數(shù)學基礎(chǔ)知識與典型例題復習排列組合概率與統(tǒng)計

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學基礎(chǔ)知識與典型例題（第十章排列、組合、概率與統(tǒng)計）排列與組合1分類計數(shù)原理: 完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，在第n類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有N= n1+n2+n3+nM種不同的方法2.分步計數(shù)原理:完成一件事,需要分成n個步驟,做第一步有種不同的方法,做第二步有種不同的方法,做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=n1·n2·n3·nM 種不同的方法注：分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心，既可用來推導排列數(shù)、組合數(shù)公式，也可用來直接解題。它們的共

2、同點都是把一個事件分成若干個分事件來進行計算。只不過利用分類計算原理時，每一種方法都獨立完成事件；如需連續(xù)若干步才能完成的則是分步。利用分類計數(shù)原理，重在分“類”，類與類之間具有獨立性和并列性；利用分步計數(shù)原理，重在分步；步與步之間具有相依性和連續(xù)性.比較復雜的問題，常先分類再分步。3.排列的定義：從n個不同的元素中任取m(mn)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.排列數(shù)的定義: 從n個不同元素中取出m(mn)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. 從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數(shù)， 用符號表示. 其中n，m，并且mn排列數(shù)公

3、式: 當m=n時，排列稱為全排列，排列數(shù)為= 記為n!, 且規(guī)定O!=1.注： ; 4.組合的定義: 從n個不同的元素中任取m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.組合數(shù)的定義: 從n個不同的元素中取出m(mn)個元素的所有組合數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)用符號表示.組合數(shù)公式: .規(guī)定，其中m，nN+，mn.注: 排列是“排成一排”，組合是“并成一組”, 前者有序而后者無序.排列與組合組合數(shù)的兩個性質(zhì): 從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出 n-m個元素的方法是一一對應(yīng)的，因此是一樣多的. 根據(jù)組合定義與加法

4、原理得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有C種，依分類原理有. 5解排列、組合題的基本策略與方法()排列、組合問題幾大解題方法：直接法; 排除法;捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”;插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元

5、素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.調(diào)序法：當某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法. ()排列組合常見解題策略：特殊元素優(yōu)先安排策略； 合理分類與準確分步策略；排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；正難則反，等價轉(zhuǎn)化策略； 相鄰問題插空處理策略；不相鄰問

6、題插空處理策略； 定序問題除法處理策略；分排問題直排處理的策略； “小集團”排列問題中先整體后局部的策略；構(gòu)造模型的策略.6.二項式定理:對于，,這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的展開式.注:展開式具有以下特點：項數(shù)：共有項；系數(shù)：依次為組合數(shù)且每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，b的升冪排列展開.二項展開式的通項：的展開式第r+1為.二項式系數(shù)的性質(zhì).二項展開式中的叫做二項式系數(shù)在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等；即排列與組合二項展開式的中間項二項式系數(shù)最大且當時，二項系數(shù)是逐漸增大，當時，二項式系數(shù)是逐漸減小的()當n是偶數(shù)時,中

7、間項是第項,它的二項式系數(shù)最大;()當n是奇數(shù)時,中間項為兩項,即第項和第項,它們的二項式系數(shù)最大.系數(shù)和：所有二項式系數(shù)的和：;奇數(shù)項二項式系數(shù)的和偶數(shù)項而是系數(shù)的和: .如何來求展開式中含的系數(shù)呢？其中且把視為二項式，先找出含有的項，另一方面在中含有的項為，故在中含的項為.其系數(shù)為.二項式定理的應(yīng)用：解決有關(guān)近似計算、整除問題，運用二項展開式定理并且結(jié)合放縮法證明與指數(shù)有關(guān)的不等式。排列與組合例1. 3個班分別從5 個景點中選擇1處游覽，不同的選法種數(shù)是( )(A)5 (B)3 (C)A (D)C例2. 5本不同的課外讀物分給5位同學,每人一本,則不同的分配方法有( )(A)20種 (B)

8、60種 (C)120種 (D)100種例3. 6個人排成一排，甲、乙、丙必須站在一起的排列種數(shù)為( ).(A)(B)(C) (D)例4. 如果集合A=x21，則組成集合A的元素個數(shù)有( ).(A)1個(B)3個(C)6個 (D)7個例5.如果的展開式中各項系數(shù)之和為128,則展開式中的系數(shù)是( )(A)7 (B) (C)21 (D)例6. 設(shè)(1+x)+(1+x)+(1+x)= a+ax+ax+ax則a= ( ) (A) C (B) C (C) 2C (D) C例7. 在的展開式中，的系數(shù)是( )(A)-297 (B)-252 (C)297 (D)207例8. 對于小于55的自然數(shù)，積(55-

