數(shù)學2015高考試題分類匯編文科立體幾何答案版

1、 2015全國高考數(shù)學試題匯編文科立體幾何（答案分析版）2015安徽卷 一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A48B328C488D80C【解析】 由三視圖可知本題所給的是一個底面為等腰梯形的放倒的直四棱柱(如圖所示)，所以該直四棱柱的表面積為S2(24)4442424488. 2015北京卷 某四棱錐的三視圖如圖11所示，該四棱錐的表面積是()A32B1616C48D1632B【解析】 由題意可知，該四棱錐是一個底面邊長為4，高為2的正四棱錐，所以其表面積為444421616，故選B.2015廣東卷 如圖，某幾何體的正視圖(主視圖)，側視圖(左視圖)和俯視圖分別是等邊三角

2、形，等腰三角形和菱形，則該幾何體體積為()A4B4C2D2C【解析】 由三視圖知該幾何體為四棱錐，棱錐高h3，底面為菱形，對角線長分別為2，2，所以底面積為222，所以VSh232.2015湖南卷 設圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A942B3618C.12D.18D【解析】 由三視圖可得這個幾何體是由上面是一個直徑為3的球，下面是一個長、寬都為3高為2的長方體所構成的幾何體，則其體積為： VV1V2333218，故選D.2015遼寧卷 一個正三棱柱的側棱長和底面邊長相等，體積為2，它的三視圖中的俯視圖如圖13所示，左視圖是一個矩形，則這個矩形的面積是()A4B2C2D.B【解析】

3、 由俯視圖知該正三棱柱的直觀圖為下圖，其中M，N是中點，矩形MNC1C為左視圖由于體積為2，所以設棱長為a，則a2sin60a2，解得a2.所以CM，故矩形MNC1C面積為2，故選B. 2015課標全國卷 在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應的側視圖可以為() 圖12D【解析】 由正視圖和俯視圖知幾何體的直觀圖是由一個半圓錐和一個三棱錐組合而成的，如圖，故側視圖選D.2015陜西卷 某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為()A8B8C82D.A【解析】 主視圖與左視圖一樣是邊長為2的正方形，里面有兩條虛線，俯視圖是邊長為2的正方形與直徑為2的圓相切，其直觀圖為棱長為2的正方體

4、中挖掉一個底面直徑為2的圓錐，故其體積為正方體的體積與圓錐的體積之差，V正238，V錐r2h(r1，h2)，故體積V8，故答案為A.2015天津卷 一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_ m3.4【解析】 根據(jù)三視圖還原成直觀圖，可以看出，其是由兩個形狀一樣的，底面長和寬都為1，高為2的長方體疊加而成，故其體積V2111124.22015浙江卷 若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是()2015福建卷 如圖13，正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_【解析】 EF平面AB1C，E

5、F平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，EFAC，又E是AD的中點，F(xiàn)是CD的中點，即EF是ACD的中位線，EFAC2.2015浙江卷 若直線l不平行于平面，且l，則()A內的所有直線與l異面B內不存在與l平行的直線C內存在唯一的直線與l平行D內的直線與l都相交B【解析】 在內存在直線與l相交，所以A不正確；若內存在直線與l平行，又l，則有l(wèi)，與題設相矛盾，B正確，C不正確；在內不過l與交點的直線與l異面，D不正確2015廣東卷 正五棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱柱對角線的條數(shù)共有()A20 B15 C12 D10D【解析】 一個下底面

6、5個點，每個下底面的點對于5個上底面的點，滿足條件的對角線有2條，所以共有5210條 2015四川卷 l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點l1，l2，l3共面B【解析】 對于A，直線l1與l3可能異面；對于C，直線l1、l2、l3可能構成三棱柱三條側棱所在直線而不共面；對于D，直線l1、l2、l3相交于同一個點時不一定共面. 所以選B. 2015湖北卷 設球的體積為V1，它的內接正方體的體積為V2，下列說法中最合適的是()AV1比V2大約多一半BV1比V2大約

