排列組合的常見題型及其解法good

1、排列、組合問題，在高考中所占比重不大，但試題都具有一定的靈活性、機(jī)敏性和綜合性，在“倡導(dǎo)創(chuàng)新體系，提高素質(zhì)教育”的今天，該類試題是最好的體現(xiàn)，由于有些問題比較抽象，且題型繁多，解法獨(dú)特，再加上限制條件，容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。本文就排列、組合問題的常見題型的求解方法加以歸納，供大家參考。 1、特殊元素優(yōu)先法： 對(duì)于含有限定條件的排列、組合問題，一般應(yīng)先考慮特殊元素，再考慮其它元素。 例1，用0、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少個(gè)？ 解析因組成的三位數(shù)為偶數(shù)，末尾的數(shù)字必須是偶數(shù)，又0不能排在首位，故0是其中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先安排。

2、當(dāng)0排在末尾時(shí)，有 個(gè)；當(dāng)0不排在末尾時(shí)，有 個(gè)，根據(jù)分類記數(shù)原理，其中偶數(shù)共有 個(gè)。 例2，1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照相留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法多少種。解析優(yōu)先考慮對(duì)特殊元素（老師）的排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個(gè)位置上來排，有 種。剩下的位置由4名學(xué)生全排列，有 種。因此共有 種不同的排法。 2、相鄰問題捆綁法： 對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”在一起看作一個(gè)元素與其它元素進(jìn)行排列，然后再對(duì)這幾個(gè)元素進(jìn)行全排列。 例3，5名學(xué)生和3名老師站成一排照相，3名老師必須站在一起的不同排法共有 種。解析

3、將3名老師捆綁起來看成一個(gè)元素，與5名學(xué)生排列，有 種排法；而3名老師之間又有 種排法，故滿足條件的排法共有 種。 例4，計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中一幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有多少種？ 解析把每種畫捆綁在一起，看成一個(gè)整體，又水彩畫較特殊，應(yīng)優(yōu)先安排。水彩畫放中間，油畫和國畫放兩端有 種排法。再考慮油畫和國畫本身可全排列，故排列方法共有 種。 3、不相鄰問題插空法： 對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰的排列問題，可先將余下的元素進(jìn)行排列，然后在這些元素形成的空隙中將不相鄰的

4、元素進(jìn)行排列。例5，有10個(gè)學(xué)生，其中4人中任意兩個(gè)不能站在一起，有多少種排列次序？解析先將其余6人進(jìn)行排列，有 種；再把不相鄰的4人分別排在前6人形成的7個(gè)空隙中，有 種。所以共有 種排列次序。例6，有4名男生，3名女生站成一排，任何兩名女生彼此不相鄰，有多少不同的排法？解析由于要求女生不相鄰，應(yīng)先排男生，有 種；然后在男生形成的5個(gè)空隙中分別安排3名女生，有 種，所以共有 種。 4、正難問題排除法： 對(duì)某些排列組合問題，當(dāng)從正面入手情況復(fù)雜，不易解決時(shí)，可考慮從反面入手，將其等價(jià)轉(zhuǎn)換為一個(gè)較簡單的問題來處理。 例7，從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)

5、，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有 A、 140種 B、120種 C、 35種 D、 34種解析先不考慮附加條件，從7名學(xué)生中選出4名共有 種選法，其中不符合條件的是選出的4人都是男生，即 種。所以符合條件的選法是 種，故選D。 例8，四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有 A、 150種 B、147種 C、 144種 D、 141種解析首先只要考慮從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)的取法，有 種，然后再取掉“共面”的情況：其中一個(gè)面內(nèi)的6個(gè)點(diǎn)中任意4點(diǎn)都共面，任取4點(diǎn)有 種；又每條棱與相對(duì)棱的中點(diǎn)共有6種；各棱的中點(diǎn)中4點(diǎn)

