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文檔簡介

1、排列、組合問題,在高考中所占比重不大,但試題都具有一定的靈活性、機(jī)敏性和綜合性,在“倡導(dǎo)創(chuàng)新體系,提高素質(zhì)教育”的今天,該類試題是最好的體現(xiàn),由于有些問題比較抽象,且題型繁多,解法獨(dú)特,再加上限制條件,容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。本文就排列、組合問題的常見題型的求解方法加以歸納,供大家參考。 1、特殊元素優(yōu)先法: 對(duì)于含有限定條件的排列、組合問題,一般應(yīng)先考慮特殊元素,再考慮其它元素。 例1,用0、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)共有多少個(gè)? 解析因組成的三位數(shù)為偶數(shù),末尾的數(shù)字必須是偶數(shù),又0不能排在首位,故0是其中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先安排。

2、當(dāng)0排在末尾時(shí),有 個(gè);當(dāng)0不排在末尾時(shí),有 個(gè),根據(jù)分類記數(shù)原理,其中偶數(shù)共有 個(gè)。 例2,1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照相留念,若老師不排在兩端,則共有不同的排法多少種。解析優(yōu)先考慮對(duì)特殊元素(老師)的排法,因老師不排在兩端,故可在中間三個(gè)位置上來排,有 種。剩下的位置由4名學(xué)生全排列,有 種。因此共有 種不同的排法。 2、相鄰問題捆綁法: 對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問題,可先將相鄰的元素“捆綁”在一起看作一個(gè)元素與其它元素進(jìn)行排列,然后再對(duì)這幾個(gè)元素進(jìn)行全排列。 例3,5名學(xué)生和3名老師站成一排照相,3名老師必須站在一起的不同排法共有 種。解析

3、將3名老師捆綁起來看成一個(gè)元素,與5名學(xué)生排列,有 種排法;而3名老師之間又有 種排法,故滿足條件的排法共有 種。 例4,計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中一幅水彩畫,4幅油畫,5幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的畫必須連在一起,并且水彩畫不放在兩端,那么不同的陳列方式有多少種? 解析把每種畫捆綁在一起,看成一個(gè)整體,又水彩畫較特殊,應(yīng)優(yōu)先安排。水彩畫放中間,油畫和國畫放兩端有 種排法。再考慮油畫和國畫本身可全排列,故排列方法共有 種。 3、不相鄰問題插空法: 對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰的排列問題,可先將余下的元素進(jìn)行排列,然后在這些元素形成的空隙中將不相鄰的

4、元素進(jìn)行排列。例5,有10個(gè)學(xué)生,其中4人中任意兩個(gè)不能站在一起,有多少種排列次序?解析先將其余6人進(jìn)行排列,有 種;再把不相鄰的4人分別排在前6人形成的7個(gè)空隙中,有 種。所以共有 種排列次序。例6,有4名男生,3名女生站成一排,任何兩名女生彼此不相鄰,有多少不同的排法?解析由于要求女生不相鄰,應(yīng)先排男生,有 種;然后在男生形成的5個(gè)空隙中分別安排3名女生,有 種,所以共有 種。 4、正難問題排除法: 對(duì)某些排列組合問題,當(dāng)從正面入手情況復(fù)雜,不易解決時(shí),可考慮從反面入手,將其等價(jià)轉(zhuǎn)換為一個(gè)較簡單的問題來處理。 例7,從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)

5、,若這4人中必須既有男生又有女生,則不同的選法共有 A、 140種 B、120種 C、 35種 D、 34種解析先不考慮附加條件,從7名學(xué)生中選出4名共有 種選法,其中不符合條件的是選出的4人都是男生,即 種。所以符合條件的選法是 種,故選D。 例8,四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn),在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn),不同的取法共有 A、 150種 B、147種 C、 144種 D、 141種解析首先只要考慮從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)的取法,有 種,然后再取掉“共面”的情況:其中一個(gè)面內(nèi)的6個(gè)點(diǎn)中任意4點(diǎn)都共面,任取4點(diǎn)有 種;又每條棱與相對(duì)棱的中點(diǎn)共有6種;各棱的中點(diǎn)中4點(diǎn)