7、多兩倍半CV1比V2大約多一倍DV1比V2大約多一倍半D【解析】 設球的半徑為R，則V1R3.設正方體的邊長為a，則V2a3.又因為2Ra，所以V13a3，V1V2a31.7a3. 2015遼寧卷 已知球的直徑SC4，A、B是該球球面上的兩點，AB2，ASCBSC45，則棱錐SABC的體積為()A. B. C. D.C【解析】 如圖16，由于SC是球的直徑，所以SACSBC90，又ASCBSC45，所以SAC、BSC為等腰直角三角形，取SC中點D，連接AD、BD.由此得SCAD，SCBD，即SC平面ABD.所以VSABCVSABDVCABDSABDSC.由于在等腰直角三角形SAC中ASC45，

8、SC4，所以AD2.同理BD2.又AB2，所以ABD為正三角形，所以VSABCSABDSC22sin604，所以選C. 2015課標全國卷 已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，若圓錐底面面積是這個球面面積的，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為_ 【解析】 如圖，設球的半徑為R，圓錐底面半徑為r，則球面面積為4R2，圓錐底面面積為r2，由題意r2R2，所以rR，所以OO1R，所以SO1RRR，S1O1RRR，所以. 2015四川卷 如圖13，半徑為4的球O中有一內接圓柱當圓柱的側面積最大時，球的表面積與該圓柱的側面積之差是_圖13大綱文數(shù)15.

9、G832【解析】 本題主要考查球的性質、球與圓柱的組合體、均值不等式的應用如圖14為軸截面，令圓柱的高為h，底面半徑為r，側面積為S，球半徑R4，則2r2R2，即h2.因為S2rh4r442R2，取等號時，內接圓柱底面半徑為 R，高為R，S球S圓柱4R22R22R232.2015全國卷 已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為_ 【解析】 取A1B1的中點F，連EF，則EFBC，AEF是異面直線AE與BC所成的角，設正方體的棱長為a，可得AEa，AFa，在AEF中，運用余弦定理得cosAEF，即異面直線AE與BC所成角的余弦值為.2015安

10、徽卷 如圖14，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA1，OD2，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形(1)證明直線BCEF；(2)求棱錐FOBED的體積圖14【解答】 (1)證明：設G是線段DA與EB延長線的交點，由于OAB與ODE都是正三角形，OA1，OD2，所以OB綊DE，OGOD2.同理，設G是線段DA與FC延長線的交點，有OC綊DF，OGOD2，又由于G和G都在線段DA的延長線上，所以G與G重合在GED和GFD中，由OB 綊DE和OC綊DF，可知B和C分別是GE和GF的中點所以BC是GEF的中位線，故BCEF.(2)由OB1，OE2，EOB

11、60，知SEOB.而OED是邊長為2的正三角形，故SOED.所以SOBEDSEOBSOED.過點F作FQDG，交DG于點Q，由平面ABED平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐FOBED的高，且FQ，所以VFOBEDFQS四邊形OBED.2015北京卷 圖14如圖14，在四面體PABC中，PCAB，PABC，點D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(1)求證：DE平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形；(3)是否存在點Q，到四面體PABC六條棱的中點的距離相等？說明理由課標文數(shù)17.G42015北京卷 【解答】 (1)證明：因為D，E分別為AP，AC的中點，圖15所以DEPC.又因為

12、DE平面BCP，PC平面BCP，所以DE平面BCP.(2)因為D、E、F、G分別為AP、AC、BC、PB的中點，所以DEPCFG，DGABEF，所以四邊形DEFG為平行四邊形又因為PCAB，所以DEDG，所以平行四邊形DEFG為矩形(3)存在點Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，設Q為EG的中點由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG.分別取PC、AB的中點M，N，連接ME、EN、NG、MG、MN.與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點為EG的中點Q，且QMQNEG.所以Q為滿足條件的點 2015江蘇卷 如圖12，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，B