6、共面的有3種。 故10個(gè)點(diǎn)中4點(diǎn)不共面的取法，共有 種。故選D項(xiàng)。 5，多元問題合理分類與準(zhǔn)確分步： 對(duì)于約束條件較多的排列組合問題，可能的情況也較多，可根據(jù)結(jié)果要求，按元素性質(zhì)進(jìn)行分類，按時(shí)間發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確、分布層次清楚，不重不漏的原則。例9，如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？ 解析區(qū)域1與其它4個(gè)區(qū)域相鄰，而其它器每個(gè)區(qū)域都與3個(gè)區(qū)域相鄰，因此可以涂3種或4種顏色。涂3種顏色有 種方法；涂4種顏色有 種方法。 因此共有24+48=72種不

7、同的著色方法。 例10，平面上4條平行直線與另5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有 個(gè) 解析按構(gòu)成矩形的過程可分為如下兩步：第一步，先在4條平行直線中取兩條，有 種；第二步，再在5條平行線中取兩條，有 種，這樣取出的4條直線構(gòu)成一個(gè)矩形。根據(jù)乘法原理，構(gòu)成的矩形共有 個(gè)。 6，定序問題除法： 對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)數(shù)的全排列數(shù)。 例11，由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)的共有 A、 210種 B、300種 C、 46

8、4種 D、 600種解析：若不考慮附加條件，組成的六位數(shù)共有 個(gè)，而其中個(gè)位數(shù)與十位數(shù)的 種排法中只有一種符合要求，故符合要求的六位數(shù)共有 個(gè)，故選B項(xiàng)。若將題干中條件改為“個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)且千位小于百位”則應(yīng)為 種。再例：有1、2、3，.，9九個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字的5位數(shù)？ 解析：思路一：19，組成5位數(shù)有。假設(shè)后三位元素是（A和B和C，不分次序，ABC任?。r(shí)（其中B>C>A）,則這三位是排定的。假設(shè)B、C、A這個(gè)順序，五位數(shù)有X種排法，那么其它的-1個(gè)順序，都有X種排法。則X*(-1+1)= ,即X= / . 思路二：

9、分步。第一步，選前兩位，有種可能性。第二步，選后三位。因?yàn)楹笕恢灰獢?shù)字選定，就只有一種排序，選定方式有種。即后三位有C3/7種可能性。則答案為* . 7，大小排列問題字典法： 對(duì)于數(shù)的大小順序排列問題，可以采用“查字典”的方法，逐位依次確定。 例12，在由數(shù)字1、2、3、4、5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43512的數(shù)共有A、 56種 B、57種 C、58種 D、 60種 解析從高位向低位依次考慮，分3類： 當(dāng)首位是2時(shí)，若千位是4、5，則有 個(gè)；若千位是3，百位是4、5，則有 個(gè)；若千位是3，百位是1，則只有一個(gè)數(shù)即2315

10、4，故當(dāng)首位是2時(shí)，共有12+4+1=17個(gè)。 當(dāng)首位是3時(shí)，有 個(gè)。 當(dāng)首位是4時(shí)，若千位是1、2，則有 個(gè)；若千位是3，百位是1、2，則有 個(gè)；若千位是3，百位是5，則只有一個(gè)數(shù)即43512，故當(dāng)首位是4時(shí)，共有12+4+1=17個(gè)數(shù)。因此滿足題意的數(shù)共有17+24+17=58個(gè)。故選C項(xiàng)。 例13，用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若按從小到大排列，3204是第幾個(gè)數(shù)？ 解析 從高位向低位依次考慮，分3類：當(dāng)千位是1、2時(shí)，有 個(gè)。當(dāng)千位是3時(shí)，若百位排0、1，有 個(gè)；若百位排2時(shí)，比3204小的僅有3201一個(gè)。 故比4

11、304小的四位數(shù)共有48+12+1=61個(gè)，所以3204是第62個(gè)。 8，名額分配問題隔板法： 對(duì)某些復(fù)雜的排列問題，可通過構(gòu)造相應(yīng)的模型來處理。例14，某校準(zhǔn)備組建一個(gè)18人的足球隊(duì)，這18人由高一年級(jí)10個(gè)班的學(xué)生組成，每個(gè)班級(jí)至少一人，名額分配方案共有多少種？ 解析處理次類問題一般構(gòu)造一個(gè)隔板模型。取18枚棋子排成一列，在相鄰的每兩枚棋子形成的17個(gè)空隙中選取9個(gè)插入隔板，將18個(gè)棋子分隔成10個(gè)部分，第i（1i10）個(gè)部分的棋子數(shù)對(duì)應(yīng)第i個(gè)班級(jí)學(xué)生的名額，因此分配方案的種數(shù)與隔板的插入種數(shù)相等，即為 種。例15，某校準(zhǔn)備組建一個(gè)18人的足球隊(duì)，這18人由高

