奧數(shù)新講義分式1學(xué)

1、分式 1一、分式基本概念及性質(zhì)分式的概念：當(dāng)兩個(gè)整數(shù)不能整除時(shí)，出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)；類似的當(dāng)兩個(gè)整式不能整除時(shí)，就出現(xiàn)了分式一般地，如果 A ， B 表示兩個(gè)整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式B整式與分式統(tǒng)稱為有理式在理解分式的概念時(shí)，注意以下兩點(diǎn)：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不為 0；分式必然是寫成兩式相除的形式，中間以分?jǐn)?shù)線隔開分式有意義的條件：兩個(gè)整式相除，除數(shù)不能為 0，故分式有意義的條件是分母不為 0，當(dāng)分母為 0 時(shí)，分式無意義如：分式 1 ，當(dāng) x ¹ 0 時(shí)，分式有意義；當(dāng) x = 0 時(shí)，分式無意義x分式的值為零：分式的值為零時(shí)，必須滿足分式的為

2、零，且分式的分母不能為零，注意是“同時(shí)”分式的基本性質(zhì)：分式的基本性質(zhì)：分式的與分母同時(shí)乘（或除以）一個(gè)不等于 0 的整式，分式的值不變上述性質(zhì)用公式可表示為： a = am ， a = a ¸ m （ m ¹ 0 ）bbmbb ¸ m注意：在運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，基于的前提是 m ¹ 0 ；強(qiáng)調(diào)“同時(shí)”，分母都要乘以或者除以同一個(gè)“非零”的數(shù)字或者整式；分式的基本性質(zhì)是約分和通分的理論依據(jù)【例 1】在下列代數(shù)式中，哪些是分式？哪些是整式？x2 - 2x + 12x + 4x + 13 - xa3 + a21x5a， (x + 2) ，t3， 2m ，2

3、3x2 - 2x - 1，x -1x3a1 x 為何值時(shí)，分式【例 2】有意義？11 + x1 +a2 - 4 要使分式1 + 3a 沒有意義，求 a 的值1 +2a【例 3】當(dāng) x 為何值時(shí)，下列分式的值為 0？x + 1xx2 - 1x2 + 3x2 + 2x - 3x2 - 4x + 1x - 3x + 7x - 1x2 + 2xx- 3【例 4】 若 x ， y 的值擴(kuò)大為原來的3 倍，下列分式的值如何變化？x + yx - yxyx - yx - yx2 + y2a2 - 3m2 - 2mn + n2【例 5】約分：2a3 - 6am2 - n2x + 1x2nm1通分：，x(x -

4、 1)x2 - 1x2 - 2x + 1m2 - mnn2 - mnm2 - n2二、分式運(yùn)算= a × c分式的乘法： a × cb db × d= a ´ d = a × d分式的除法： a ¸ cbdbcb × cn個(gè)aa × aanaa aa乘方： ( ) =×=（ n 為正整數(shù)）nbb × bn個(gè)bnbb bn個(gè)b整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)： am × an = am+n （ m 、 n 為整數(shù)） (am )n = amn （ m 、 n 為整數(shù)） (ab)n = anbn （ n

5、為整數(shù)） am ¸ an = am-n （ a ¹ 0 ， m 、 n 為整數(shù)）負(fù)整指數(shù)冪：一般地，當(dāng) n 是正整數(shù)時(shí)， a-n =1an（ a ¹ 0 ），即 a-n （ a ¹ 0 ）是 an 的倒數(shù)分式的加減法法則：同分母分式相加減，分母不變，把相加減， a ± b = a + bccc= ad ± bc = ad ± bc異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质皆偌訙p， a ± cbdbdbdbd分式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，后算加減，括號(hào)，括號(hào)內(nèi)先算結(jié)果以最簡形式- 62 (- b )2

6、 × (- a )3 ¸ (- b )4【例 6】 計(jì)算：4 - 4b2aa (4mn-3 )-2 ¸ (- 1 m2n)-322 (2a - a2aa -1 -2¸× () 的值，其中 a = 3【例 7】求a2 -1a + 1 a + 14a + 12¸a - 2 - 5(a + 2) ¸ ( a + 2)2 ，其中 a = 4【例 8】先化簡，再求值：(3a - 4)(a + 2)a2ax2 - y2xy + y2x = 3y4¸【例 9】已知：，求的值x2 - 2xy + y2x2 - xyab4x【例 1

7、0】已知與的和等于，求 a ， b x + 2x - 2x2 - 4mn8x【例 11】若對(duì)于 ±3以外的一切數(shù)，-=均成立，求 mn 3x - 3x2 - 9三 分式方程1、分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.正確判別一個(gè)方程是否為分式方程，關(guān)鍵要看這個(gè)方程是否有分母，并且分母中是否有未知數(shù). 目前所學(xué)的方程，主要有有理方程及無理方程兩類。有理方程中包括整式方程和分式方程.2、解分式方程的一般步驟首先要找到所有分母的最小公分母，去分母后化為整式方程，按照解整式方程的方法解出適合整式方 程的解，最后也是最一步，就是檢驗(yàn)，看是否有增根.3、對(duì)于分式方程的增根，可以從以下幾

