列二元一次方程組解應(yīng)用題的主要題型復(fù)習(xí)

1、法國數(shù)學(xué)家笛卡兒:一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,一切數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,而一切代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為方程問題,因此,一旦解決了方程問題,一切問題將迎刃而解。列二元一次方程組解應(yīng)用題的主要題型復(fù)習(xí)一、列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟1、審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么,未知量是什么,問題給出和涉及的相等關(guān)系是什么。弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系,2、找出等量關(guān)系:找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.尋找相等關(guān)系(有的由題目給出,有的由該問題所涉及的等量關(guān)系給出,列方程。一般地,未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的。3、設(shè)出未知數(shù),列出方程:設(shè)出未知數(shù)后,表示出有關(guān)的含字母的式子,然后利用已找出的

2、等量關(guān)系列出方程。設(shè)未知數(shù)及作答時若有單位的一定要帶單位,方程中數(shù)量單位一定要統(tǒng)一。設(shè)元(未知數(shù)。直接設(shè)元法間接設(shè)元法(往往二者兼用。一般來說,未知數(shù)越多,方程越易列,但越難解。1直接設(shè)元法:求什么設(shè)什么,方程的解就是問題的答案;2間接設(shè)元法:不是求什么設(shè)什么,方程的解并不是問題的答案,需要根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系求出最后的答案。4、解方程:解所列的方程,求出未知數(shù)的值.5、檢驗,寫答案:檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解,是否符合實際,檢驗后寫出答案。如:甲、乙兩人的收入之比為43,支出之比為85,一年間兩人各儲存了500元,求兩人的年收入各是多少?解:設(shè)甲的年收入為x元,乙的年收入為y元,根

3、據(jù)題意,得解得:答:甲的年收入為1500元,乙的年收入為1125元.二、設(shè)未知數(shù)的幾種常見方法1、設(shè)直接未知數(shù):即題目里要求的未知量是什么,就把它設(shè)做方程里的未知數(shù),并且求幾個設(shè)幾個.2、設(shè)間接未知數(shù):即設(shè)的不是所求量.有些應(yīng)用題,若設(shè)直接未知數(shù),則所列的方程比較復(fù)雜;若改設(shè)間接未知數(shù),則能列出既簡單又易解的方程.例:甲、乙兩廠計劃在上月共生產(chǎn)機床360臺,結(jié)果甲廠完成了計劃的112%,乙廠完成了計劃的110%,兩廠共生產(chǎn)了機床400臺,問上月兩廠各超額生產(chǎn)了機床多少臺?(答案24臺和16臺解:設(shè)上月份甲廠計劃生產(chǎn)機床x臺,乙廠計劃生產(chǎn)機床y臺,3、少設(shè)未知數(shù):有些應(yīng)用題,要求兩個或更多個未知

4、數(shù),但根據(jù)各未知數(shù)之間的關(guān)系,只需設(shè)一個或少數(shù)幾個未知數(shù)就可以求解.例:怎樣把45分成甲、乙、丙、丁四個數(shù),使甲數(shù)加2,乙數(shù)減2,丙數(shù)加倍,丁數(shù)減半的結(jié)果相等?(答案:甲數(shù)為8,乙數(shù)為12,丙數(shù)為5,丁數(shù)為20解設(shè)甲數(shù)為x,丙數(shù)為y,則乙數(shù)為x+4,丁數(shù)為4y,4、多設(shè)未知數(shù):有些應(yīng)用題,不僅要設(shè)直接未知數(shù),而且要增設(shè)輔助未知數(shù),但這些輔助未知數(shù)本身并不需要求出,它們的作用只是為了幫助列方程,同時為了求出真正的未知數(shù).例:甲車和乙車共坐了93人,乙車和丙車共坐了96人,丙車和丁車共坐了98人,問甲車和丁車共坐了多少人?(答案95人思路與技巧本題只需求甲車和丁車乘坐的人數(shù)之和,但是若以這個量為未