13、AD60，E、F分別是AP、AD的中點圖12求證：(1)直線EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.課標數(shù)學16.G4，G52015江蘇卷 本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查空間想象能力和推理論證能力【解答】 證明：(1)在PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EFPD.又因為EF平面PCD，PD平面PCD，圖13所以直線EF平面PCD.(2)連結BD，因為ABAD，BAD60，所以ABD為正三角形，因為F是AD的中點，所以BFAD.因為平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因為BF平面BEF，所以平面BEF平

14、面PAD.圖16圖1812015課標全國卷 如圖18，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)證明：PABD；(2)設PDAD1，求棱錐DPBC的高課標文數(shù)18.G5，G112015課標全國卷 【解答】 (1)證明：因為DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD，從而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD，故PABD.(2)如圖，作DEPB，垂足為E.已知PD底面ABCD，則PDBC.由(1)知BDAD，又BCAD，所以BCBD.圖19故BC平面PBD，BCDE.則DE平面PBC.由題設知PD

15、1，則BD，PB2.根據(jù)DEPBPDBD得DE.即棱錐DPBC的高為. 2015陜西卷 如圖18，在ABC中，ABC45，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)證明：平面ADB平面BDC；(2)若BD1，求三棱錐DABC的表面積圖18課標文數(shù)16.G52015陜西卷 【解答】 (1)折起前AD是BC邊上的高，當ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD.AD平面BDC.AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由(1)知，DADB，DBDC，DCDA，DBDADC1.ABBCCA.從而SDABSDBCSDCA11.SABCsin60.表面積S3.2015江

16、蘇卷 如圖12，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E、F分別是AP、AD的中點圖12求證：(1)直線EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.課標數(shù)學16.G4，G52015江蘇卷 本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查空間想象能力和推理論證能力【解答】 證明：(1)在PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EFPD.又因為EF平面PCD，PD平面PCD，圖13所以直線EF平面PCD.(2)連結BD，因為ABAD，BAD60，所以ABD為正三角形，因為F是AD的中點，所以BFAD.因為平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平

17、面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因為BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD. 2015遼寧卷 如圖18，四邊形ABCD為正方形，圖18QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)證明：PQ平面DCQ；(2)求棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值課標文數(shù)18.G72015遼寧卷 【解答】 (1)由條件知PDAQ為直角梯形因為QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，則PQQD.所以PQ平面DCQ.(2)設ABa.由題設知AQ為棱錐QABCD的高，所

18、以棱錐QABCD的體積V1a3.由(1)知PQ為棱錐PDCQ的高，而PQa，DCQ的面積為a2，所以棱錐PDCQ的體積V2a3.故棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值為1.圖1612015湖南卷 如圖15，在圓錐PO中，已知PO，O的直徑AB2，點C在上，且CAB30，D為AC的中點(1)證明：AC平面POD；(2)求直線OC和平面PAC所成角的正弦值圖15課標文數(shù)19.G5，G112015湖南卷 【解答】 (1)因為OAOC，D是AC的中點，所以ACOD.又PO底面O，AC底面O，所以ACPO.而OD，PO是平面POD內的兩條相交直線，所以AC平面POD.(2)由(1)知，AC平面

19、POD，又AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.在平面POD中，過O作OHPD于H，則OH平面PAC.圖16連結CH，則CH是OC在平面PAC上的射影，所以OCH是直線OC和平面PAC所成的角在RtODA中，ODOAsin30.在RtPOD中，OH.在RtOHC中，sinOCH.故直線OC和平面PAC所成角的正弦值為.圖17 2015浙江卷 如圖17，在三棱錐PABC中，ABAC，D為BC的中點，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上(1)證明：APBC；(2)已知BC8，PO4，AO3，OD2，求二面角BAPC的大小課標文數(shù)20.G112015浙江卷 【解答】 (1)證明：由ABAC，D是