8、個(gè)方面理解：（1） 增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程；（2） 增根不適合原分式方程，即使原分式方程至少有一個(gè)分母為 0；（3） 為了簡便，驗(yàn)根時(shí)通常只需要把求得的根代入所乘的最簡公分母，使最簡公分母為 0 的根就是原方程的增根.10030【例 12】解方程：=xx - 716x - 2x + 2+=【例 13】解方程4 -x - 2x - 216-= 1【例 14】解方程x + 2x2 - 4-105【例 15】解方程2 -+ 88x +1622x+ (1+) =2【例 16】解方程x - 2x - 2736+- x = x2 -1【例 17】解方程42x + 33x2 +10x+=【例

9、18】解方程x + 3x + 2x -11+ 3=【例 19】 （1）如果分式方程有增根，則求它的增根x - 2x - 2x - 81-=8 有增根，則求它的增根（2）如果分式方程x - 77 - xk - 5k -11+2 + x = x2 -1 有增根 x1，求 k 的值?！纠?20】關(guān)于 x 的方程ì 6 + 6 = 1ï xy2【例 21】解方程組 í 833ïïî x-=y10ì 4 + 5 = 0.(1)ïxy【例 22】 解方程組： íxy + 3ï-= 0.(2)ï&#

10、238; x + 4y - 3ìx + y -3= - 1ïx - y63【例 23】解方程組 íx + y2ï+= 3ïî2x - y【例 24】某校文藝演出隊(duì)到離校 15 千米的某地慰問演出.先遣隊(duì)與演出隊(duì)同時(shí)出進(jìn)速度是演出隊(duì)的 1.2 倍，以便提前到達(dá)做好準(zhǔn)備工作.求先遣隊(duì)與演出隊(duì)的行進(jìn)速度.【例 25】某校師生到距學(xué)校 20 千米的公路旁植樹，師生騎自行車先走，45 分鐘后，乙班的師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果兩班學(xué)生同時(shí)到達(dá)，已知汽車的速度是自行車速度的 2.5 倍，求兩種車的速度各是多少？【例 26】 要定期完成一件工程，甲單獨(dú)做正

11、好按期完成，乙單獨(dú)做要超期 3 天才能完成，現(xiàn)甲乙合作 2天，余下的由乙單獨(dú)做，剛好按期完成，求甲乙單獨(dú)做全部工程所需天數(shù)?！纠?27】打印一份稿件，甲打 30 分鐘后由乙繼續(xù)再打 25 分鐘就完成。第二次再打這份稿件，30 分鐘后由甲繼續(xù)再打 24 分鐘就完成。問甲、單獨(dú)打這份稿件各需多少分鐘。練習(xí) x 為何值時(shí)，分式 2x + 1 無意義？習(xí)題1.4x + 11 x 為何值時(shí)，分式有意義？x2 - 3x + 2x2 - 1x 為何值時(shí)，分式有意義？x + 1若 (m -1)(m - 3) = 0 ，求m 的值習(xí)題2.m2 - 3m + 2習(xí)題3.若 x ， y 的值擴(kuò)大為原來的3 倍，下列

12、分式的值如何變化？x2 + y22x33y3x2 - y2x2 - y23xy若1 - 3a = MN+習(xí)題4.是關(guān)于 a 的恒等式，求 M 、 N 的值a2 - 1a - 1a + 1x - 2a= 0 無解習(xí)題5.當(dāng) a時(shí)，方程x - 2y2 - 4 y + a= 0 時(shí)有增根，a 習(xí)題6.若去分母時(shí)，解關(guān)于 y 的方程y - 3x -1m=習(xí)題7.去分母，解方程時(shí)有增根，則 m 的值是（）x - 3x - 3A.3B.236C.1D.-1x + 5-= 0習(xí)題8.解方程：(x -1)4 - x3解方程： 1+=習(xí)題9.3 - xx - 31- x22x=+習(xí)題10.解方程：x - 5x

13、+ 6本章測試填空題：-5x2 y31- x2y=.1、約分：；-10x3 y2c2xcx2 - 2x1(a - b)3a24¸ (b - a )2 = +=；2、計(jì)算：a - 22 - aa12=3、方程：的 .x - 23x + 5x2a-= 2 有增根，那么 a 的值是.4、如果關(guān)于 x 的方程x - 3x - 33x - xy + 3y115、已知： += 2,則xy的值是.x - xy + y2x +1AB=+6、已知，則 A、B 的值為（）- 3x + 4(A、A1,B-1B、A1,B-1C、A-1,B1D、A2,B-27、若 p = q -1 ，那么 q 等于（）q +1p -1p +1-P +1A、B、C、D、1p + 1