12、一年級(jí)10個(gè)班的學(xué)生組成，其中有些班級(jí)可能選不上，每班人數(shù)都在18人以上，名額分配方案共有多少種？ 解析同樣是名額分配問題，但與前面問題有所不同，由于名額可空，即同一空隙中可插多個(gè)隔板，前面模型不再適用，應(yīng)另建模型。 取18枚棋子排成一列需要18個(gè)位置，分10部分需要9個(gè)隔板，每個(gè)隔板占用一個(gè)位置，共需18+9=27個(gè)位置?，F(xiàn)在在這27個(gè)位置上安排9個(gè)隔板，把27個(gè)位置分成10部分。當(dāng)兩個(gè)隔板相鄰時(shí)，表示這兩個(gè)位置之間沒有棋子，即此班沒有名額。因此，分配方案的種數(shù)與隔板的插入種數(shù)相等，即為 種。 9，混合問題先選后排法： 對(duì)于排列、組合的混合問題，可采取

13、先選取元素，再進(jìn)行排列的策略。 例16，某校高二年級(jí)共有6個(gè)班，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的2個(gè)班且每班安排2人，則不同的安排方案種數(shù)為A、 B、 C、 D、  解析先將4名學(xué)生平均分成兩組（屬平均分組），有 = 種分法；再將這兩組學(xué)生安排到該年級(jí)6個(gè)班中的兩個(gè)班有 種。所以不同的安排方法有 ，故選B項(xiàng)。 10，復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換法： 對(duì)于有些較為復(fù)雜的排列、組合問題，若不能用以上方法解決，可以采取等價(jià)轉(zhuǎn)換的方法，轉(zhuǎn)化為其它問題然后解決。 例17，從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)作三角形，其中直角三角形的個(gè)數(shù)為 A、56 B、52

14、C、 48 D、 40 解析首先考慮到任意一個(gè)矩形可得到四個(gè)直角三角形，于是問題轉(zhuǎn)化為先求出所有可能的矩形。分為兩類：表面上的矩形有6個(gè)；對(duì)角面有6個(gè)，因此所有可能的矩形有6+6=12個(gè)，相應(yīng)的直角三角形共有4 12=48個(gè)。故選C項(xiàng)。 例18，一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球，從中任取4個(gè)球，若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取5個(gè)球，使總分不小于7的取法有多少種？ 解析設(shè)紅球取x個(gè)，白球取5-x個(gè)，依題設(shè)有2x+(5-x)7。其中xN, 且 。解得 2、3、4，對(duì)應(yīng) 3、2、1。故取法種數(shù)為 =186種。數(shù)學(xué)運(yùn)算題型之排列、組合、二項(xiàng)式定理

15、·排列組合應(yīng)用問題  （第一講）目標(biāo)1掌握有關(guān)排列組合問題的基本解法，提高分析問題與解決問題的能力2通過對(duì)典型錯(cuò)誤的剖析，學(xué)生克服解題中的“重復(fù)”與“遺漏”等常見錯(cuò)誤培養(yǎng)思維的深刻性與批判性品質(zhì)重點(diǎn)與難點(diǎn)有條件限制的排列組合應(yīng)用問題排列數(shù)公式：組合數(shù)公式（一）有條件限制的排列問題例15個(gè)不同的元素a，b，c，d，e每次取全排列（1）a，e必須排在首位或末位，有多少種排法？（2）a，e既不在首位也不在末位，有多少種排法？（3）a，e排在一起有多少種排法？（4）a，e不相鄰有多少種排法？（5）a在e的左邊（可不相鄰）有多少種排法？（教師出題后向?qū)W生提出要求；開動(dòng)腦筋，積極思維，