20、BC中點，得ADBC，又PO平面ABC，得POBC，因為POADO，所以BC平面PAD，故BCAP.(2)如圖，在平面APB內作BMPA于M，連CM.因為BCPA，得PA平面BMC，所以APCM.故BMC為二面角BAPC的平面角在RtADB中，AB2AD2BD241，得AB.在RtPOD中，PD2PO2OD2，在RtPDB中，PB2PD2BD2，所以PB2PO2OD2BD236，得PB6.在RtPOA中，PA2AO2OP225，得PA5.又cos BPA，從而sinBPA.故BMPBsinBPA4.同理CM4.因為BM2MC2BC2，所以BMC90，即二面角BAPC的大小為90.圖15 201

21、5福建卷 如圖15，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點E在線段AD上，且CEAB.(1)求證：CE平面PAD；(2)若PAAB1，AD3，CD，CDA45，求四棱錐PABCD的體積課標文數(shù)20.G122015福建卷 【解答】 (1)證明：因為PA平面ABCD，CE平面ABCD，圖16所以PACE.因為ABAD，CEAB，所以CEAD.又PAADA，所以CE平面PAD.(2)由(1)可知CEAD.在RtECD中，DECDcos451，CECDsin451.又因為ABCE1，ABCE，所以四邊形ABCE為矩形所以S四邊形ABCDS矩形ABCESECDABAECEDE1211.又PA

22、平面ABCD，PA1，所以V四棱錐PABCDS四邊形ABCDPA1.22015江西卷 如圖17，在ABC中，B，ABBC2，P為AB邊上一動點，PDBC交AC于點D，現(xiàn)將PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD.(1)當棱錐APBCD的體積最大時，求PA的長；(2)若點P為AB的中點，E為AC的中點，求證：ABDE.圖17課標文數(shù)18.G122015江西卷 【解答】 (1)令PAx(0x0，f(x)單調遞增；當x時，f(x)0，f(x)單調遞減，所以，當x時，f(x)取得最大值，即：當VAPBCD最大時，PA.(2)證明：設F為AB的中點，連接PF，F(xiàn)E.則有EF綊BC，PD綊BC，

23、所以EF綊PD，四邊形DEFP為平行四邊形，所以DEPF，又APPB，所以PFAB，故DEAB. 2015山東卷 如圖15，在四棱臺ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)證明：AA1BD；(2)證明：CC1平面A1BD.圖15課標文數(shù)19.G122015山東卷 【解答】 證明：(1)證法一：因為D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，圖16所以D1DBD.又因為AB2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcos603AD2.所以AD2BD2AB2，所以ADBD.又ADD1DD，所以B

24、D平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.證法二：因為D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，圖17所以BDD1D.取AB的中點G，連接DG.在ABD中，由AB2AD得AGAD，又BAD60，所以ADG為等邊三角形因此GDGB.故DBGGDB，又AGD60，所以GDB30，故ADBADGGDB603090，所以BDAD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1，又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.(2)連接AC，A1C1.圖18設ACBDE，連接EA1.因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以ECAC，由棱臺定義及AB2AD2A1B1知，A1C1EC且A1C1EC，所以四

25、邊形A1ECC1為平行四邊形因此CC1EA1，又因為EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD. 2015四川卷 如圖15，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11，延長A1C1至點P，使C1PA1C1，連結AP交棱CC1于點D.(1)求證：PB1平面BDA1；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值圖15 2015四川卷 【解答】 解法一：(1)連結AB1與BA1交于點O，連結OD.C1DAA1，A1C1C1P，ADPD，又AOB1O，ODPB1.圖16又OD平面BDA1，PB1平面BDA1，PB1平面BDA1.(2)過A作AEDA1于點E，連結BE.BACA，BAAA1，且AA1ACA，BA平面AA1C1C.由三垂線定理可知BEDA1.BEA為二面角AA1DB的平面角在RtA1C1D中，A1D，又SAA1D11AE，AE.在RtBAE中，BE，cosBEA.故二面角AA1DB的平面角的余弦值為. 2015天津卷 如圖17，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，ADC45，ADAC1，O為AC的中點，PO平面ABCD，PO2，M為PD的中點(1)證明PB平面ACM；(2)證明AD平面PAC；(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值圖17課標文數(shù)17.G122015天津卷 圖18【解