6、共面的有3種。 故10個(gè)點(diǎn)中4點(diǎn)不共面的取法,共有 種。故選D項(xiàng)。 5,多元問題合理分類與準(zhǔn)確分步: 對(duì)于約束條件較多的排列組合問題,可能的情況也較多,可根據(jù)結(jié)果要求,按元素性質(zhì)進(jìn)行分類,按時(shí)間發(fā)生的連續(xù)過程分步,做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確、分布層次清楚,不重不漏的原則。例9,如圖,一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有多少種? 解析區(qū)域1與其它4個(gè)區(qū)域相鄰,而其它器每個(gè)區(qū)域都與3個(gè)區(qū)域相鄰,因此可以涂3種或4種顏色。涂3種顏色有 種方法;涂4種顏色有 種方法。 因此共有24+48=72種不

7、同的著色方法。 例10,平面上4條平行直線與另5條平行直線互相垂直,則它們構(gòu)成的矩形共有 個(gè) 解析按構(gòu)成矩形的過程可分為如下兩步:第一步,先在4條平行直線中取兩條,有 種;第二步,再在5條平行線中取兩條,有 種,這樣取出的4條直線構(gòu)成一個(gè)矩形。根據(jù)乘法原理,構(gòu)成的矩形共有 個(gè)。 6,定序問題除法: 對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)數(shù)的全排列數(shù)。 例11,由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)的共有 A、 210種 B、300種 C、 46

8、4種 D、 600種解析:若不考慮附加條件,組成的六位數(shù)共有 個(gè),而其中個(gè)位數(shù)與十位數(shù)的 種排法中只有一種符合要求,故符合要求的六位數(shù)共有 個(gè),故選B項(xiàng)。若將題干中條件改為“個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)且千位小于百位”則應(yīng)為 種。再例:有1、2、3,.,9九個(gè)數(shù)字,可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字,且百位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字的5位數(shù)? 解析:思路一:19,組成5位數(shù)有。假設(shè)后三位元素是(A和B和C,不分次序,ABC任?。r(shí)(其中B>C>A),則這三位是排定的。假設(shè)B、C、A這個(gè)順序,五位數(shù)有X種排法,那么其它的-1個(gè)順序,都有X種排法。則X*(-1+1)= ,即X= / . 思路二:

9、分步。第一步,選前兩位,有種可能性。第二步,選后三位。因?yàn)楹笕恢灰獢?shù)字選定,就只有一種排序,選定方式有種。即后三位有C3/7種可能性。則答案為* . 7,大小排列問題字典法: 對(duì)于數(shù)的大小順序排列問題,可以采用“查字典”的方法,逐位依次確定。 例12,在由數(shù)字1、2、3、4、5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中,大于23145且小于43512的數(shù)共有A、 56種 B、57種 C、58種 D、 60種 解析從高位向低位依次考慮,分3類: 當(dāng)首位是2時(shí),若千位是4、5,則有 個(gè);若千位是3,百位是4、5,則有 個(gè);若千位是3,百位是1,則只有一個(gè)數(shù)即2315

10、4,故當(dāng)首位是2時(shí),共有12+4+1=17個(gè)。 當(dāng)首位是3時(shí),有 個(gè)。 當(dāng)首位是4時(shí),若千位是1、2,則有 個(gè);若千位是3,百位是1、2,則有 個(gè);若千位是3,百位是5,則只有一個(gè)數(shù)即43512,故當(dāng)首位是4時(shí),共有12+4+1=17個(gè)數(shù)。因此滿足題意的數(shù)共有17+24+17=58個(gè)。故選C項(xiàng)。 例13,用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),若按從小到大排列,3204是第幾個(gè)數(shù)? 解析 從高位向低位依次考慮,分3類:當(dāng)千位是1、2時(shí),有 個(gè)。當(dāng)千位是3時(shí),若百位排0、1,有 個(gè);若百位排2時(shí),比3204小的僅有3201一個(gè)。 故比4

11、304小的四位數(shù)共有48+12+1=61個(gè),所以3204是第62個(gè)。 8,名額分配問題隔板法: 對(duì)某些復(fù)雜的排列問題,可通過構(gòu)造相應(yīng)的模型來處理。例14,某校準(zhǔn)備組建一個(gè)18人的足球隊(duì),這18人由高一年級(jí)10個(gè)班的學(xué)生組成,每個(gè)班級(jí)至少一人,名額分配方案共有多少種? 解析處理次類問題一般構(gòu)造一個(gè)隔板模型。取18枚棋子排成一列,在相鄰的每兩枚棋子形成的17個(gè)空隙中選取9個(gè)插入隔板,將18個(gè)棋子分隔成10個(gè)部分,第i(1i10)個(gè)部分的棋子數(shù)對(duì)應(yīng)第i個(gè)班級(jí)學(xué)生的名額,因此分配方案的種數(shù)與隔板的插入種數(shù)相等,即為 種。例15,某校準(zhǔn)備組建一個(gè)18人的足球隊(duì),這18人由高