16、暢所欲言，鼓勵(lì)提出不同解法，包括錯(cuò)誤的解法）師：請(qǐng)同學(xué)回答（1）并說出解題思路師：很好！問題（1）是排列問題中某幾個(gè)元素必須“在”某些位置的問題處理這類問題的原則是：有條件限制的元素或位置優(yōu)先考慮師：請(qǐng)同學(xué)回答（2），并說出解題思路師：在上面解題過程中，很好的運(yùn)用了有條件限制的位置優(yōu)先的原則，這種解法是直接法還有其他方法嗎？分別在排頭、排尾的4種情況大家討論研究這時(shí)學(xué)生的思維活躍起來生丙：前一種解法對(duì)，后一種解法排列數(shù)少了師：遺漏在什么地方呢？減去a排頭，即a××××；減去a排尾，即××××a；減去e排頭，即 e&

17、#215;×××；減去e排尾，即××××e具體一排可以看出，在這四種情況中，a排頭e排尾，e排頭a排尾各多減了一次學(xué)生明白了思維上的錯(cuò)誤，教師提出能否把上面錯(cuò)誤的解法改造成正確的解法呢？由分析思維上的錯(cuò)誤得到正確的認(rèn)識(shí)，學(xué)生十分高興但認(rèn)識(shí)并沒有完結(jié)師：由上面的分析對(duì)我們有什么啟發(fā)？生丁：在解題過程中具體排一排使我們想的更清楚師：好！“具體排”是一個(gè)好方法這是抽象轉(zhuǎn)化為具體的一種思維方法師：請(qǐng)同學(xué)回答問題（3），并說出解題思路解題思路是：a，e排在一起，可將a，e看成一個(gè)整體，作為1師：好！排在一起的元素用“粘合法”看作一個(gè)元

18、素師：請(qǐng)同學(xué)回答問題（4），并說出解題思路解題思路是：用5個(gè)元素的全排列數(shù)減去a，e排在一起的，就是a，e不相鄰的師：這是間接法，還有其他方法嗎？e不相鄰，可將a，e排在上述3個(gè)元素排定后形成的4個(gè)空檔中，排法師：這是一個(gè)很好的設(shè)計(jì)“插空檔”的方法對(duì)解決排列問題中某幾個(gè)元素不相鄰的問題有普遍性這也是解決這類問題的通法，對(duì)多個(gè)元素不相鄰的問題，第一種解法（間接法）容易產(chǎn)生“重復(fù)”或“遺漏”師：請(qǐng)同學(xué)回答問題（5），并說出解題思路師：為什么要除以2生：要求a在e的左邊（可不相鄰）即a，e有序，而a，e間的排列數(shù)有2種，所以要除以2師：問題變換為3個(gè)元素按一定順序呢？教師小結(jié)：排列應(yīng)用題是實(shí)際問題的

19、一種，解應(yīng)用問題的指導(dǎo)思想，弄清題意、聯(lián)系實(shí)際、合理設(shè)計(jì)調(diào)動(dòng)相關(guān)的知識(shí)和方法是合理設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)例1是排列的典型問題，解題方法可借鑒排列問題思考起來比較抽象，“具體排”是一種把抽象轉(zhuǎn)化具體的好方法例2  同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有（）（A）6種（B）9種（C）11種（D）23種先讓學(xué)生獨(dú)立作，教師巡視，然后歸納不同的解法解法1：列舉法（具體排、填方格）設(shè)4人為A，B，C，D，他們自己所寫的賀卡分別為a，b，c，d，滿足條件的分配方式列舉如下：因此，共有3×3=9種不同的分配方式，故選B解法2：直接法分兩步

20、完成，第一步讓A先拿，他可拿b，c，d中的任意一張，有3種方法；假定A拿b，第二步就讓B拿，他可拿a，c，d中任意1張，也有3種方法一旦B拿定了，假定B拿a，那么C，D兩人的拿法也就隨之確定了，只能C拿d且D拿c這1種方法根據(jù)乘法原理，共有3×3=9種不同的分配方式，故選B解法3：間接法先不考慮限制條件，即也允許拿自己送的賀年卡，不同的分配方式4人都拿自己送出的賀卡的分配方式只有1種；所以，4個(gè)人都不拿自己送出的賀卡的分配方式共有教師小結(jié)：在巡視過程中，我觀察許多同學(xué)解排列組合應(yīng)用題的思考慮到本題給的數(shù)字小，“具體排”問題不難解決（二）有條限制的組合問題例3  已知集合A=

