圓錐曲線中離心率取值范圍的求解典型例題講解

1、圓錐曲線中離心率取值范圍的求解范圍問題是數(shù)學(xué)中的一大類問題，在高考試題中占有很大的比重，圓錐曲線中離心率取值范圍問題也是高考中解析幾何試題的一個(gè)倍受青睞的考查點(diǎn)，其求解策略的關(guān)鍵是建立目標(biāo)的不等式，建立不等式的方法一般有：利用曲線定義，曲線的幾何性質(zhì)，題設(shè)指定條件等策略一：利用曲線的定義例1若雙曲線橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） 例2雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（）策略二：利用曲線的幾何性質(zhì)例3已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） 例4已知雙曲線的右焦點(diǎn)

2、為，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ） 策略三：利用題設(shè)指定條件例5橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為若 ，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ） 例6設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)，使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） 例7已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為若雙曲線上存在點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 策略四：利用三角函數(shù)有界性例8雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ） 策略六：利用二次函數(shù)的性質(zhì)例9設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） 例10、已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓上存在

3、一點(diǎn)，使，求橢圓的離心率的取值范圍。策略一：利用曲線的定義例1若雙曲線橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） 【解析】 ，或（舍去），例2雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（）【解析】 而雙曲線的離心率，故選.【點(diǎn)評】例1、例2均是利用第二定義及焦半徑公式列出方程例1根據(jù)題設(shè)列出不等式；例2是根據(jù)的范圍將等式轉(zhuǎn)化為不等式，從而求解這種利用的范圍將等式轉(zhuǎn)化為不等式求參數(shù)范圍的方法是解析幾何常用的方法策略二：利用曲線的幾何性質(zhì)例已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） 【解析

4、】 由題，的軌跡為以焦距為直徑的圓，由總在橢圓內(nèi)部，知：，又，所以故選.【點(diǎn)評】利用圓的幾何性質(zhì)判定軌跡為圓，再利用橢圓和圓的幾何性質(zhì)解題一般地，時(shí)點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部；時(shí)點(diǎn)有4個(gè)在橢圓上；時(shí)有2個(gè)在橢圓上，就是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)例4已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ） 【解析】如圖與分別為與雙曲線的漸近線平行的兩條直線，直線為過且傾斜角為的直線，要使與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)使【點(diǎn)評】此處利用雙曲線幾何性質(zhì)，用所給定直線和漸近線的關(guān)系確定漸近線斜率范圍，從而求出離心率范圍策略三：利用題設(shè)指定條件例5橢圓的焦點(diǎn)為，兩

5、條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為若 ，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ） 【解析】 因?yàn)閮蓽?zhǔn)線距離為，又因?yàn)椋杂?，即，所以【點(diǎn)評】本題主要考查準(zhǔn)線方程及橢圓離心率的求法，而限制條件即是題目中的，故利用題設(shè)得到與離心率相關(guān)的不等式即可例6設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)，使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） 【解析】 設(shè)若為右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，可知，即，又在右準(zhǔn)線上可知，所以離心率的取值范圍為【點(diǎn)評】題設(shè)條件為幾何特殊關(guān)系時(shí)應(yīng)注意如何轉(zhuǎn)化幾何關(guān)系為代數(shù)關(guān)系，特別是和離心率相關(guān)的關(guān)系例7已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為若雙曲線上存在點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 【解析】（由正

6、弦定理得），又，由雙曲線性質(zhì)知，即，得，又，得【點(diǎn)評】此處的題設(shè)條件較前兩例復(fù)雜，但注意到正弦之比可以轉(zhuǎn)化為邊之比，故可進(jìn)而轉(zhuǎn)化為和離心率相關(guān)的不等式策略四：利用三角函數(shù)有界性例8雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ） 【解析】設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在右頂點(diǎn)處，【點(diǎn)評】根據(jù)第一定義結(jié)合余弦定理將離心率轉(zhuǎn)化為角的函數(shù)，再利用三角函數(shù)求最值策略五：利用三角形三邊關(guān)系例8也可用三角形的三邊關(guān)系求解，但注意取等條件如圖，在中(后者在與重合時(shí)取等)，又，則且，【點(diǎn)評】和焦點(diǎn)三角形相關(guān)的問題可以考慮用三角形三邊關(guān)系來建立不等式策略六：利用二次函數(shù)的性質(zhì)例9設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） 【解析】 ，根據(jù)