12、一年級(jí)10個(gè)班的學(xué)生組成,其中有些班級(jí)可能選不上,每班人數(shù)都在18人以上,名額分配方案共有多少種? 解析同樣是名額分配問題,但與前面問題有所不同,由于名額可空,即同一空隙中可插多個(gè)隔板,前面模型不再適用,應(yīng)另建模型。 取18枚棋子排成一列需要18個(gè)位置,分10部分需要9個(gè)隔板,每個(gè)隔板占用一個(gè)位置,共需18+9=27個(gè)位置?,F(xiàn)在在這27個(gè)位置上安排9個(gè)隔板,把27個(gè)位置分成10部分。當(dāng)兩個(gè)隔板相鄰時(shí),表示這兩個(gè)位置之間沒有棋子,即此班沒有名額。因此,分配方案的種數(shù)與隔板的插入種數(shù)相等,即為 種。 9,混合問題先選后排法: 對(duì)于排列、組合的混合問題,可采取

13、先選取元素,再進(jìn)行排列的策略。 例16,某校高二年級(jí)共有6個(gè)班,現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生,要安排到該年級(jí)的2個(gè)班且每班安排2人,則不同的安排方案種數(shù)為A、 B、 C、 D、  解析先將4名學(xué)生平均分成兩組(屬平均分組),有 = 種分法;再將這兩組學(xué)生安排到該年級(jí)6個(gè)班中的兩個(gè)班有 種。所以不同的安排方法有 ,故選B項(xiàng)。 10,復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換法: 對(duì)于有些較為復(fù)雜的排列、組合問題,若不能用以上方法解決,可以采取等價(jià)轉(zhuǎn)換的方法,轉(zhuǎn)化為其它問題然后解決。 例17,從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)作三角形,其中直角三角形的個(gè)數(shù)為 A、56 B、52

14、C、 48 D、 40 解析首先考慮到任意一個(gè)矩形可得到四個(gè)直角三角形,于是問題轉(zhuǎn)化為先求出所有可能的矩形。分為兩類:表面上的矩形有6個(gè);對(duì)角面有6個(gè),因此所有可能的矩形有6+6=12個(gè),相應(yīng)的直角三角形共有4 12=48個(gè)。故選C項(xiàng)。 例18,一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球,6個(gè)不同的白球,從中任取4個(gè)球,若取一個(gè)紅球記2分,取一個(gè)白球記1分,從中任取5個(gè)球,使總分不小于7的取法有多少種? 解析設(shè)紅球取x個(gè),白球取5-x個(gè),依題設(shè)有2x+(5-x)7。其中xN, 且 。解得 2、3、4,對(duì)應(yīng) 3、2、1。故取法種數(shù)為 =186種。數(shù)學(xué)運(yùn)算題型之排列、組合、二項(xiàng)式定理

15、·排列組合應(yīng)用問題  (第一講)目標(biāo)1掌握有關(guān)排列組合問題的基本解法,提高分析問題與解決問題的能力2通過對(duì)典型錯(cuò)誤的剖析,學(xué)生克服解題中的“重復(fù)”與“遺漏”等常見錯(cuò)誤培養(yǎng)思維的深刻性與批判性品質(zhì)重點(diǎn)與難點(diǎn)有條件限制的排列組合應(yīng)用問題排列數(shù)公式:組合數(shù)公式(一)有條件限制的排列問題例15個(gè)不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列(1)a,e必須排在首位或末位,有多少種排法?(2)a,e既不在首位也不在末位,有多少種排法?(3)a,e排在一起有多少種排法?(4)a,e不相鄰有多少種排法?(5)a在e的左邊(可不相鄰)有多少種排法?(教師出題后向?qū)W生提出要求;開動(dòng)腦筋,積極思維,

16、暢所欲言,鼓勵(lì)提出不同解法,包括錯(cuò)誤的解法)師:請(qǐng)同學(xué)回答(1)并說出解題思路師:很好!問題(1)是排列問題中某幾個(gè)元素必須“在”某些位置的問題處理這類問題的原則是:有條件限制的元素或位置優(yōu)先考慮師:請(qǐng)同學(xué)回答(2),并說出解題思路師:在上面解題過程中,很好的運(yùn)用了有條件限制的位置優(yōu)先的原則,這種解法是直接法還有其他方法嗎?分別在排頭、排尾的4種情況大家討論研究這時(shí)學(xué)生的思維活躍起來生丙:前一種解法對(duì),后一種解法排列數(shù)少了師:遺漏在什么地方呢?減去a排頭,即a××××;減去a排尾,即××××a;減去e排頭,即 e&