21、1，2，3，4，5，6，7，8，9，求含有5個(gè)元素，且其中至少有兩個(gè)是偶數(shù)的子集的個(gè)數(shù)通過分析討論學(xué)生有以下解法解題思路是：從正面考慮分類，將含5個(gè)元素，且其中至少有兩個(gè)是偶數(shù)的子集分為三類：類：師：很好！這兩種解法都是正確的，直接法、間接法是兩類很重要的思考方法和解題方法生甲：我還有一種解法，現(xiàn)在看來是錯(cuò)誤的，但不知錯(cuò)在哪？師：這更需要我們一起研究請(qǐng)說說你的列式和解題思路解題思路是：先由4個(gè)偶數(shù)選2個(gè)偶數(shù)，再由剩下的7個(gè)數(shù)（2個(gè)偶數(shù)，5個(gè)奇數(shù)）選3個(gè)數(shù)，組成含有5個(gè)元素的集合且滿足至少有2師：錯(cuò)在哪？指出做題中的錯(cuò)誤比做對(duì)一道題更有價(jià)值的一種選法，組成集合2，4，6，1，3我們再看另一種3，

22、這是同一個(gè)集合，但在記數(shù)中卻記了2次，這就重復(fù)了師：分析的很好！看來“具體排”的方法很有用重復(fù)的原因是分類不獨(dú)立在使用加法原理時(shí)分類一定要遵循下列原則：設(shè)全集為I，把I分為A1，A2，An，n個(gè)子集，滿足以下兩條：A1，A2，A3，An任何兩個(gè)的交集為空集；A1A2A3An=I（三）排列組合混合問題例4  從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中，選出3名男同學(xué)和2名女同學(xué)分別承擔(dān)A，B，C，D，E5項(xiàng)工作，一共有多少種分配方案師：如何設(shè)計(jì)，請(qǐng)說出你的解法問題在哪？師：這是一個(gè)排列組合混合問題，解題的關(guān)鍵是要合理分步一般題不過還可以挽救另解：把工作當(dāng)元素，同學(xué)看作位子，第一步，從5種工作中任選3也

23、可先給女同學(xué)分配工作，再給男同學(xué)分配工作，分配方案有：小結(jié)  排列組合混合問題，解題思路是：在分步時(shí)通常先組合后排列例5  方程x1+x2+x3+x4=7的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是_師：這個(gè)方程問題和排列組合有什么關(guān)系呢？求方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，等式左邊會(huì)有4個(gè)未知數(shù)且次數(shù)是1次，右邊是7（數(shù)字較?。瑔栴}可轉(zhuǎn)化成把7分成4個(gè)正整數(shù)（允許取相同數(shù)字），x1，x2，x3，x4分別取這4個(gè)數(shù)字，請(qǐng)同學(xué)考慮如何列式生甲：將7拆成下面3組：分別將每組的4個(gè)數(shù)排在x1，x2，x3，x4這4個(gè)位置上，每個(gè)位師：這是用分類的方法處理問題，很好！還有其他的解法嗎？解題思路是：將7分成7個(gè)1（1是最小

24、的正整數(shù)單位），于是問題轉(zhuǎn)化為將它們分成4組，這可以看成用3條豎線插7個(gè)1中間的6個(gè)用下圖表示它的一種分割方法師：這是一道比較新穎的題目，解題中用到的都是基本知識(shí)和基本方法，但要通過分析、構(gòu)想、設(shè)計(jì)，調(diào)動(dòng)基本知識(shí)和基本方法解題第一種解法要有分類討論處理問題的意識(shí)，第二種解法是轉(zhuǎn)化成熟悉的插空檔問題（四）小結(jié)解排列組合應(yīng)用問題，首先要抓典型問題如例1是排列常見的典型問題，例3是組合問題，例4是排列組合混合問題通過典型問題掌握基本方法，這是解排列組合應(yīng)用問題首先要做到的排列組合應(yīng)用題與實(shí)際是緊密相連的，但思考起來又比較抽象“具體排”是抽象轉(zhuǎn)化為具體的橋梁，是解題的重要思考方法之一“具體排”可以幫助

