數(shù)列極限歸納法

1、上海文2.計(jì)算=23.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，（.將集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列（1）求三個(gè)最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列中的項(xiàng)，又是數(shù)列中的項(xiàng)；（2）數(shù)列中有多少項(xiàng)不是數(shù)列中的項(xiàng)？請說明理由；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.23、解： 三項(xiàng)分別為。 分別為 ， 。四川理8數(shù)列的首項(xiàng)為3，為等差數(shù)列且，若則，則（A）0 （B）3 （C）8 （D）11答案：B解析：為等差數(shù)列，由，及解得，故，即，故，相加得，故，選B11定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，設(shè)在上的最大值為，且的前項(xiàng)和為，則（A）3 （B） （C）2 （D）答案：D解析：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)

2、，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，選D20（本小題共12分）設(shè)d為非零實(shí)數(shù)，（）（）寫出a1，a2,，a3并判斷an是否為等比數(shù)列若是，給出證明；若不是，說明理由；（）設(shè)bn=ndan（），求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn本小題考查等比數(shù)列和組合數(shù)的基礎(chǔ)知識以及基本的運(yùn)算能力，分析問題、解決問題的能力和化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想解：（）由已知可得，當(dāng)，時(shí)，因此由此可見，當(dāng)時(shí)，故an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，（），an不是等比數(shù)列（）由（）可知，從而，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩邊同乘以得，式相減可得：化簡即得綜上，四川文9數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，an+1 =3Sn（n 1），則a6=（A）3 × 4

3、4 （B）3 × 44+1 （C）44 （D）44+1答案：A解析：由an+1 =3Sn，得an =3Sn1（n 2），相減得an+1an =3(SnSn1)= 3an，則an+1=4an（n 2），a1=1，a2=3，則a6= a2·44=3×44，選A20（本小題共12分）已知是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，為它的前n項(xiàng)和（）當(dāng)、成等差數(shù)列時(shí)，求q的值；（）當(dāng)、成等差數(shù)列時(shí)，求證：對任意自然數(shù)k，、也成等差數(shù)列本小題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識以及基本運(yùn)算能力和分析問題、解決問題的能力解：（）由已知，因此，當(dāng)、成等差數(shù)列時(shí)，可得化簡得解得（）若，則的每項(xiàng)

4、，此時(shí)、顯然成等差數(shù)列若，由、成等差數(shù)列可得，即整理得因此，所以，、也成等差數(shù)列天津理6已知是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，且則的前項(xiàng)和為（）或或【解】設(shè)數(shù)列的公比為，由可知于是又，于是，即，因?yàn)?，則數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則前項(xiàng)和故選22（本小題滿分分）在數(shù)列中，且對任意，成等差數(shù)列，其公差為（）若，證明成等比數(shù)列；（）若對任意，成等比數(shù)列，其公比為() 設(shè),證明是等差數(shù)列;() 若,證明.【解】（）解法1由題設(shè)可得，所以因?yàn)?，所以從而由成等差?shù)列，其公差為得于是因此，所以，于是當(dāng)時(shí)，對任意， 成等比數(shù)列解法2用數(shù)學(xué)歸納法(1) 當(dāng)時(shí)，因?yàn)槌晒顬榈牡炔顢?shù)列，及，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)槌晒顬榈牡炔顢?shù)列

5、，及，則由，所以成等比數(shù)列所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；(2) 假設(shè)對于結(jié)論成立，即成公差為等差數(shù)列，成等比數(shù)列，設(shè)，則，又由題設(shè)成公差為等差數(shù)列，則，因此，解得于是，再由題設(shè)成公差為等差數(shù)列，及，則因?yàn)椋?，于是成等比?shù)列于是對結(jié)論成立，由(1)，(2)，對對任意,結(jié)論成立（）()證法1由成等差數(shù)列，成等比數(shù)列,則 ,即因?yàn)?可知,從而，即，所以是等差數(shù)列，且公差為證法2由題設(shè),所以.因?yàn)?可知,于是所以是等差數(shù)列，且公差為() 證法1由（）得解法1和解法2均可得從而，因此，(1) 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)若，則，滿足；若，則所以，所以，(2) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)所以，所以，由(1)，(2)可知，對任意，證法2由

6、（）得解法1和解法2均可得從而所以，由，可得于是由（）知，以下同證法天津文15設(shè)是等比數(shù)列，公比，為的前項(xiàng)和記，設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則【解】設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)，取得最小值，所以在時(shí)取得最大值此時(shí)，解得即為數(shù)列的最大項(xiàng)，則22（本小題滿分分）在數(shù)列中，且對任意，成等差數(shù)列，其公差為（）證明成等比數(shù)列；（）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（）記證明【解】（）由題設(shè)可知， ，所以因此成等比數(shù)列（）由題設(shè)可得，所以=因?yàn)?，所以從而由成等差?shù)列，其公差為得所以，數(shù)列 的通項(xiàng)公式為（或（）由（）可知，下面對分為奇數(shù)和偶數(shù)討論(1) 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)若，則，滿足；若，則所以，所以，(2) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)所以，所以，由(1

7、)，(2)可知，對任意，浙江理19（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足：且（）（）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：（）。19（本小題滿分14分）（）由題得：an+1（an+n）=2（n+1）an ， 即故 即數(shù)列為等比數(shù)列， 3分， 7分（）由上知 8分。浙江文（17）若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第項(xiàng)，則=_。4（19）（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且，成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）對，試比較與的大?。?9）本題主要考查等差、等比數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的求和公式等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力。滿分14分。（）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知即，從而因?yàn)?故通項(xiàng)公式（）解：記所以從而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)重慶理（3）已知，則 D（A） (B) 2 (C) 3 (D) 6（11）在等差數(shù)列中，則_ 74（21）（本小題滿分12分，（）小問5分，（）小問7分）設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足（）若成等比數(shù)列，求和；（）求證：對有解：（）由題意，因?yàn)樗?；由；（）易見，所以；從而時(shí)有：因?yàn)?，且，所以；要證，只要證，即證此式顯然成立，所以時(shí)有。最后證，若不然，又，故即，矛盾，所以（）。重