5、知數(shù),列方程比較困難.因此,我們不妨設(shè)甲、乙、丙、丁各車乘坐的人數(shù)作為輔助未知數(shù),列出方程組來求解.解設(shè)甲、乙、丙、丁各車乘坐的人數(shù)分別為x、y、z、u,三、列方程組解應(yīng)用題的常見題型.1、和差倍分問題:解這類問題的基本等量關(guān)系式是:較大量=較小量+多余量,總量=倍數(shù)×1倍量.例:第一個容器有49L水,第二個容器有56L水,如果將第二個容器的水倒?jié)M第一個容器,那么第二個容器剩下的水是這個容器容量的一半;如果將第一個容器的水倒?jié)M第二個容器,那么第一個容器剩下的水是這個容器容量的三分之一,求這兩個容器的容量。(答案63L, 84L解:設(shè)第一個容器的容量為xL,第二個容器的容量為y L,那

6、么第二個容器倒給第一個容器(x-49L,剩下56-(x-49L水,第一個容器倒給第二個容器(y-56L,剩下49-(y-56L水,2、產(chǎn)品配套問題:解這類問題的基本等量關(guān)系式是:加工總量成比例.例:某車間有28名工人參加生產(chǎn)某種特制的螺絲和螺母,已知平均每人每天只能生產(chǎn)螺絲12個或螺母18個,一個螺絲裝配兩個螺母,問應(yīng)怎樣安排生產(chǎn)螺絲和螺母的工人,才能使每天的產(chǎn)品正好配套?(答案:12人生產(chǎn)螺絲,16人生產(chǎn)螺母解:設(shè)每天安排x人生產(chǎn)螺絲,y人生產(chǎn)螺母,3、速度問題:解這類問題的基本關(guān)系式是:路程=速度×時間.一般又分為相遇問題、追及問題及環(huán)形道路問題。例:某人從甲地騎車出發(fā),先以12

7、km/h的速度下山坡,后以9km/h的速度過公路到達乙地,共用55min;返回時,按原路先以8km/h的速度過公路,后以4km/h的速度上山坡回到甲地,共用1h30min,問甲地到乙地共多少千米?(答案:9km 解:設(shè)甲地到乙地山坡路為x km,公路為y km.例:一列快車長70m,一列慢車長80m,若兩車同向而行,快車從追上慢車開始到離開慢車,需要1min;若兩車相向而行,快車從與慢車相遇到離開慢車,只需要12s,問快車和慢車的速度各是多少?(答案:快車的速度是7.5m/s,慢車的速度是5m/s解:設(shè)快車的速度是x m/s,慢車的速度是y m/s,例:甲、乙兩人在200m的環(huán)形跑道上練習(xí)競走

8、,乙的速度比甲快,當他們都從某地同時背向行走時,每隔30s種相遇一次;同向行走時,每隔4分鐘相遇一次,求甲、乙兩人的競走速度.(答案:甲175m/min,乙225m/min 解:設(shè)甲的速度為xm/min,乙的速度為ym/min,4、航速問題:此類問題分水中航行和風(fēng)中航行兩類,基本關(guān)系式為:順流(風(fēng):航速=靜水(無風(fēng)中的速度+水(風(fēng)速逆流(風(fēng):航速=靜水(無風(fēng)中的速度-水(風(fēng)速例:甲輪從A碼頭順流而下,乙輪從B碼頭逆流而上,兩輪同時相向而行,相遇于中點,而乙輪順流航行的速度是甲輪逆水航行的速度的2倍,已知水流速度是4km/h,求兩輪在靜水中的速度.(答案:甲20km/h,乙 28km/h解:設(shè)甲