25、思考，可以找出重復(fù)、遺漏的原因有同學(xué)總結(jié)解排列組合應(yīng)用題的方法是：“想透、排夠不重不漏，”是很有道理的解排列組合應(yīng)用題最重要的是，通過分析構(gòu)想設(shè)計(jì)合理的解題方案，在這里抽象與具體、直接法與間接法、全面分類與合理分步等思維方法和解題策略得到廣泛運(yùn)用（五）作業(yè)1設(shè)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球，每次取出4個(gè)球，取1個(gè)紅球記2分，取1個(gè)白球記1分，使得總分不大于5分的取球方法數(shù)為                  

26、60;                                               2由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)

27、，其中小于50 000的偶數(shù)共有        A60個(gè)B48個(gè)C36個(gè)C24個(gè)3用0，1，2，3，4 排成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求奇數(shù)字相鄰、偶數(shù)字也相鄰，這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是                              &

28、#160;                                                 &

29、#160;                              A20B24C32D364從1，3，5，7，9中任取三個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取兩個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有          &#

30、160;                                                 &#

31、160;                                                 A11040個(gè)

32、B12 000個(gè)C8 160個(gè)D14 000個(gè)5設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球投入這五個(gè)盒內(nèi)，要求每個(gè)盒內(nèi)投放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣投放的方法總數(shù)為        A20B30C60D12063個(gè)人坐在一排9個(gè)座位上，每人左、右兩邊都有空位子，這樣的排法有_種7將5名學(xué)生分配到4個(gè)不同的科技小組、每組至少1人的分配方案有_種8從1，2，5，7，8，9中取四個(gè)不同的數(shù)，排成四位數(shù)，在這些四位數(shù)中從小到大排列，則1987年第_個(gè)作業(yè)答案或提示說明發(fā)揮典

33、型題的作用，發(fā)展學(xué)生思維、排列組合應(yīng)用問題是教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，更是發(fā)展學(xué)生思維的好素材如何抓住重點(diǎn)突破難點(diǎn)，首先要發(fā)揮典型問題的作用，因此，例1、例3、例4都是典型題，通過典型題掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法但僅僅這樣是不夠的，“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)”只有發(fā)展思維，分析問題解決問題的能力才能提高，基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法才能在解決數(shù)學(xué)問題中用得上，用得好（第二講）排列組合問題一、知識(shí)點(diǎn)：1分類計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法2.分步計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成

34、n個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法 3排列的概念：從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列4排列數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示5排列數(shù)公式：（）6 階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定7排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：= 8 組合的概念：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合9組合數(shù)的概念：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，

35、叫做從 個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)用符號(hào)表示10組合數(shù)公式：或11 組合數(shù)的性質(zhì)1：規(guī)定：； 2：+ 二、解題思路：解排列組合問題，首先要弄清一件事是“分類”還是“分步”完成，對(duì)于元素之間的關(guān)系，還要考慮“是有序”的還是“無序的”，也就是會(huì)正確使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理、排列定義和組合定義，其次，對(duì)一些復(fù)雜的帶有附加條件的問題，需掌握以下幾種常用的解題方法：特殊優(yōu)先法 對(duì)于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題，我們可以從這些特殊的東西入手，先解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法.例如：用0、1、2、3、4這5個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)

36、共有_個(gè).（答案：30個(gè)）科學(xué)分類法 對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況，進(jìn)行科學(xué)分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生例如：從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任取5臺(tái)，其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái)，則不同的選取法有_種.（答案：350）插空法 解決一些不相鄰問題時(shí)，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問題得以解決例如：7人站成一行，如果甲乙兩人不相鄰，則不同排法種數(shù)是_.(答案:3600)捆綁法相鄰元素的排列，可以采用“整體到局部”的排法，即將相鄰的元素當(dāng)成“一個(gè)”元素進(jìn)行排列，然后再局部排列例如：6名同學(xué)坐成一排，其中甲、乙必須坐在一起的不同坐法

