量的減法：(1)定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法 減法的三角形法則作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)Q作OA= a, OB = b,則 BA= a ? b即a

3、 ? b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量 a的終點(diǎn)的向量.B注思1） AB表示a ? b.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)2）用相反向量”定義法作差向量，a ? b = a +（-b）顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.a/b/c a ? b = a + （?b） a ? b3.實(shí)數(shù)與向量的積：（1）定義：實(shí)數(shù) 入與向量a的積是一個(gè)向量，記作入a,規(guī)定：|入a|二|入| a|.當(dāng)人0時(shí)，入a的方向與a的方向相同；當(dāng) 入0時(shí)，入a的方向與a的方向相反；當(dāng) 入=0時(shí)，入a=0.（2）運(yùn)算律： （w a）=（入 ） ）a, （入 + w ） a=入 a+ - a,（a+b）=入 a+ 入 b.特別提

4、醒：1）向量的加、減及其與實(shí)數(shù)的積的結(jié)果仍是向量。2） 重要定理：向量共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得b=入a,即b / a b=入 a （ aw 0）.向量重難點(diǎn)突破1 .重點(diǎn)：理解向量及與向量相關(guān)的概念，掌握向量的幾何表示，掌握向量的加法與減法，會(huì)正確運(yùn)用三角 形法則、平行四邊形法則.2 .難點(diǎn)：掌握向量加法的交換律、結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量化簡(jiǎn)與計(jì)算.3 .重難點(diǎn)：.問題1：相等向量與平行向量的區(qū)別答案：向量平行是向量相等的必要條件。問題2:向量平行（共線）與直線平行（共線）有區(qū)別答案：直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況

5、。問題3:對(duì)于兩個(gè)向量平行的充要條件：a / b a= b,只有bw 0才是正確的.而當(dāng)b=0時(shí)，a / b zl a= X b的必要不充分條件.問題4;向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量是自由向量，只有大小和方向兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無(wú)關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量 就是相同的向量；（2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段若a M，則a b向量就是有向線段（5）兩相等向量若共起點(diǎn)，則終點(diǎn)也相同（6）若 a b,b c,則 a c；r(7)若 a/b , bc ,則 ac(8)(9) a b的充要條件是| a | |b |且a b ；若四邊形AB

6、C比平行四邊形，則ABCD,BC DA解題思路:正確理解向量的有關(guān)概念，以概念為判斷依據(jù)，或通過(guò)舉反例說(shuō)明。解析：解：（1）不正確，零向量方向任意，（2） 不正確，說(shuō)明模相等，還有方向 量的模為1,方向很多 （4）不正確，有向線段是向量的一種表示形式（5）（3） 不正確，單位向正確， （6）正確,（7）不正確，因若b 0,則不共線的向量a,c也有a0 , 0c。（8）不正確，如向量相等有傳遞性AB CD,BC DA（9）不正確，當(dāng)a/b ,且方向相反時(shí)，即使|a | |b | ,也不能得到a b ；【名師指引】對(duì)于有關(guān)向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從通過(guò)舉出反例而排除或否定相

7、關(guān)命題?？键c(diǎn)一：向量及與向量相關(guān)的基本概念1.12012高考浙江文7】設(shè)a, b是兩個(gè)非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|,則 a bB.若 a，b,則 |a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，則存在實(shí)數(shù)入，使得 b=X aD.若存在實(shí)數(shù)入,使得 b=X a,則|a+b|=|a|-|b|【答案】C【命題意圖】本題考查的是平面向量，主要考查向量加法運(yùn)算，向量的共線含義，向量的垂直關(guān)系?！窘馕觥坷门懦傻眠x項(xiàng)C是正確的，|a + b| =| a| | b| ,則a, b共線，即存在實(shí)數(shù)人,使得a=入b.如選項(xiàng)A： | a+ b| = | a| | b|時(shí)，a, b可為

8、異向的共線向量；選項(xiàng) B：若a，b,由正方形得| a+b| = | a| | b|不成立；選項(xiàng) D：若存在實(shí)數(shù) 入，使得a=Xb, a, b可為同向的共線向量,此時(shí)顯然| a+ b| = | a| | b|不成立.2.12012高考四川文r r7】設(shè)a、b都是非零向量,r r r r rrA |a|b| 且 a/b b 、ab卜列四個(gè)條件中,r ra/b Dr ra b使早 早成立的充分條件是（|a| |b|r r、a 2b【新題導(dǎo)練】題型1.概念判析例1判斷下列各命題是否正確（1）零向量沒有方向（2）（3）單位向量都相等（4）r r解析若使-a- 2成立，則a與b方向相同，選項(xiàng)中只有D能保證