9、n)(56-n)(68-n)(69-n)等于 ( )(A)A (B)A (C)A (D)A例9. 若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+a8x8+a9x9，則a1+a2+a8的值為_.排列與組合例10. 一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n3，nN)等份，種植紅、黃、藍三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.如圖1，圓環(huán)分成的3等份為a1，a2，a3，有多少不同的種植方法？如圖2，圓環(huán)分成的4等份為a1，a2，a3，a4，有多少不同的種植方法？如圖3，圓環(huán)分成的n等份為a1，a2，a3，an，有多少不同的種植方法？概率1.隨機事件及其概率

10、:必然事件:在一定的條件下必然要發(fā)生的事件,叫做必然事件.不可能事件: 在一定的條件下不可能發(fā)生的事件,叫做不可能事件.隨機事件: 在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做隨機事件.隨機事件的概率:一般地,在大量重復進行同一試驗時,事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù),在它附近擺動,這時就把這個常數(shù)叫做事件的概率,記作.概率從數(shù)量上反映了一個事件的可能性的大小,它的取值范圍是,必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.2.等可能事件的概率:基本事件:一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件.等可能事件的概率:如果一次試驗由個基本事件組成,而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一

11、個基本事件的概率都是,如果某個事件包含的結(jié)果有個,那么事件的概率為.3.互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：.對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件. 對立事件的概率和等于1：. 互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件. 從集合的角度看，由事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集I中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集. 概率4. 相互獨立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個事

12、件叫做相互獨立事件.注: 獨立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實驗來講的多個事件，且這多個事件不能同時發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨立事件.兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A·B)=P(A)·P(B). 證明：設(shè)甲試驗共有N1種等可能的不同結(jié)果，其中屬于A發(fā)生的結(jié)果有m1種，乙試驗共有N2種等可能的不同結(jié)果，其中屬于B發(fā)生的結(jié)果有m2種，由于事件A與B相互獨立，N1，m1與N2，m2之間是相互沒有影響的，那么，甲、乙兩試驗的結(jié)果搭配在一起，總共有N1·N2種不同的搭配，顯然這些搭配都是具有等可

13、能性的.另外，考察屬于事件AB的試驗結(jié)果，顯然，凡屬于A的任何一種試驗的結(jié)果同屬于B的任何一種乙試驗的結(jié)果的搭配，都表示A與B同時發(fā)生，即屬于事件AB，這種結(jié)果總共有m1·m2種.因此得：P(AB)·, P(AB)P(A)P(B)注:當兩個事件同時發(fā)生的概率P（AB）等于這兩個事件發(fā)生概率之和，這時我們也可稱這兩個事件為獨立事件.推廣:如果事件相互獨立,那么獨立重復試驗：若n次重復試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果，則稱這n次試驗是獨立的. 如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率：.(注:此式為二項式(1

14、-P)+Pn展開式的第k+1項.)注: 一般地，如果事件A與B相互獨立，那么A 與與B，與也都相互獨立.對任何兩個事件都有概率例11. 10張獎券中只有3張有獎，5個人購買，至少有1人中獎的概率是( )(A) (B) (C) (D)例12. 2006年6月7日,甲地下雨的概率是0.15，乙地下雨的概率是0.12.假定在這天兩地是否下雨相互之間沒有影響,那么甲、乙都不下雨的概率是( )(A) 0.102 (B) 0.132 (C) 0.748 (D) 0.982例13. 從1，2，9這九個數(shù)中，隨機抽取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是( )(A) (B) (C) (D)例14. 袋中有

15、紅球、黃球、白球各1個，每次任取一個，有放回地抽取3次，則下列事件中概率是的是( )(A)顏色全相同 (B)顏色不全相同 (C)顏色全不同 (D)顏色無紅色例15. 袋中裝有白球和黑球各3個，從中任取2球，在下列事件中：(1)恰有1個白球和恰有2個白球；(2)至少有1個白球和全是白球；(3)至少有1個白球和至少有1個黑球；(4)至少有1個白球和全是黑球。是對立事件的為( )(A) (1) (B) (2) (C) (3) (D) (4)例16. 甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是p1，乙解決這個問題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個問題的概率是了( )(A) (B) (C)(D