37、是_種.（答案：240）排除法 從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.b、排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識(shí)聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時(shí)，要注意使用相關(guān)知識(shí)對(duì)答案進(jìn)行取舍.例如：從集合0，1，2，3，5，7，11中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_條.（答案：30）三、講解范例：例1 由數(shù)字、組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)(1）求三個(gè)偶數(shù)必相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）求三個(gè)偶數(shù)互不相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)解 (1)：因?yàn)槿齻€(gè)偶數(shù)、必須相鄰，所以要得到一個(gè)符合條件的七位數(shù)可以分為如下三步：第

38、一步將、四個(gè)數(shù)字排好有種不同的排法；第二步將、三個(gè)數(shù)字“捆綁”在一起有 種不同的“捆綁”方法; 第三步將第二步“捆綁”的這個(gè)整體“插入”到第一步所排的四個(gè)不同數(shù)字的五個(gè)“間隙”(包括兩端的兩個(gè)位置)中的其中一個(gè)位置上,有種不同的“插入”方法根據(jù)乘法原理共有720種不同的排法所以共有720個(gè)符合條件的七位數(shù)解（2）：因?yàn)槿齻€(gè)偶數(shù)、 互不相鄰，所以要得到符合條件的七位數(shù)可以分為如下兩步：第一步將、四個(gè)數(shù)字排好，有 種不同的排法；第二步將、分別“插入”到第一步排的四個(gè)數(shù)字的五個(gè)“間隙”（包括兩端的兩個(gè)位置）中的三個(gè)位置上，有 種“插入”方法根據(jù)乘法原理共有1440種不同的排法所以共有1440個(gè)符合條

39、件的七位數(shù)例 將、分成三組，共有多少種不同的分法？解：要將、分成三組，可以分為三類辦法：（）分法、（）分法、（）分法下面分別計(jì)算每一類的方法數(shù)：第一類（）分法，這是一類整體不等分局部等分的問題，可以采用兩種解法解法一：從六個(gè)元素中取出四個(gè)不同的元素構(gòu)成一個(gè)組，余下的兩個(gè)元素各作為一個(gè)組，有種不同的分法解法二：從六個(gè)元素中先取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有 種選法，再從余下的五個(gè)元素中取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有 種選法，最后余下的四個(gè)元素自然作為一個(gè)組，由于第一步和第二步各選取出一個(gè)元素分別作為一個(gè)組有先后之分，產(chǎn)生了重復(fù)計(jì)算，應(yīng)除以所以共有 15種不同的分組方法 第二類（）分法，這是一類整體和局部均不等

40、分的問題，首先從六個(gè)不同的元素中選取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有 種不同的選法，再從余下的五個(gè)不同元素中選取出兩個(gè)不同的元素作為一個(gè)組有 種不同的選法，余下的最后三個(gè)元素自然作為一個(gè)組，根據(jù)乘法原理共有60種不同的分組方法 第三類（）分法，這是一類整體“等分”的問題，首先從六個(gè)不同元素中選取出兩個(gè)不同元素作為一個(gè)組有 種不同的取法，再從余下的四個(gè)元素中取出兩個(gè)不同的元素作為一個(gè)組有種不同的取法，最后余下的兩個(gè)元素自然作為一個(gè)組由于三組等分存在先后選取的不同的順序，所以應(yīng)除以 ，因此共有 15種不同的分組方法 根據(jù)加法原理，將、六個(gè)元素分成三組共有：15601590種不同的方法例 一排九個(gè)坐位有六個(gè)人

41、坐，若每個(gè)空位兩邊都坐有人，共有多少種不同的坐法？解：九個(gè)坐位六個(gè)人坐，空了三個(gè)坐位，每個(gè)空位兩邊都有人，等價(jià)于三個(gè)空位互不相鄰，可以看做將六個(gè)人先依次坐好有種不同的坐法，再將三個(gè)空坐位“插入”到坐好的六個(gè)人之間的五個(gè)“間隙”（不包括兩端）之中的三個(gè)不同的位置上有種不同的“插入”方法 根據(jù)乘法原理共有 7200種不同的坐法（第三講）排列組合問題II一、相臨問題整體捆綁法 例17名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？解：兩個(gè)元素排在一起的問題可用“捆綁”法解決，先將甲乙二人看作一個(gè)元素與其他五人進(jìn)行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有 種。捆綁法:要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可