9、，故選D.|a| |b|點(diǎn)評(píng)本題考查的是向量相等條件模相等且方向相同.學(xué)習(xí)向量知識(shí)時(shí)需注意易考易錯(cuò)零向量，其模為0且方向任意.考點(diǎn)二：向量的加、減法【指引】掌握向量加減的定義及向量加法的交換律、結(jié)合律等基礎(chǔ)知識(shí).在求解時(shí)需將雜亂的向量運(yùn)算式 有序化處理，必要時(shí)也可化減為加，減低出錯(cuò)律. 題型2:結(jié)合圖型考查向量加、減法3. (2009)在 ABC所在的平面上有一點(diǎn)P,滿足uuPAuurPBuur uurPC AB,則PBC與ABC的面積之比是()A. 1 3解題思路: 求解.B. 12C.本題中的已知向量都集中體現(xiàn)在三角形中.為此，可充分利用向量加減法的三角形法則實(shí)施【解析】由uur uuu

10、uurPA PB PCuuu uuu uuu uuu uuinAB,得 PA PB BA PC 0,uur 即PCuuu2AP,所以點(diǎn)P是CA邊上的第二個(gè)三等分點(diǎn)，如圖所示.故 S pbc BC PC 2S ABC BC AC 3【名師指引】三角形中兩邊對(duì)應(yīng)向量已知， 可求第三邊所對(duì)應(yīng)的向量. 值得注意的是，向量的方向不能搞錯(cuò).當(dāng)向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化成代數(shù)式運(yùn)算時(shí)，其運(yùn)算過(guò)程可仿照多項(xiàng)式的加減運(yùn)算進(jìn)行.4.如圖，在A ABC中，D E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)， CA=3 a, CB=2 b,求CD , CE .解析：AB =Ac +Cb = 3a+2b,因D、E為AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，故AD= 1 Ab=

11、 -a+ - b =DE , 33CD =CA + AD=3 a a+ -b =2 a+ - b, 33CE=CD + DE=2 a+ b- a+ b=a+ b.333考點(diǎn)三：向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 題型1:三點(diǎn)共線問題例4設(shè)e1，e2是不共線的向量，已知向量AB 2e1 ke2,CB e1 3e2,CD 2e1 e2,若 a,b,d 三點(diǎn)共線，求k的值 解題思路:證明存在實(shí)數(shù) ，使得AB BD解析：BD CD CB e 4e2 ,使 AB BD 2G ke2得 2,k4 k 8【指引】1、逆向應(yīng)用向量加法運(yùn)算法則，使得本題的這種證法比其他證法更簡(jiǎn)便, 個(gè)向量的和，一定要強(qiáng)化目標(biāo)意識(shí).2、這

12、是一個(gè)重要結(jié)論，要牢記。(e 4e2)值得一提的是，一個(gè)向量拆成兩題型2:用向量法解決幾何問題由海威迪R同聲.我附可以與咫川向崎的敷心根.W求蝶究過(guò)個(gè)阿密|成川解fhL何中的M點(diǎn)列和，公所以同理可 id町:電四中W咱中T諱 感M向城彳的班.力得到111工用:(1)(2)(3)向量a與b共線，b與c共線，則a與c共線。(4)向量a與b共線，則a/ b(5)向量AB/CD ,則 AB /CD 。(6)平行四邊形兩對(duì)邊所在的向量一定是相等向量。2.在四邊形ABCD43,“AB= 2無(wú)是“四邊形ABC陰梯形”A充分不必要條件 條件B、必要不充分條件C充要條件D、既不充分也不必要3.已知向量1i 0,R

13、, a1iI2, b21i,若向量a和b共線,則下列關(guān)系一定成立的是（）A、r、l1r/ l2 D4. . H E、F 分別是 ABC的 BCCAAB上的中點(diǎn)，且BC aCAb ,給出下列命題，其中正確命基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由:共線向量一定在同一條直線上o 所有的單位向量都相等。題的個(gè)數(shù)是（）ADCFA、 11 - - a21 -a2Blb25.已知:AB 3(e1 e2),6.若BEADBCeiBEe2,uuu |OAB, C三點(diǎn)共線A, D三點(diǎn)共線uuu uuuuuiruuuOB| |OA OB |則向量 OA,A.平行7.如圖，已知uuuABr uuura, A