16、)例17. 某班有50名學生，其中 15人選修A課程，另外35人選修B課程從班級中任選兩名學生,他們是選修不同課程的學生的概率是 (結(jié)果用分數(shù)表示)概率例18. 某商場開展促銷抽獎活動，搖出的中獎號碼是8，2，5，3，7，1，參加抽獎的每位顧客從09這10個號碼中任意抽出六個組成一組，若顧客抽出的六個號碼中至少有5個與搖出的號碼相同(不計順序)即可得獎，則中獎的概率是_(用數(shù)字作答)例19. 某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.有下列結(jié)論：他第3次擊中目標的概率是0.9；他恰好擊中目標3次的概率是0.93×0.1；他至少擊中

17、目標1次的概率是1-0.14.其中正確結(jié)論的序號是_ (寫出所有正確結(jié)論的序號).例20. A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子（x、y、z0，且），B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球比顏色，規(guī)定同色時為A勝，異色時為B勝.（1）用x、y、z表示B勝的概率；（2）當A如何調(diào)整箱子中球時，才能使自己獲勝的概率最大？隨機變量與統(tǒng)計 1.隨機試驗:試驗如果滿足下述條件：試驗可以在相同的情形下重復進行；試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.它就被稱為一

18、個隨機試驗.如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量,如果隨機變量可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.注:若隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量.2. 離散型隨機變量：設(shè)離散型隨機變量可能取的值為：取每一個值的概率，則表稱為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.P有性質(zhì)； .3. 稱為的數(shù)學期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學期望又簡稱期望.數(shù)學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.注: 隨機變量的數(shù)學期望： 隨機變量與統(tǒng)計4. 方差、標準差：當已知隨機變量的分布列為時，則稱為的方差. 顯然，故為的根方差或標準差.隨機變量的方差與標準

19、差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.越小，穩(wěn)定性越高，波動越小.注:隨機變量的方差.（a、b均為常數(shù)）期望與方差的轉(zhuǎn)化： 5. 二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：其中 于是得到隨機變量的概率分布如下：01P我們稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作B（n,p），其中n，p為參數(shù)，并記.注:對二項分布有,6. 幾何分布: 在獨立重復試驗中一次隨機試驗中某事件發(fā)生的概率是,該事件第一次發(fā)生時所做試驗的次數(shù)是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機變量. “”表示在第次獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生. 于是得到隨機變量的概率分布如下

20、: ()123則稱這樣的隨機變量服從幾何分布,并記,其中,.注：如果隨機變量服從幾何分布即 , 則.7.常用的抽樣方法有：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三種.類 別共同點不同點聯(lián) 系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等從總體中逐個抽取是后兩種方法的基礎(chǔ)總體個數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在超始部分抽樣時用簡單隨機抽樣總體個數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成隨機變量與統(tǒng)計8.總體分布的估計:用樣本估計總體,是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想方法,樣本容量越大,估計越準確.將總體與隨

21、機變量溝通后,就可以用概率的知識研究統(tǒng)計問題. 當總體中的個體取不同值很少時,其頻率分布表由所取的樣本的不同值及相應(yīng)的頻率來表示,其幾何表示就是相應(yīng)的條形圖. 當總體中的個體取不同值較多時,對其頻率分布的研究要用到整理樣本數(shù)據(jù)的知識,列出分組區(qū)間和各區(qū)間內(nèi)取值的頻數(shù)和頻率,其幾何表示就是相應(yīng)的頻率分布直方圖. 累積頻率分布是從另一個角度反映了一組數(shù)據(jù)分布的情況,因此在頻率分布表中常增設(shè)一列累積頻率,而且常在頻率分布直方圖下面畫出累積頻率分布圖.頻率分布將隨著樣本容量的增大而更加接近總體分布,當樣本容量無限增大且分組的組距無限縮小時,則頻率分布直方圖趨近于總體密度曲線時,相應(yīng)的累積頻率分布圖也會

22、趨近于一條光滑曲線,即累積分布曲線. 生產(chǎn)過程中的質(zhì)量控制圖: 通過生產(chǎn)過程中的質(zhì)量控制圖,了解統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的基本思想,明確正態(tài)總體及其概率密度函數(shù)的概率,掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,并了解 “小概率事件”的概念和它在一次試驗中不可能發(fā)生的思想.9. 正態(tài)分布.（基本不列入考試范圍）()密度曲線與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機變量，如圖位于x軸上方的曲線叫的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)叫做的密度函數(shù), 則落在任一區(qū)間內(nèi)的概率等于它與x軸和直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分）.由于“”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1. ()正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機變量的概率密度為：.

