數(shù)值計(jì)算課后答案5

1、習(xí) 題 五 解 答1、用矩形公式、梯形公式、拋物線公式計(jì)算下列積分，并比較結(jié)果。(1)，(2)(3)，(4)1*、用矩形公式、梯形公式、拋物線公式計(jì)算下列積分，并比較結(jié)果。(1)解：解：將區(qū)間0，14等分，5個(gè)分點(diǎn)上的被積函數(shù)值列表如下（取2位小數(shù)）x00.250.50.751y0006012016020 (1)矩形法。用矩形法公式計(jì)算（取2位小數(shù)）或者 (2)梯形法用梯形法公式計(jì)算（取2位小數(shù)）：(3)拋物線法用拋物線法公式計(jì)算（取2位小數(shù)）：2、用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分，由此計(jì)算ln2（注：），精度要求為。解：，要求精度為，即誤差不超過。將積分區(qū)間4，8n等份，則步長在本題中，復(fù)化梯形公式的

2、余項(xiàng)為注意到，所以在4，8區(qū)間上，則，要使，需有。3、用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分，問將積分區(qū)間a,b分成多少等份，才能保證誤差不超過（不計(jì)舍入誤差）？解：對于復(fù)合梯形公式來說，如果在積分區(qū)間上連續(xù)，則其余項(xiàng)為，設(shè)，則令，得即當(dāng)時(shí)，能保證計(jì)算的精度要求。4、已知飛機(jī)在高度H的上升速度v(H)如下：H(km)0246810v(km/s)50.046.040.032.222.510.0求從地面(H=0km)上升到H=10km高空所需要的時(shí)間。(分別用復(fù)合梯形公式與高階牛頓柯特斯公式)指出：求給定函數(shù)的數(shù)值積分套用公式即可但須注意給出的數(shù)據(jù)表不是要求積分的函數(shù)表，要求積分的函數(shù)表為H(km)0246810

3、v(km/s)50.046.040.032.222.510.01/v5、用龍貝格方法計(jì)算下列積分，要求誤差不超過105。(1) (2)解: (1)依次應(yīng)用龍貝格積分的四個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算：。計(jì)算結(jié)果列表如下：i007717433107280699071351212071698280713287007132720307142002071327260713271707132717所以。6、分別用下列方法計(jì)算積分，并比較計(jì)算結(jié)果的精度(I=1.098612)：(1)復(fù)合梯形法(n=16)；(2)復(fù)合拋物線法(n=8)；(3)龍貝格方法，求至；(4)三點(diǎn)高斯勒讓德公式。指出：直接套公式計(jì)算。計(jì)算結(jié)果的精度

4、比較，通過各計(jì)算解和精確解比較，求出相應(yīng)的誤差，再比較誤差大小的方法進(jìn)行。三點(diǎn)高斯勒讓德公式為。當(dāng)積分區(qū)間不是1，1而是a,b時(shí)，為應(yīng)用高斯勒讓德公式，需要作變量代換，將a,b化為1，1。石瑞民數(shù)值計(jì)算中沒有給出三點(diǎn)高斯勒讓德公式，但給出了3、4、5點(diǎn)公式系數(shù)表。7、試確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式具有的代數(shù)精度：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。解：(1) 求積公式中有三個(gè)待定系數(shù)，故令求積公式對f(x)1，x，x2精確成立，即解之得 ，所以，數(shù)值求積公式為 ，而 ，所以上述積分公式具有3次代數(shù)精度（實(shí)際上這是拋物線公式）。(2) 求積公式中

5、有三個(gè)待定系數(shù)，故令求積公式對f(x)1，x，x2精確成立，即解之得 ，所以，數(shù)值求積公式為 ，而 ，所以上述積分公式具有3次代數(shù)精度。指出：由于本題的節(jié)點(diǎn)實(shí)際上僅分布在半個(gè)積分區(qū)間，因此積分精度低。(3)求積公式中有2個(gè)待定參數(shù)，需要列兩個(gè)方程組成的方程組。當(dāng)f(x)=1時(shí)，有 因此需令求積公式對f(x)x，x2精確成立，即化簡得解之得 或所以，數(shù)值求積公式為或?qū)Φ谝粋€(gè)積分公式，當(dāng)時(shí)，所以上述積分公式具有2次代數(shù)精度。指出：求出的是兩個(gè)積分公式，不能認(rèn)定兩個(gè)節(jié)點(diǎn)有大小順序規(guī)定而只取一個(gè)，實(shí)際上僅僅是兩個(gè)點(diǎn)必須是按求出的成對。(4)求積公式中僅含有一個(gè)待定參數(shù)c。令f(x)=1，有令f(x)=