14、Cr uuir b, BDrA. a3b4B.-b C.答案:uuur解析：ADuurABuurBDuurAB8.已知 a + b =e 3e2 , a -答案：e1i -e229.已知a(k21)e2,b答案:k21 2k210.如圖,OAB 中,OC1b2CFCDB,C,2ei e2D三點(diǎn)共線D三點(diǎn)共線uurOB的關(guān)系是不確定uuu3DC3 uur -BC4b = e12e2則下列關(guān)系一定成立的是(綜合拔高訓(xùn)練-buuuABr r uuur a,b表示ADD.3r a43 uuur (AC4，用向、e2表不 a =-*(2t 1)e1 3e21八一 一Loa, od4r4ouuinAB)1

15、bC，且a/b ,試求t關(guān)于k的函數(shù)。1OB , AD與BC交于M點(diǎn)，設(shè)OA 2a, OB b,(1)試用a和b表示向量OM (2)在線段AC上取一點(diǎn)E,線段BD上取一點(diǎn)F,使EF過(guò)M點(diǎn)，設(shè)OEOF OB。求證：1 O第2講 平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示知識(shí)梳理1.平面向量基本定理：如果 e , &是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線 不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任向量a ,有且只有_一對(duì)實(shí)數(shù)入1,入2使2=入10)+入2e2特別提醒：M 皿(i)我們把不共線向量 e、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；rur uu(3)由定理可將任一向量 a在給出基底0、e2的

16、條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式推入1,入2是被a, 0 , e2唯一確定的數(shù)量2 .平面向量的坐標(biāo)表不如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)r rr單位向量_ i、j作為基底.任作一個(gè)向量a ,由平面向量基本定理r知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) x、y ,使得a xi yj O1 ,r我們把(x, y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作ra (x, y)C2其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，。2式叫做向量的坐標(biāo)表示. r與a相等的向量的坐標(biāo)也為(x,y).rrr特別地，i (1,0), j (0,1), 0 (0,0)，特別提醒：設(shè)OA xi yj ,則向量

17、OA的坐標(biāo)(x,y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，點(diǎn) A的坐標(biāo)(x, y)也就是向量OA的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示3 .平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算rrr r(1)若a (為，必)，b 卜小)，則 a b=(x1 x2,y y),r ra b= (x1 x2,y y2)兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差uuu若 A(x1，y1), B(x2,y2),則 AB % x1，y2 y1一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)rr(3)若 a (x, y)和實(shí)數(shù)，則 a ( x, y)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量

18、的相應(yīng)坐標(biāo)4 .向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示：設(shè) a=(xi, y 1), b =(X2, y 2)其中b ?aa / b ( b?0)的充要條件是x1y2x2yl 0重難點(diǎn)突破1 .重點(diǎn)：(1) 了解平面向量基本定理及其意義，了解基底和兩個(gè)非零向量夾角的概念，會(huì)進(jìn)行向量的分解及正交分解；(2)理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；2 .難點(diǎn)：用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件，能用向量的坐標(biāo)形式判斷兩向量以及三點(diǎn)是否共線3 .重難點(diǎn)：(1)平行的情況有方向相同和方向相反兩種r問題1：和a = (3, 4)平行的單位向量是 ；錯(cuò)解：因?yàn)閍的模等于

19、5,所以與a平行的單位向量就是1 a,即(3,9)555錯(cuò)因：在求解平行向量時(shí)沒有考慮到方向相反的情況。正解：因?yàn)閍的模等于5,所以與a平行的單位向量是1 a,即(、，一4)或(一、，：)55555熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)一：平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算uuruuinuuir1.12012高考廣東文3】若向量AB (1,2), BC (3,4),則ACA. (4,6) B. ( 4, 6) C.(2, 2) D. (2,2)【答案】A【解析】選Auur uur uurAC AB BC (4,6)第3講平面向量的數(shù)量積知識(shí)梳理1 .兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作OA = a, OB = b

20、 ,則一/ ao b= e （ow e w汽）叫a與b的夾角.特別提醒：向量a與向量b要共起點(diǎn)。2 .平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b ,它們的夾角是0 ,則數(shù)量| a| b |cos?_叫a與b的數(shù)量積，記作 a?b ,即有a?b = | a| b |cos?特別提醒：（1） （ow e wn）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為 0.（2） 兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.1） e ? a = a? e =| a |cos?；2） a?b ? a?b = 03） 當(dāng) a與 b 同向時(shí)，a?b = | a| b | ；當(dāng) a與b 反向時(shí)，