23、（為常數(shù)，且），稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用表示.的表達式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.正態(tài)分布的期望與方差：若，則的期望與方差分別為：.正態(tài)曲線的性質(zhì).曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關(guān)于直線對稱.當時曲線處于最高點，當x向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當時，曲線上升；當時，曲線下降，并且當曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.當一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.().標準正態(tài)分布：如果隨機變量的概率函數(shù)為，則稱服從標準正態(tài)分布. 即有，求出

24、，而P（ab）的計算則是.隨機變量與統(tǒng)計注意：當標準正態(tài)分布的的x取0時，有當?shù)膞取大于0的數(shù)時，有.比如則必然小于0，如圖. 正態(tài)分布與標準正態(tài)分布間的關(guān)系：若則的分布函數(shù)常用表示，且有. 注:一般正態(tài)分布,均可化為標準正態(tài)總體來進行研究.若,只需作變換,就可使,有公式.若,則=() “3”原則.假設(shè)檢驗是就正態(tài)總體而言的，進行假設(shè)檢驗可歸結(jié)為如下三步：提出統(tǒng)計假設(shè)，統(tǒng)計假設(shè)里的變量服從正態(tài)分布.確定一次試驗中的取值是否落入范圍.做出判斷：如果，接受統(tǒng)計假設(shè). 如果，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計假設(shè).“3”原則的應(yīng)用：若隨機變量服從正態(tài)分布則 落在內(nèi)的概率為99.7 亦即落在之外的概率為0

25、.3，此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，就說明此種產(chǎn)品不合格（即不服從正態(tài)分布）.10. 線性回歸: （基本不列入考試范圍）回歸分析是研究兩個或兩個以上變量之間相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計方法。嚴格說來，相關(guān)關(guān)系分為兩種，對兩個自變量來說，如果它們都是隨機的，稱它們?yōu)橄嚓P(guān)關(guān)系；如果其中一個是可以控制的，非隨機的，另一個是隨機的，稱這種關(guān)系為回歸關(guān)系。由一個非隨機的變量來估計或預測另一個隨機變量的觀測值，所建立的數(shù)學模型及進行的統(tǒng)計分析，稱為一元回歸分析，如果這個數(shù)學模型是線性的則稱為一元線性回歸分析。盡管具有相關(guān)性的變量間的關(guān)系不確定，但可以通過大量試驗來找出它們之間的統(tǒng)計規(guī)律性，然后用一個函數(shù)關(guān)系近似

26、地描述它們，而且這個函數(shù)是線性的，則稱它為線性回歸函數(shù)。實際上在用相關(guān)系數(shù)判定出變量之間線性相關(guān)后，一般能用很多條直線來近似地表示x與y這兩個變量間的線性關(guān)系，因此存在一條最合適的直線，這條直線用著名的“最小二乘法”可以求解，課本的閱讀材料就是“最小二乘法”的運用。 散點圖:表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖.隨機變量與統(tǒng)計例21. 對于一組數(shù)據(jù) (i=1，2，3，n)，如果將它們改變?yōu)閏(i=1，2，3，n)，其中c0，則下面結(jié)論中正確的是( ) (A)平均數(shù)與方差均不變 (B)平均數(shù)變了，而方差保持不變(C)平均數(shù)不變，而方差變了 (D)平均數(shù)與方差均發(fā)生了變化例22.

27、已知的分布列為（如表所示）, 且設(shè)，則的期望值是（）(A) (B) (C)1(D) 例23. 設(shè)隨機變量的概率分布列為P(=i)=則a的值是( ) 例24. 已知，E=8，D=1.6，則n與p的值分別為（ ）(A)10和0.8 (B)20和0.4 (C)10和0.2 (D)100和0.8例25. 從含有6個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本，“每次抽取一個個體時任一個體a被抽到的概率”與“在整個抽樣過程中個體a被抽到的概率”為（ ）(A)均為 (B)均為(C)第一個為，第二個為 (D)第一個為，第二個為例26. 某高校為了解學生家庭經(jīng)濟收入情況，從來自城鎮(zhèn)的150名學生和來自農(nóng)村的150名學生中抽取100名學生的樣本；某車間主任從100件產(chǎn)品中抽取10件樣本進行產(chǎn)品質(zhì)量檢驗I隨機抽樣法；分層抽樣法上述兩問題和兩方法配對正確的是（）(A)配I，配 (B)配，配 (C)配I，配I(D)配，配例27. 某校高中生有900人，其中高一年級300人，高二年級200人，高三年級400人，現(xiàn)采取分層抽樣法抽取容量為45人的樣本，那么高一、高二、高三年級抽取的人數(shù)分別為( )(A)15，5，25 (B)15，15，15 (C)10，5，30 (D)15，10，20