17、#215;×××;減去e排尾,即××××e具體一排可以看出,在這四種情況中,a排頭e排尾,e排頭a排尾各多減了一次學(xué)生明白了思維上的錯(cuò)誤,教師提出能否把上面錯(cuò)誤的解法改造成正確的解法呢?由分析思維上的錯(cuò)誤得到正確的認(rèn)識(shí),學(xué)生十分高興但認(rèn)識(shí)并沒有完結(jié)師:由上面的分析對(duì)我們有什么啟發(fā)?生丁:在解題過程中具體排一排使我們想的更清楚師:好!“具體排”是一個(gè)好方法這是抽象轉(zhuǎn)化為具體的一種思維方法師:請(qǐng)同學(xué)回答問題(3),并說出解題思路解題思路是:a,e排在一起,可將a,e看成一個(gè)整體,作為1師:好!排在一起的元素用“粘合法”看作一個(gè)元

18、素師:請(qǐng)同學(xué)回答問題(4),并說出解題思路解題思路是:用5個(gè)元素的全排列數(shù)減去a,e排在一起的,就是a,e不相鄰的師:這是間接法,還有其他方法嗎?e不相鄰,可將a,e排在上述3個(gè)元素排定后形成的4個(gè)空檔中,排法師:這是一個(gè)很好的設(shè)計(jì)“插空檔”的方法對(duì)解決排列問題中某幾個(gè)元素不相鄰的問題有普遍性這也是解決這類問題的通法,對(duì)多個(gè)元素不相鄰的問題,第一種解法(間接法)容易產(chǎn)生“重復(fù)”或“遺漏”師:請(qǐng)同學(xué)回答問題(5),并說出解題思路師:為什么要除以2生:要求a在e的左邊(可不相鄰)即a,e有序,而a,e間的排列數(shù)有2種,所以要除以2師:問題變換為3個(gè)元素按一定順序呢?教師小結(jié):排列應(yīng)用題是實(shí)際問題的

19、一種,解應(yīng)用問題的指導(dǎo)思想,弄清題意、聯(lián)系實(shí)際、合理設(shè)計(jì)調(diào)動(dòng)相關(guān)的知識(shí)和方法是合理設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)例1是排列的典型問題,解題方法可借鑒排列問題思考起來比較抽象,“具體排”是一種把抽象轉(zhuǎn)化具體的好方法例2  同室4人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,則4張賀年卡不同的分配方式有()(A)6種(B)9種(C)11種(D)23種先讓學(xué)生獨(dú)立作,教師巡視,然后歸納不同的解法解法1:列舉法(具體排、填方格)設(shè)4人為A,B,C,D,他們自己所寫的賀卡分別為a,b,c,d,滿足條件的分配方式列舉如下:因此,共有3×3=9種不同的分配方式,故選B解法2:直接法分兩步

20、完成,第一步讓A先拿,他可拿b,c,d中的任意一張,有3種方法;假定A拿b,第二步就讓B拿,他可拿a,c,d中任意1張,也有3種方法一旦B拿定了,假定B拿a,那么C,D兩人的拿法也就隨之確定了,只能C拿d且D拿c這1種方法根據(jù)乘法原理,共有3×3=9種不同的分配方式,故選B解法3:間接法先不考慮限制條件,即也允許拿自己送的賀年卡,不同的分配方式4人都拿自己送出的賀卡的分配方式只有1種;所以,4個(gè)人都不拿自己送出的賀卡的分配方式共有教師小結(jié):在巡視過程中,我觀察許多同學(xué)解排列組合應(yīng)用題的思考慮到本題給的數(shù)字小,“具體排”問題不難解決(二)有條限制的組合問題例3  已知集合A=