21、a?b = ?| a| b |.特別的 a?a = | a |2或| a |a a4)cos? = a b ;|a|b|5)| a?b | a w。卻不能推出b=c.因若a、b夾角為。i, a、c夾角為。2,則由p*p-a b = a c得 |a| | b |cos0 i=|a |- | c|cos。2 及 a |w 0,只能得到| b |cos 0 i=| c|cos 0 2,即b、c在a方向上投影相等，而不能得出 b=c (見 圖）. 若 a、b、cC R,貝U a(bc)=(ab)c( 結(jié)合律)成立，但對(duì)于向量 a、b、c”U(a - b) c與 a ( b - c)都是無(wú)意義的，這是因

22、為 a 6與6 c是數(shù)量，已不再是向量了，而數(shù)量與向量是沒有點(diǎn)乘定義的.同時(shí)，(a - b) c w a( b - c),這是因?yàn)閿?shù)量a - b與向量c相乘是與c共線的向量，而數(shù)量b - c與向量a相乘則是與a共線的向量，所以一般二者是不等的.這就是說(shuō)，向量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律的.(4)若a、bC R則|a-b|=|a| |b| ,但對(duì)于向量a、b,卻有 a b w ai b ,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a / b 時(shí)成立.這是因?yàn)?| a b |=| a | | b | |cos 0 | 而 |cos 0 | 1.熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【名師指引】a b a b 0是一個(gè)常用的結(jié)論

23、。例1.12012高考全國(guó)文9】uuuABC中，AB邊的高為CD,若CBr uuu r r r r r a,CA b, a b 0,|a| 1,|b| 2,uuur則AD/、1r1 r/、2r2r/、3 r3r(A) -ab(B) -a-b(0 -ab333355【答案】DG 4r 4,r (D a b 55考點(diǎn)二利用數(shù)量積處理夾角的范圍 題型1:求夾角及其范圍 例212012高考湖北文13】已知向量a= (1,0), b= (1,1),則(I )與2a+b同向的單位向量的坐標(biāo)表示為 ;(n)向量b-3a與向量a夾角的余弦值為 ?！敬鸢浮?I)巫晅；(n)空10105【解析】(I)由a = 1

24、,0 ,b= 1,1，得2a b = 3,1 .設(shè)與2a b同向的單位向量為 c= x,y，則y 1, 且 x,y3y x 0,3 10,10 故c = :10.10近叵.即與2a1010b同向的單位向量的坐標(biāo)為3而 10, 1010(n )由 a= 1,0 ,b= 1,1 ,得 b 3a =2,1 .設(shè)向量b 3a與向量a的夾角為cosb 3a ga b 3a|a|2,1 g1,0、5 12.5【點(diǎn)評(píng)】本題考查單位向量的概念，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積等 .與某向量同向的單位向量一 般只有1個(gè)，但與某向量共線的單位向量一般有 2個(gè)，它包含同向與反向兩種 .不要把兩個(gè)概念弄混淆了 今年需

25、注意平面向量基本定理，基本概念以及創(chuàng)新性問題的考查 第4講平面向量的應(yīng)用知識(shí)梳理1.利用向量處理幾何問題的步驟為：(1) 建立平面直角坐標(biāo)系；(2) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3) 求出有關(guān)向量的坐標(biāo)；(4) 利用向量的運(yùn)算計(jì)算結(jié)果；(5) 得到Z論.2 .平面向量在物理中的應(yīng)用如圖5-4-3所示，一物體在力 F的作用下產(chǎn)生位移 S,(6) 那么力F所做的功：W= |F| |S| cos a .r r r r r r3 .重要不等式： |a|b| ago |a|b|特別提醒：常用于求參數(shù)的范圍重難點(diǎn)突破1 .重點(diǎn)：會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題，如確定力或速度的大小以及方向2 .難點(diǎn)：加

26、強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高分析問題，解決問題的能力3 .重難點(diǎn)：.1.熟悉向量的性質(zhì)及運(yùn)算律；2能根據(jù)向量性質(zhì)特點(diǎn)構(gòu)造向量；3 .熟練平面幾何性質(zhì)在解題中應(yīng)用；4 .熟練向量求解的坐標(biāo)化思路.5,認(rèn)識(shí)事物之間的內(nèi)在聯(lián)系；6.認(rèn)識(shí)向量的工具性作用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用意識(shí)，熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)一：平面向量在平面幾何 題型1.用向量證明幾何題例1已知：如圖所示，ABC比菱形，AC和BD是它的兩條對(duì)角線.求證AdBD 解題思路：對(duì)于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個(gè)向量垂直的充要條件，而對(duì)于 這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標(biāo)形式的充要條件.解析：證法一：AC = AB + AD ,BD

