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文檔簡介
1、沖量和動量定理3-1質(zhì)量m=10kg的物體在力Fx=30+4t N的作用下沿x軸運(yùn)動,試求(1)在開始2s內(nèi)此力的沖量I;(2)如沖量I=300N·s,此力的作用時(shí)間是多少?(3)如物體的初速v1=10m/s,在t=6.86s時(shí),此物體的速度v2為多少?解:(1) (2) ,(3) ,圖3-210Ot/sF/N573-2質(zhì)量m=1kg的物體沿x軸運(yùn)動,所受的力如圖3-2所示。t=0時(shí),質(zhì)點(diǎn)靜止在坐標(biāo)原點(diǎn),試用牛頓定律和動量定理分別求解t=7s時(shí)此質(zhì)點(diǎn)的速度。解:(1) , ,(2) ,動量守恒定律3-3兩球質(zhì)量分別為m1=3.0g, m2=5.0g,在光滑的水平桌面上運(yùn)動,用直角坐標(biāo)
2、xOy描述運(yùn)動,兩者速度分別為,若碰撞后兩球合為一體,則碰撞后兩球速度的大小為多少?與x軸的夾角為多少?解:系統(tǒng)動量守恒 , ,與軸夾角 mMR圖3.43-4如圖3-4所示,質(zhì)量為M的1/4圓弧滑槽停在光滑的水平面上,一個質(zhì)量為m的小物體自圓弧頂點(diǎn)由靜止下滑。求當(dāng)小物體滑到底時(shí),圓弧滑槽在水平面上移動的距離。解:系統(tǒng)在水平方向動量守恒 ,兩邊對整個下落過程積分 令和分別為和在水平方向的移動距離,則,。又 ,所以 另解:相對于在水平方向的速度 。對整個下落過程積分,在水平方向的移動距離 質(zhì)心 質(zhì)心運(yùn)動定律OyxR圖3-53-5求半徑為R的半圓形勻質(zhì)薄板的質(zhì)心(如圖3-3所示)。解:設(shè)薄板質(zhì)量為,
3、面密度為。由質(zhì)量分布對稱性知,質(zhì)心在軸上。在距點(diǎn)為的地方取一寬度為細(xì)長條,對應(yīng)的質(zhì)量,由質(zhì)心定義3-6一根長為L,質(zhì)量均勻的軟繩,掛在一半徑很小的光滑釘子上,如圖3-6所示。開始時(shí),BC=b,試用質(zhì)心的方法證明當(dāng)BC=2L/3時(shí),繩的加速度為a=g/3,速率為。CBb圖3-6解:由軟繩在運(yùn)動方向的受力和牛頓定律,另解(用質(zhì)心)當(dāng)時(shí),鏈系的質(zhì)心為 當(dāng)時(shí),鏈系的質(zhì)心為 又重力的功等于物體動能的增量,角動量(動量矩)及其守恒定律3-7 已知質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在半徑為r的圓軌道上運(yùn)行,其角動量大小為L,求它的動能、勢能和總能量。(引力勢能,為萬有引力常數(shù))解:,設(shè)地球質(zhì)量,由牛頓定律 ,3-8質(zhì)量為m
4、的質(zhì)點(diǎn)在xOy平面內(nèi)運(yùn)動,其位置矢量為,其中為常量,求(1)質(zhì)點(diǎn)動量的大小;(2)質(zhì)點(diǎn)相對于原點(diǎn)的角動量。解:(1) ,(2) 3-9質(zhì)量均為m的兩個小球a和b固定在長為l的剛性輕質(zhì)細(xì)桿的兩端,桿可在水平面上繞O點(diǎn)軸自由轉(zhuǎn)動,桿原來靜止?,F(xiàn)有一個質(zhì)量也為m的小球c,垂直于桿以水平速度與b球碰撞(如圖3-9所示),并粘在一起。求(1)碰撞前c球相對于O的角動量的大小和方向;(2)碰撞后桿轉(zhuǎn)動角速度。Ombca解:(1) 方向垂直紙面向下。mm(2) 系統(tǒng)對點(diǎn)的角動量守恒。設(shè)碰撞后桿的角速度為,則l/4l圖3.9 ,功和動能定理3-10一人從10m深的井中提水,已知水桶與水共重10kg,求(1)勻