21、1,2,3,4,5,6,7,8,9,求含有5個(gè)元素,且其中至少有兩個(gè)是偶數(shù)的子集的個(gè)數(shù)通過分析討論學(xué)生有以下解法解題思路是:從正面考慮分類,將含5個(gè)元素,且其中至少有兩個(gè)是偶數(shù)的子集分為三類:類:師:很好!這兩種解法都是正確的,直接法、間接法是兩類很重要的思考方法和解題方法生甲:我還有一種解法,現(xiàn)在看來是錯(cuò)誤的,但不知錯(cuò)在哪?師:這更需要我們一起研究請(qǐng)說說你的列式和解題思路解題思路是:先由4個(gè)偶數(shù)選2個(gè)偶數(shù),再由剩下的7個(gè)數(shù)(2個(gè)偶數(shù),5個(gè)奇數(shù))選3個(gè)數(shù),組成含有5個(gè)元素的集合且滿足至少有2師:錯(cuò)在哪?指出做題中的錯(cuò)誤比做對(duì)一道題更有價(jià)值的一種選法,組成集合2,4,6,1,3我們再看另一種3,

22、這是同一個(gè)集合,但在記數(shù)中卻記了2次,這就重復(fù)了師:分析的很好!看來“具體排”的方法很有用重復(fù)的原因是分類不獨(dú)立在使用加法原理時(shí)分類一定要遵循下列原則:設(shè)全集為I,把I分為A1,A2,An,n個(gè)子集,滿足以下兩條:A1,A2,A3,An任何兩個(gè)的交集為空集;A1A2A3An=I(三)排列組合混合問題例4  從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中,選出3名男同學(xué)和2名女同學(xué)分別承擔(dān)A,B,C,D,E5項(xiàng)工作,一共有多少種分配方案師:如何設(shè)計(jì),請(qǐng)說出你的解法問題在哪?師:這是一個(gè)排列組合混合問題,解題的關(guān)鍵是要合理分步一般題不過還可以挽救另解:把工作當(dāng)元素,同學(xué)看作位子,第一步,從5種工作中任選3也

23、可先給女同學(xué)分配工作,再給男同學(xué)分配工作,分配方案有:小結(jié)  排列組合混合問題,解題思路是:在分步時(shí)通常先組合后排列例5  方程x1+x2+x3+x4=7的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是_師:這個(gè)方程問題和排列組合有什么關(guān)系呢?求方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù),等式左邊會(huì)有4個(gè)未知數(shù)且次數(shù)是1次,右邊是7(數(shù)字較?。瑔栴}可轉(zhuǎn)化成把7分成4個(gè)正整數(shù)(允許取相同數(shù)字),x1,x2,x3,x4分別取這4個(gè)數(shù)字,請(qǐng)同學(xué)考慮如何列式生甲:將7拆成下面3組:分別將每組的4個(gè)數(shù)排在x1,x2,x3,x4這4個(gè)位置上,每個(gè)位師:這是用分類的方法處理問題,很好!還有其他的解法嗎?解題思路是:將7分成7個(gè)1(1是最小

24、的正整數(shù)單位),于是問題轉(zhuǎn)化為將它們分成4組,這可以看成用3條豎線插7個(gè)1中間的6個(gè)用下圖表示它的一種分割方法師:這是一道比較新穎的題目,解題中用到的都是基本知識(shí)和基本方法,但要通過分析、構(gòu)想、設(shè)計(jì),調(diào)動(dòng)基本知識(shí)和基本方法解題第一種解法要有分類討論處理問題的意識(shí),第二種解法是轉(zhuǎn)化成熟悉的插空檔問題(四)小結(jié)解排列組合應(yīng)用問題,首先要抓典型問題如例1是排列常見的典型問題,例3是組合問題,例4是排列組合混合問題通過典型問題掌握基本方法,這是解排列組合應(yīng)用問題首先要做到的排列組合應(yīng)用題與實(shí)際是緊密相連的,但思考起來又比較抽象“具體排”是抽象轉(zhuǎn)化為具體的橋梁,是解題的重要思考方法之一“具體排”可以幫助

25、思考,可以找出重復(fù)、遺漏的原因有同學(xué)總結(jié)解排列組合應(yīng)用題的方法是:“想透、排夠不重不漏,”是很有道理的解排列組合應(yīng)用題最重要的是,通過分析構(gòu)想設(shè)計(jì)合理的解題方案,在這里抽象與具體、直接法與間接法、全面分類與合理分步等思維方法和解題策略得到廣泛運(yùn)用(五)作業(yè)1設(shè)有4個(gè)不同的紅球,6個(gè)不同的白球,每次取出4個(gè)球,取1個(gè)紅球記2分,取1個(gè)白球記1分,使得總分不大于5分的取球方法數(shù)為                  

26、60;                                               2由數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)