27、= AD AB ,AC - BD = ( AB + AD ) ( AD AB )=| AD | 2 | AB | 2=0AC BD證法二：以O(shè)O在直線為x軸，以B為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)B(O, O), A(a, b) , C(c, O)則由| AB| = | BCM導(dǎo) a2+b2 = c2AC = BC - BA = (c, Q (a, b) = ( ca, b),BD = BA + BC = ( a, b) + ( c, O) = ( c+a, b)AC BD =c2-a2-b2=OAC BD 即 AC! BD【名師指引】如能熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算,則將給解題帶來(lái)一定的方便.通過(guò)向

28、量的坐標(biāo)表示，可以【新題導(dǎo)練】1.證明:解析設(shè) AC= bCB= a,則 AD =AC +CD = b+1 a, EB2ECCB = b+a2A,GG E共線 .可設(shè) AG=X ADEG =則 AG =入 AD =入(b+1 a)=2 1、入b+一入a,2EG = EB = (i( b+ a)= wb+a, 22 AE EGAG 即：一b + ( (1 b+a)=入b+1入a2入)+ ( 1 ?X+-)b = 0a,b不平行,uiurAG2 uur -AD32.已知M(4,0),N(1,0),若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足uuuu MNuur uuuMP 6|NP|,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.解析MP (x

29、 4,y),MN(3.0), PN(1x, y)由已知得 3(x 4)6而 x)2 ( y)2 ,把幾何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運(yùn)算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用。三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍化簡(jiǎn)得3x2 4y222一 x y ,12,即 1 ,這就是動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.考點(diǎn)二：平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)有用 題型1:與函數(shù)綜合題例312012高考陜西文71設(shè)向量(1. cosr）與 b =（-1 , 2 cos ）垂直，則 cos2 等于 （）A工r2C .0C.【解析】向量 a與b垂直，.2,1 cos 2cos 0, 2cos 1.2-cos2 2cos0

30、 .故選C.考點(diǎn)三：平面向量在物理中的應(yīng)用 題型1：用向量解決物理問題例4設(shè)炮彈被以初速V。和仰角 大時(shí)，炮彈飛行的距離最遠(yuǎn) .拋出（空氣阻力忽略不計(jì)）.當(dāng)初速度V0的大小一定時(shí)，發(fā)射角 多解題思路:上述問題中涉及速度等物理量，可根據(jù)平面向量的基本定理和物理問題的需要，把為水平方向和豎直方向兩個(gè)不共線的向量，再利用運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，最后利用向量的知識(shí)求解V0分解解析：將V0分解為水平方向和豎直方向兩個(gè)分速度V1和V2,則| V 1|=| V 01cos| V2|=| V0| sin ,由物理學(xué)知識(shí)可知，炮彈在水平方向飛行的距離S =| v 1| - t =| v 01cos - t （t

31、是飛行時(shí)間）炮彈在垂直方向的位移是0=| V 2| t - gt2 （g是重力加速度）22由得t=2|v0|sin ,代入得S = 2|v0| sin cos2v0 sin 2由于| V0|一定，所以當(dāng)二45。時(shí)，S有最大值.故發(fā)射角=45。時(shí)，炮彈飛行的距離最遠(yuǎn) .例5某人騎車以每小時(shí) a公里的速度向東行駛，感到風(fēng)從正東方向吹來(lái)，而當(dāng)速度為 東北方向吹來(lái)，試求實(shí)際風(fēng)速和方向.2 a時(shí)，感到風(fēng)從解題思路:利用向量知識(shí)解決物理中有關(guān)“速度的合成與分解”解析： 設(shè)a表示此人以每小時(shí) a公里的速度向東行駛的向量, 無(wú)風(fēng)時(shí)此人感到風(fēng)速為 ？a,設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v,那么此時(shí)人感到的風(fēng)速為 v ? a,設(shè)OA=? a , OB=?2 a PO + OA = PA . . PA = v ? a ,這就是感到由正北方向吹來(lái)的風(fēng)速, PO + OB =PB PB = v ?2a ,于是當(dāng)此人的速度是原來(lái)的2倍時(shí)所感受到由東北方向吹來(lái)的風(fēng)速就是 PB ,由題意：？PBO= 45?,PA?BO BA= AO從而， POB等腰直角三角形， PO= PB= J2 a 即：|v | = J2 a.實(shí)際風(fēng)速是 J2 a的西北風(fēng)【名師指引】 加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高分析問題，解決問題的能力第八章 綜合運(yùn)用用解題思