5、速上提時(shí),人所作的功;(2)以a=0.1m/s2勻加速上提時(shí),人所作的功;(3)若水桶勻速上提過程中,水以0.2kg/m的速率漏水,則人所作的功為多少?解:(1) ,(2) ,(3) ,3-11質(zhì)量m=6kg的物體,在力Fx=3+4x N的作用下,自靜止開始沿x軸運(yùn)動了3m,若不計(jì)摩擦,求(1)力Fx所作的功;(2)此時(shí)物體的速度;(3)此時(shí)物體的加速度。解:(1) (2) 由動能定理 ,(3) 由牛頓定律 3-12質(zhì)量為m的物體自靜止出發(fā)沿x軸運(yùn)動,設(shè)所受外力為Fx=bt,b為常量,求在T s內(nèi)此力所作的功。解:由牛頓定律 ,時(shí),由動能定理 另解:,保守力的功和勢能3-13質(zhì)量為m的小球系在
6、長為l的輕繩一端,繩的另一端固定,把小球拉至水平位置,從靜止釋放,如圖3-13所示,當(dāng)小球下擺角時(shí),(1)繩中張力對小球做功嗎?合外力對小球所做的功為多少?(2)在此過程中,小球勢能的增量為多少?并與(1)的結(jié)果比較;(3)利用動能定理求小球下擺角時(shí)的速率。OOO圖3-13解:(1) ,張力對小球不做功。(2) ,可見重力的功等于小球勢能增量的負(fù)值。(3) 由動能定理 ,3-14質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸正方向運(yùn)動,它受到兩個力的作用,一個力是指向原點(diǎn)、大小為 B 的常力,另一個力沿 x 軸正方向、大小為 A/x2,A、B為常數(shù)。(1)試確定質(zhì)點(diǎn)的平衡位置;(2)求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從平衡位置運(yùn)動到任意
7、位置 x 處時(shí)兩力各做的功,并判斷兩力是否為保守力;(3)以平衡位置為勢能零點(diǎn),求任意位置處質(zhì)點(diǎn)的勢能。解:(1) ,時(shí),(2) , 、只與始末位置有關(guān),即兩力均為保守力。(3) 功能原理和機(jī)械能守恒3-15 如圖3-15所示,一質(zhì)量為 m 的物塊放置在斜面的最底端A處,斜面的傾角為 a ,高度為 h,物塊與斜面的動摩擦因數(shù)為m ,今有一質(zhì)量為 m 的子彈以速度沿水平方向射入物塊并留在其中,且使物塊沿斜面向上滑動,求物塊滑出頂端時(shí)的速度大小。haA圖3.15解:以物塊和子彈為研究對象,碰撞前后系統(tǒng)沿平行斜面方向動量守恒子彈射入物塊后的速度大小為,則,取斜面底部為勢能零點(diǎn),物塊滑出頂端時(shí)的速度大
8、小為,由功能定理3-16 勁度系數(shù)為 k 的輕質(zhì)彈簧,一端固定在墻上,另一端系一質(zhì)量為 mA 的物體A,放在光滑水平面上,當(dāng)把彈簧壓縮 x。后,再靠著 A 放一質(zhì)量為 mB 的物體B ,如圖3-16所示。開始時(shí),由于外力的作用系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài),若撤去外力,試求 A 與 B 離開時(shí)B運(yùn)動的速度和A能到達(dá)的最大距離。解:(1) 彈簧到達(dá)原長時(shí)開始減速,、分離。ABOx0x圖3-16設(shè)此時(shí)速度大小為,由機(jī)械能守恒,(2) 、分離后,繼續(xù)向右移動到最大距離處,則,Rq圖3.173-17 如圖3-17所示,天文觀測臺有一半徑為R的半球形屋面,有一冰塊從光滑屋面的最高點(diǎn)由靜止沿屋面滑下,若摩擦力略去不計(jì)。求此冰塊離開屋面的位置以及在該位置的速度。解:由機(jī)械能守恒 ,冰塊離開屋面時(shí),由牛頓定律,碰撞3-18一質(zhì)量為m0以速率v0運(yùn)動的粒子,碰到一質(zhì)量為2 m0的靜止粒子。結(jié)果,質(zhì)量為m0的粒子偏轉(zhuǎn)了450,并具有末速v0/2。求質(zhì)量為2 m0的粒子偏轉(zhuǎn)后的速率和方向。解:碰撞前后動量守恒 ,3-19圖3-19所示,一質(zhì)量為m的小球A與一質(zhì)量為M的斜面體B發(fā)生完全彈性碰撞。(1)若斜面體放置在光滑的水平面上,小球碰撞后豎直彈起,則碰撞后斜面體和小球的運(yùn)動速度大小各為多少?(2)若斜面體固定在水平面上,碰撞后小球運(yùn)動的速度大小為多少?運(yùn)動方向與水平方向的夾角為多少?AB
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