27、,其中小于50 000的偶數(shù)共有        A60個(gè)B48個(gè)C36個(gè)C24個(gè)3用0,1,2,3,4 排成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求奇數(shù)字相鄰、偶數(shù)字也相鄰,這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是                              &

28、#160;                                                 &

29、#160;                              A20B24C32D364從1,3,5,7,9中任取三個(gè)數(shù)字,從0,2,4,6,8中任取兩個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有          &#

30、160;                                                 &#

31、160;                                                 A11040個(gè)

32、B12 000個(gè)C8 160個(gè)D14 000個(gè)5設(shè)有編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將這五個(gè)球投入這五個(gè)盒內(nèi),要求每個(gè)盒內(nèi)投放一個(gè)球,并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,則這樣投放的方法總數(shù)為        A20B30C60D12063個(gè)人坐在一排9個(gè)座位上,每人左、右兩邊都有空位子,這樣的排法有_種7將5名學(xué)生分配到4個(gè)不同的科技小組、每組至少1人的分配方案有_種8從1,2,5,7,8,9中取四個(gè)不同的數(shù),排成四位數(shù),在這些四位數(shù)中從小到大排列,則1987年第_個(gè)作業(yè)答案或提示說明發(fā)揮典

33、型題的作用,發(fā)展學(xué)生思維、排列組合應(yīng)用問題是教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn),更是發(fā)展學(xué)生思維的好素材如何抓住重點(diǎn)突破難點(diǎn),首先要發(fā)揮典型問題的作用,因此,例1、例3、例4都是典型題,通過典型題掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法但僅僅這樣是不夠的,“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)”只有發(fā)展思維,分析問題解決問題的能力才能提高,基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法才能在解決數(shù)學(xué)問題中用得上,用得好(第二講)排列組合問題一、知識(shí)點(diǎn):1分類計(jì)數(shù)原理:做一件事情,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有種不同的方法,在第二類辦法中有種不同的方法,在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法2.分步計(jì)數(shù)原理:做一件事情,完成它需要分成

34、n個(gè)步驟,做第一步有種不同的方法,做第二步有種不同的方法,做第n步有種不同的方法,那么完成這件事有 種不同的方法 3排列的概念:從個(gè)不同元素中,任?。ǎ﹤€(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列,叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列4排列數(shù)的定義:從個(gè)不同元素中,任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù),用符號(hào)表示5排列數(shù)公式:()6 階乘:表示正整數(shù)1到的連乘積,叫做的階乘規(guī)定7排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式:= 8 組合的概念:一般地,從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組,叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合9組合數(shù)的概念:從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),

35、叫做從 個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)用符號(hào)表示10組合數(shù)公式:或11 組合數(shù)的性質(zhì)1:規(guī)定:; 2:+ 二、解題思路:解排列組合問題,首先要弄清一件事是“分類”還是“分步”完成,對(duì)于元素之間的關(guān)系,還要考慮“是有序”的還是“無序的”,也就是會(huì)正確使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理、排列定義和組合定義,其次,對(duì)一些復(fù)雜的帶有附加條件的問題,需掌握以下幾種常用的解題方法:特殊優(yōu)先法 對(duì)于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題,我們可以從這些特殊的東西入手,先解決特殊元素或特殊位置,再去解決其它元素或位置,這種解法叫做特殊優(yōu)先法.例如:用0、1、2、3、4這5個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)

36、共有_個(gè).(答案:30個(gè))科學(xué)分類法 對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問題,由于情況繁多,因此要對(duì)各種不同情況,進(jìn)行科學(xué)分類,以便有條不紊地進(jìn)行解答,避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生例如:從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任取5臺(tái),其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái),則不同的選取法有_種.(答案:350)插空法 解決一些不相鄰問題時(shí),可以先排一些元素然后插入其余元素,使問題得以解決例如:7人站成一行,如果甲乙兩人不相鄰,則不同排法種數(shù)是_.(答案:3600)捆綁法相鄰元素的排列,可以采用“整體到局部”的排法,即將相鄰的元素當(dāng)成“一個(gè)”元素進(jìn)行排列,然后再局部排列例如:6名同學(xué)坐成一排,其中甲、乙必須坐在一起的不同坐法