42、以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列.一般地: 個(gè)人站成一排,其中某 個(gè)人相鄰,可用“捆綁”法解決，共有 種排法。練習(xí)：5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生要排在一起,有多少種不同的排法? 分析 此題涉及到的是排隊(duì)問題,對(duì)于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個(gè)元素來解決問題.解 因?yàn)榕旁谝黄?所以可以將3個(gè)女生看成是一個(gè)人,與5個(gè)男生作全排列,有 種排法,其中女生內(nèi)部也有 種排法,根據(jù)乘法原理,共有 種不同的排法.二、不相臨問題選空插入法 例2 7名學(xué)生站成一排，甲

43、乙互不相鄰有多少不同排法？解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為： 種 . 插入法:對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.若 個(gè)人站成一排，其中 個(gè)人不相鄰，可用“插空”法解決，共有 種排法。練習(xí)： 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個(gè)學(xué)生，4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？分析 此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對(duì)老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時(shí)就要特殊對(duì)待.所涉及問題是排列問題.解 先

44、排學(xué)生共有 種排法,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個(gè)空檔可插,選其中的4個(gè)空檔,共有 種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為 種.三、復(fù)雜問題總體排除法或排異法有些問題直接法考慮比較難比較復(fù)雜，或分類不清或多種時(shí)，而它的反面往往比較簡捷，可考慮用“排除法”，先求出它的反面,再從整體中排除.解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對(duì)其構(gòu)成元素的限制。例3.(1996年全國高考題)正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有個(gè).解：從7個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)的取法有 種，但其中正六邊形的對(duì)角線所含的中心和頂點(diǎn)三點(diǎn)共線不能組成三角形，有3條，所以滿足條件的三角形共有 332個(gè).練習(xí)： 我們班里

45、有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?分析 此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,不但容易理解,而且在計(jì)算中也是非常的簡便.這樣就可以簡化計(jì)算過程.解 43人中任抽5人的方法有 種,正副班長,團(tuán)支部書記都不在內(nèi)的抽法有 種,所以正副班長,團(tuán)支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有 種.四、特殊元素優(yōu)先考慮法 對(duì)于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題，可以考慮優(yōu)先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。 例4 (1995年上海高考題) 1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念，

46、若老師不排在兩端，則共有不同的排法種解：先考慮特殊元素（老師）的排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個(gè)位置上任選一個(gè)位置，有 種，而其余學(xué)生的排法有 種，所以共有 72種不同的排法.例5（2000年全國高考題）乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名隊(duì)員參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有種.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力隊(duì)員，有 種排法，而其余7名隊(duì)員選出2名安排在第二、四位置，有 種排法，所以不同的出場安排共有 252種.五、多元問題分類討論法 對(duì)于元素多，選取情況多，可按要求進(jìn)行分類討論，最后總計(jì)。例

47、6（2003年北京春招）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（A ）A42B30C20D12解：增加的兩個(gè)新節(jié)目，可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有A62種；2.相臨：共有A22A61種。故不同插法的種數(shù)為：A62 +A22A61=42 ，故選A。例7（2003年全國高考試題）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種.（以數(shù)字作答） 解：區(qū)域與其他四個(gè)區(qū)域相鄰，而其他每個(gè)區(qū)域都與三個(gè)區(qū)域相鄰，因此，可以涂三種或四種顏色

48、用三種顏色著色有 =24種方法, 用四種顏色著色有 =48種方法,從而共有24+48=72種方法,應(yīng)填72. 六、混合問題先選后排法 對(duì)于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先選取元素，后進(jìn)行排列的策略 例8（2002年北京高考）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有（ ）A 種B 種C 種D 種解：本試題屬于均分組問題。 則12名同學(xué)均分成3組共有 種方法,分配到三個(gè)不同的路口的不同的分配方案共有： 種，故選A。 例9（2003年北京高考試題）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共

49、有（ ）    A24種          B18種          C12種               D6種    解:先選后排,分步實(shí)施. 由題意，不同的選法有: C32種,不同的排法有: A31·A22,故不同的種植方法共有A31·C