曲線積分復習題答案知識分享

1、曲線積分復習題答案精品文檔曲線積分2 j y )ds.、第一類曲線積分1.設平面曲線L為下半圓周yV1x2,求L(x2收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系管理員刪除解：曲線L：xcost,ysint,t,2,ds1dt,L(x2y2)ds2dt2.設一段錐面螺線L：xetcost,yeet0t2冗上點x,y,z處的線密度為x,y,zx2=,求該構件的質量.z解：計算微分ds.x(t)2y(t)2z(t)2dt(etcostetsint)2(etsintetcost)2e2tdt2t 2 . 2t,2(e cos t esin21)e2tdt.3e2tdt.3etdt3.計算L2yds,解：Li:yML(

2、x,y)ds其中L是拋物線yx2上點2x,x0,1,ds14x2dx,23e2tdt0.2e2t(0,0)與:蘇也奴飛220xv14x2dx3262(1,1)之間一段弧.1d2.8x.14xdx0.2122.14xd(14x)80、23259五(5,594.設一折線型構件占有xoy面上曲線弧L,L為連接點A(2,0),0(0,0)與點B(0,3)的折線段，且在曲33線L上點x,y處的線密度為x,yx3y3,求該構件的質量.解：Ml(x,y)ds,LL1L2,L1是先沿直線從點A(2,0)到點0(0,0),L1:y0,x:20,cc2c(x,y)ds(xy)ds(x0).10dxL1L10L2是

3、沿直線點從0(0,0)到點B(0,3),L2：x0,y:03,L2(x,y)dsL2(x3y3)ds：(y30).10dy814，ML(x,y)ds81497解：L：xacost,yasint,t0,dsadt.Lexyds4eaadt0aaaaee.44、第二類曲線積分r6.設一質點在力Frryixj的作用下，沿圓周xRcost,yRsint上由t10至1Jt2的一段弧移動作的功2L為:Rcostt:0.dxRsint2Rsintdt,dyRcostdt,Lydxxdy02Rsint(Rsint)dtRcostRcostdt/2R20.2,2,sintcostdt_2_.Rcos2tdt1R

4、2sin2t27.計算Lx3ydy,其中L是拋物線yx2上從點（0,0）到點（1,1）的一段弧.解：L:yx2,x:01,dy3,2xdx,lxydy132xx2xdx02x778.計算L(xy)dx(yx)dy,其中(DL是先沿直線從點（1,1）到點（1,2）,然后再沿直線到點（4,2）的折線.(2)L是拋物線y2x上從點（1,1）到點（4,2）的一段弧解:（1）Li是先沿直線從點（1,1）到點（1,2）,L1:x1,y:12,Li(X2y)dx(yx)dy1(1y)0(y1)dyL2是沿直線點從（1,2）到點（4,2）,L2:y2,(2)L3：x9.設有L(xL2y)dx(y2,2/21(

5、y平面力場到點2a,0所作的功W1,解：曲線L：xaacost4x)dy1(x2)dx272，27L(xy)dx(yx)dy=14L(xy)dx(yx)dy、c,2、，2y)2ydy(yy)dy1(2y3、，,14y)dy(-y133yi,將一質點沿曲線L:22(xa)yy2)3430從點a,a移動Wl-22,.xaydx0(a2)(2asint)dta31,a110.設一質點在力Fyizjxk的作用下,從點A0,1,2沿直線段移動到點B2,3,5,求力F作的功W.解：直線AB的方程為:x2t,y2t1,z3t2,點A0,1,2對應t0,點B2,3,5對應t1,t:01,Wlydx1zdyxd

6、zo(2t1)2dt(3t2)2dt2t3dt14、格林公式及積分與路徑無關11.計算?L(x42xy3y)dx(x2y2)dy,其中L是曲線x2y22y取順時針方向.解：P(x,y)x42xy3y,Q(x,y)x22Pc。Qy,2x3,?L(x422xy3y)dx(xy2)dyQP()ddxy3dD12.計算曲線積分ILexsiny2xdx/x(ecosyx)dy,其中L為曲線y。1x2上點A(1,0)沿逆時針方向到點B(1,0)的一段弧.-P解：yQx/cosy,ecosy1,x,用格林公式，添加直線段BA,形成封閉曲線L直線段BA:13.設Lx2解：P(x,y)x?lesiny2xdx2

7、x，逆時針方向,ysinx,Q(x,y)?ysinxdxcosxdy014.設一變力在坐標軸上投影Xx(ecosyx)dy(1)dD1d一d2xx_.esiny2xdx(ecosyL?LBA2求?ysinxdxcosxdy.cosx,42xyy此場內移動時場力所作的功與路徑無關；(3,2)x)dy12xdx01sinx，所以曲線積分與路徑無關，xYx24xy3,這力確定了一個力場.證明(1)質點在求質點從點A(1,0)移動到點B(2,1),該變力所作的功.解：功Wl(2xyy43)dx(x24xy3)dy,其中P(x,y)2xyy43,Q(x,y)x24xy3,2x4y3/,因為上Q,所以曲線

8、積分與路徑無關.即場力所作的功與路徑無關.xAO:yOB:x(2)求質點從點0,x:12,dy2,1,dxA(1,0)移動到點B(2,1),該變力所作的功.選擇折線段AOB42320,W1一(2xyy3)dx(x4xy)dy3dx3AO10,W2oB(2xy1y3)dx(x4xy)dy(48y)dy(4y2y)WW1W2515.計算L(x2y)dx(xsiny)dy,其中L為圓周yJ2xx2上由點O(0,0)到點B(1,1)的一段弧.解QP(x,y)Q(x,y)P.積分與路徑無關.y添加直線段OA:y0,1,y:01.(x2ABy)dx(xsiny)dy10(1siny)dy1ycosy)。cosl(x2OAy)dx(x16.設L為由2y,17.求-p解：yl(x2x0,xy)dx(xsiny)dy尿ABcosl2cosl2,y0,y3所圍成的逆時針方向的封閉折線，求2y,所以曲線積分與路徑無關，？L(1y2)dx2xydy0(2,0)x(00)ecosydxsinydy.exsiny,所以曲線積分與路徑無關.選擇線段OAyx0,x:0(2,0)(0,0)excosydx