37、是_種.(答案:240)排除法 從總體中排除不符合條件的方法數(shù),這是一種間接解題的方法.b、排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識(shí)聯(lián)系,從而增加了問題的綜合性,解答這類應(yīng)用題時(shí),要注意使用相關(guān)知識(shí)對(duì)答案進(jìn)行取舍.例如:從集合0,1,2,3,5,7,11中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_條.(答案:30)三、講解范例:例1 由數(shù)字、組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)(1)求三個(gè)偶數(shù)必相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù);(2)求三個(gè)偶數(shù)互不相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)解 (1):因?yàn)槿齻€(gè)偶數(shù)、必須相鄰,所以要得到一個(gè)符合條件的七位數(shù)可以分為如下三步:第

38、一步將、四個(gè)數(shù)字排好有種不同的排法;第二步將、三個(gè)數(shù)字“捆綁”在一起有 種不同的“捆綁”方法; 第三步將第二步“捆綁”的這個(gè)整體“插入”到第一步所排的四個(gè)不同數(shù)字的五個(gè)“間隙”(包括兩端的兩個(gè)位置)中的其中一個(gè)位置上,有種不同的“插入”方法根據(jù)乘法原理共有720種不同的排法所以共有720個(gè)符合條件的七位數(shù)解(2):因?yàn)槿齻€(gè)偶數(shù)、 互不相鄰,所以要得到符合條件的七位數(shù)可以分為如下兩步:第一步將、四個(gè)數(shù)字排好,有 種不同的排法;第二步將、分別“插入”到第一步排的四個(gè)數(shù)字的五個(gè)“間隙”(包括兩端的兩個(gè)位置)中的三個(gè)位置上,有 種“插入”方法根據(jù)乘法原理共有1440種不同的排法所以共有1440個(gè)符合條

39、件的七位數(shù)例 將、分成三組,共有多少種不同的分法?解:要將、分成三組,可以分為三類辦法:()分法、()分法、()分法下面分別計(jì)算每一類的方法數(shù):第一類()分法,這是一類整體不等分局部等分的問題,可以采用兩種解法解法一:從六個(gè)元素中取出四個(gè)不同的元素構(gòu)成一個(gè)組,余下的兩個(gè)元素各作為一個(gè)組,有種不同的分法解法二:從六個(gè)元素中先取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有 種選法,再從余下的五個(gè)元素中取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有 種選法,最后余下的四個(gè)元素自然作為一個(gè)組,由于第一步和第二步各選取出一個(gè)元素分別作為一個(gè)組有先后之分,產(chǎn)生了重復(fù)計(jì)算,應(yīng)除以所以共有 15種不同的分組方法 第二類()分法,這是一類整體和局部均不等

40、分的問題,首先從六個(gè)不同的元素中選取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有 種不同的選法,再從余下的五個(gè)不同元素中選取出兩個(gè)不同的元素作為一個(gè)組有 種不同的選法,余下的最后三個(gè)元素自然作為一個(gè)組,根據(jù)乘法原理共有60種不同的分組方法 第三類()分法,這是一類整體“等分”的問題,首先從六個(gè)不同元素中選取出兩個(gè)不同元素作為一個(gè)組有 種不同的取法,再從余下的四個(gè)元素中取出兩個(gè)不同的元素作為一個(gè)組有種不同的取法,最后余下的兩個(gè)元素自然作為一個(gè)組由于三組等分存在先后選取的不同的順序,所以應(yīng)除以 ,因此共有 15種不同的分組方法 根據(jù)加法原理,將、六個(gè)元素分成三組共有:15601590種不同的方法例 一排九個(gè)坐位有六個(gè)人

41、坐,若每個(gè)空位兩邊都坐有人,共有多少種不同的坐法?解:九個(gè)坐位六個(gè)人坐,空了三個(gè)坐位,每個(gè)空位兩邊都有人,等價(jià)于三個(gè)空位互不相鄰,可以看做將六個(gè)人先依次坐好有種不同的坐法,再將三個(gè)空坐位“插入”到坐好的六個(gè)人之間的五個(gè)“間隙”(不包括兩端)之中的三個(gè)不同的位置上有種不同的“插入”方法 根據(jù)乘法原理共有 7200種不同的坐法(第三講)排列組合問題II一、相臨問題整體捆綁法 例17名學(xué)生站成一排,甲、乙必須站在一起有多少不同排法?解:兩個(gè)元素排在一起的問題可用“捆綁”法解決,先將甲乙二人看作一個(gè)元素與其他五人進(jìn)行排列,并考慮甲乙二人的順序,所以共有 種。捆綁法:要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可