6、x，有令時(shí)公式準(zhǔn)確成立，則則求積公式為將代入求積公式，有所以，求積公式具有2次代數(shù)精度。指出：可否認(rèn)為，或是否有必要認(rèn)為a和b是未知待定的？8、試構(gòu)造高斯型求積公式，使之對于均能成立。解：求積公式中有4個(gè)待定的未知數(shù)，故令求積公式對f(x)1，x，x2，x3精確成立，即從前兩式從解出（用矩陣方程形式）有對后兩式有故有化簡得令則上述方程組化為解之得，于是有故所求的積分公式為。指出：注意方程組的解法。，與相對應(yīng)（由前兩個(gè)方程決定）。方程組中是一次的，而且前兩個(gè)方程中也是0次、1次的，因此從前兩個(gè)方程中解出（用表示）代入后兩個(gè)方程中求就是比較容易想到的方法。而用矩陣格式簡化計(jì)算，用變量代換簡化方程則

7、是數(shù)學(xué)的技巧。9、利用下表求x=0.6處的一階導(dǎo)數(shù)。x0.40.50.60.70.8f(x)1.58364941.79744262.04423762.32750542.6510818指出：沒有限定方法，就可以用任何合適的方法?？捎弥悬c(diǎn)公式，只用0.5、0.7兩點(diǎn)函數(shù)值?？梢詷?gòu)造4階拉格朗日插值多項(xiàng)式?？梢杂萌螛訔l插值。可以用待定系數(shù)法構(gòu)造數(shù)值微分公式。補(bǔ)充題(一)1、用三種基本積分公式計(jì)算（四等分積分區(qū)間）。分析與解答1、解：將區(qū)間4等分，5個(gè)分點(diǎn)上的函數(shù)值為（取2位小數(shù)）x11.251.5y0.500.390.31x1.752y0.250.20（1）矩形法用矩形法公式計(jì)算（取2位小數(shù)）或者

8、(2)梯形法用梯形法公式計(jì)算（取2位小數(shù)）(3)拋物線法用拋物線法公式計(jì)算（取2位小數(shù)）補(bǔ)充題(二)1、試確定一個(gè)具有三次代數(shù)精度的公式。2、確定求積公式的代數(shù)精度。3、確定下列求積公式的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能地高。4、確定求積節(jié)點(diǎn)，使得求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度。5、確定下面求積公式中的參數(shù)，使得其代數(shù)精度盡量高，并指出求積公式所具有的代數(shù)精度。分析與解答1、解：分別取f(x)1，x，x2，x3，使求積公式準(zhǔn)確成立，則得下面的方程組。解之得A038，A198，A298，A338。由此得求積公式為當(dāng)將f(x)=x4，代入時(shí)，上式不能精確成立，故所得公式具有3次代數(shù)精度。2、解：取f(

9、x)=xk代入求積公式，得容易驗(yàn)證，R(x0)=R(x)=R(x2)=R(x3)=0，但是R(x4)=8450，所以求積公式的代數(shù)精度為3。（直接取f(x)1，x，x2，x3，x4驗(yàn)證也可）3、解：求積公式中有三個(gè)待定系數(shù)，故令求積公式對f(x)1，x，x2精確成立，得解之得A1=A1= 8h3 ，A0= 4h3 ，所以，數(shù)值求積公式為而所以上述積分公式具有3次代數(shù)精度（實(shí)際上這是拋物線公式）。4、解：顯然，解答本題需要確定三個(gè)參數(shù)h、x0、x1，那么，我們需要三個(gè)方程。令求積公式對f(x)1，x，x2精確成立，得解之得，所以求積公式為此求積公式具有3次代數(shù)精度，求積節(jié)點(diǎn)為 。(驗(yàn)證從略)。指出：第3題中h是作為已知量的，這樣得出的求積公式有更廣泛的應(yīng)用性。本題中，因?yàn)橛叶说膬蓚€(gè)積分系數(shù)都是1，當(dāng)f(x)=1時(shí)必然可以得出h=1，即使假設(shè)h已知也是一樣的。而當(dāng)假設(shè)h已知，僅要求求積公式對f(x)1，x精確成立時(shí)，因?yàn)楫?dāng)f(x)=1時(shí)決定了h的值，對求節(jié)點(diǎn)不起作用，不能