9、輪在靜水中的速度為x km/h,乙輪在靜水中的速度為y km/h,5、工程問題:解這類問題的基本關(guān)系式是:工作量=工作效率×工作時間.一般分為兩類,一類是一般的工程問題,一類是工作總量為1的工程問題.例:一批機器零件共840個,如果甲先做4天,乙加入合做,那么再做8天才能完成;如果乙先做4天,甲加入合做,那么再做9天才能完成,問兩人每天各做多少個機器零件?(答案:50個、30個解:設(shè)甲每天做x個機器零件,乙每天做y個機器零件,例:一項工程,甲隊單獨做要12天完成,乙隊單獨做要15天完成,丙隊單獨做要20天完成.按原定計劃,這項工程要求在7天內(nèi)完成,現(xiàn)在甲、乙兩隊先合做若干天,以后為加

10、快速度,丙隊也同時加入這項工作,這樣比原定時間提前一天完成任務(wù).問甲、乙兩隊合做了多少天?丙隊加入后又做了多少天?(答案:4天,2天解:設(shè)甲、乙兩隊先合做了x天,丙隊加入后又做了y天,6、增長率問題:解這類問題的基本等量關(guān)系式是:原量×(1+增長率=增長后的量,原量×(1-減少率=減少后的量.例:某中學(xué)校辦工廠今年總收入比總支出多30000元,計劃明年總收入比總支出多69600元,已知計劃明年總收入比今年增加20%,總支出比今年減少8%,求今年的總收入和總支出.(答案:150000元,120000元解:設(shè)今年的總收入為x元,總支出為y元,7、盈虧問題:解這類問題關(guān)鍵是從盈(

11、過剩、虧(不足兩個角度來把握事物的總量.例:為了迎接新學(xué)期開學(xué),某服裝廠趕制一批校服,要求必須在規(guī)定時間內(nèi)完成,在生產(chǎn)過程中,如果每天生產(chǎn)50套,這將還差100套不能如期完成任務(wù);如果每天生產(chǎn)56套,就可以超額完成80套,問原計劃生產(chǎn)校服的套數(shù)及原計劃規(guī)定多少天完成?(答案:1600套,30天解:設(shè)原計劃生產(chǎn)x套校服,原計劃規(guī)定生產(chǎn)y天,8、數(shù)字問題:解這類問題,首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)數(shù)的概念、特征及其表示.如當n為整數(shù)時,奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1,偶數(shù)可表示為2n等.有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為:兩位數(shù)=十位數(shù)字×10+個位數(shù)字.例:一個兩位數(shù)的個位數(shù)字比十

12、位數(shù)字大5,如果把個位數(shù)字與十位數(shù)字對換,所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)相加的和為143,求這個兩位數(shù).(答案:49 解:設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x,十位數(shù)字為y,9、幾何問題:解這類問題:根據(jù)圖形的特征,基本關(guān)系是有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積、體積公式等計算公式.例:有兩個長方形,第一個長方形的長與寬之比為54,第二個長方形的長與寬之比為32,第一個長方形的周長比第二個長方形的周長大112cm,第一個長方形的寬比第二個長方形的長的2倍還大6cm,求這兩個長方形的面積.(答案:1620,150解:設(shè)第一個長方形的長與寬分別為5xcm和4xcm,第二個長方形的長與寬分別為3ycm 和2ycm,10、年齡問題:解這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)相等,兩人的年齡差是永遠不會變的.例:師傅對徒弟說:“我像你這樣大時,你才4歲,將來當你像我這樣大時,我已經(jīng)是52歲的老人了”.問這位師傅與徒弟現(xiàn)在的年齡各是多少歲?(答案:36歲,20歲有三種算法1、設(shè)師傅年齡為X,徒弟年齡為Y,根據(jù)題意得:Y-(X-Y=4.,x+(x-y=52,2、設(shè)兩人年齡差為X,師傅為Y,根據(jù)題意得:Y=4+2X,52=Y+X3、設(shè)兩人年齡差為X,徒弟年齡為Y,根據(jù)題意得:Y=X+4,52=Y+2X11、經(jīng)濟類問題:即利息=本金×利率