42、以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列.一般地: 個(gè)人站成一排,其中某 個(gè)人相鄰,可用“捆綁”法解決,共有 種排法。練習(xí):5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生要排在一起,有多少種不同的排法? 分析 此題涉及到的是排隊(duì)問題,對(duì)于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個(gè)元素來解決問題.解 因?yàn)榕旁谝黄?所以可以將3個(gè)女生看成是一個(gè)人,與5個(gè)男生作全排列,有 種排法,其中女生內(nèi)部也有 種排法,根據(jù)乘法原理,共有 種不同的排法.二、不相臨問題選空插入法 例2 7名學(xué)生站成一排,甲

43、乙互不相鄰有多少不同排法?解:甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空”法,所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為: 種 . 插入法:對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.若 個(gè)人站成一排,其中 個(gè)人不相鄰,可用“插空”法解決,共有 種排法。練習(xí): 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影,同一排電影票12張。8個(gè)學(xué)生,4個(gè)老師,要求老師在學(xué)生中間,且老師互不相鄰,共有多少種不同的坐法?分析 此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對(duì)老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時(shí)就要特殊對(duì)待.所涉及問題是排列問題.解 先

44、排學(xué)生共有 種排法,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔,共有7個(gè)空檔可插,選其中的4個(gè)空檔,共有 種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為 種.三、復(fù)雜問題總體排除法或排異法有些問題直接法考慮比較難比較復(fù)雜,或分類不清或多種時(shí),而它的反面往往比較簡捷,可考慮用“排除法”,先求出它的反面,再從整體中排除.解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對(duì)其構(gòu)成元素的限制。例3.(1996年全國高考題)正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn),以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有個(gè).解:從7個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)的取法有 種,但其中正六邊形的對(duì)角線所含的中心和頂點(diǎn)三點(diǎn)共線不能組成三角形,有3條,所以滿足條件的三角形共有 332個(gè).練習(xí): 我們班里

45、有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?分析 此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,不但容易理解,而且在計(jì)算中也是非常的簡便.這樣就可以簡化計(jì)算過程.解 43人中任抽5人的方法有 種,正副班長,團(tuán)支部書記都不在內(nèi)的抽法有 種,所以正副班長,團(tuán)支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有 種.四、特殊元素優(yōu)先考慮法 對(duì)于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題,可以考慮優(yōu)先安排特殊位置,然后再考慮其他位置的安排。 例4 (1995年上海高考題) 1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念,

46、若老師不排在兩端,則共有不同的排法種解:先考慮特殊元素(老師)的排法,因老師不排在兩端,故可在中間三個(gè)位置上任選一個(gè)位置,有 種,而其余學(xué)生的排法有 種,所以共有 72種不同的排法.例5(2000年全國高考題)乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員,派5名隊(duì)員參加比賽,3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置,其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置,那么不同的出場安排共有種.解:由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力隊(duì)員,有 種排法,而其余7名隊(duì)員選出2名安排在第二、四位置,有 種排法,所以不同的出場安排共有 252種.五、多元問題分類討論法 對(duì)于元素多,選取情況多,可按要求進(jìn)行分類討論,最后總計(jì)。例

47、6(2003年北京春招)某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為(A )A42B30C20D12解:增加的兩個(gè)新節(jié)目,可分為相臨與不相臨兩種情況:1.不相臨:共有A62種;2.相臨:共有A22A61種。故不同插法的種數(shù)為:A62 +A22A61=42 ,故選A。例7(2003年全國高考試題)如圖,一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有 種.(以數(shù)字作答) 解:區(qū)域與其他四個(gè)區(qū)域相鄰,而其他每個(gè)區(qū)域都與三個(gè)區(qū)域相鄰,因此,可以涂三種或四種顏色

48、用三種顏色著色有 =24種方法, 用四種顏色著色有 =48種方法,從而共有24+48=72種方法,應(yīng)填72. 六、混合問題先選后排法 對(duì)于排列組合的混合應(yīng)用題,可采取先選取元素,后進(jìn)行排列的策略 例8(2002年北京高考)12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查,若每個(gè)路口4人,則不同的分配方案共有( )A 種B 種C 種D 種解:本試題屬于均分組問題。 則12名同學(xué)均分成3組共有 種方法,分配到三個(gè)不同的路口的不同的分配方案共有: 種,故選A。 例9(2003年北京高考試題)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,不同的種植方法共

49、有( )    A24種          B18種          C12種               D6種    解:先選后排,分步實(shí)施. 由題意,不同的選法有: C32種,不同的排法有: A31·A22,故不同的種植方法共有A31·C

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