第五章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)2014

1、5-1 剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量5-3 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 力矩的功力矩的功5-4 角動(dòng)量角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 理解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本物理量的定義和性質(zhì)；理解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本物理量的定義和性質(zhì)； 理解力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義；理解力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義； 掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量定理；掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量定理； 掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律和角動(dòng)量守恒定律。掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律和角動(dòng)量守恒定律。教學(xué)要求教學(xué)要求 5-1 5-1 剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和

2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、剛體一、剛體 （理想模型）（理想模型） 剛體上的任一直線，在各時(shí)刻的位置始終保持彼止平剛體上的任一直線，在各時(shí)刻的位置始終保持彼止平行的運(yùn)動(dòng)，叫做平動(dòng)。如車刀、活塞等。因?yàn)樵谄絼?dòng)時(shí)行的運(yùn)動(dòng)，叫做平動(dòng)。如車刀、活塞等。因?yàn)樵谄絼?dòng)時(shí)剛剛體上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都相同，各時(shí)刻各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、體上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都相同，各時(shí)刻各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度都相同，所以可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來處理。速度、加速度都相同，所以可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來處理。 二、平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的二種基本運(yùn)動(dòng)形態(tài)）二、平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的二種基本運(yùn)動(dòng)形態(tài)） 1 1、平動(dòng)平動(dòng) 在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物體

3、在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物體稱為稱為剛體?；蛘哒f運(yùn)動(dòng)中物體上任二點(diǎn)的間距不變。剛體?；蛘哒f運(yùn)動(dòng)中物體上任二點(diǎn)的間距不變。說明：說明： 1. 理想模型理想模型 ； 2. 在外力作用下，任意兩點(diǎn)間均不發(fā)生相對(duì)位移；在外力作用下，任意兩點(diǎn)間均不發(fā)生相對(duì)位移； 3. 內(nèi)力無窮大的特殊質(zhì)點(diǎn)系。內(nèi)力無窮大的特殊質(zhì)點(diǎn)系。 如果剛體上的任意一條直線的方位在運(yùn)動(dòng)中變了，則稱剛?cè)绻麆傮w上的任意一條直線的方位在運(yùn)動(dòng)中變了，則稱剛體作轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)的軸線可變也可不變，若軸線固定不動(dòng)，則體作轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)的軸線可變也可不變，若軸線固定不動(dòng)，則稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上的各點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)中都繞同稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。作定軸

4、轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上的各點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)中都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。而且，剛體上各點(diǎn)在相同時(shí)一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。而且，剛體上各點(diǎn)在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。2 2、轉(zhuǎn)動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)可視為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)?？梢暈槠絼?dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。 如車輪如車輪的運(yùn)動(dòng)。的運(yùn)動(dòng)。 下面觀看汽車車輪的運(yùn)動(dòng)。下面觀看汽車車輪的運(yùn)動(dòng)。再如：再如：描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量角位置、角位移角位置、角位移yx0P(t)P(t+dt)d運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：角位置角位置 ：位矢與：位矢與 ox 軸夾角。軸夾角。角位移角位移 d ：dt 時(shí)間內(nèi)角位置增量。時(shí)

5、間內(nèi)角位置增量。)(t 1 1、剛體上各質(zhì)點(diǎn)的角位移，角速、剛體上各質(zhì)點(diǎn)的角位移，角速度和角加速度均相同；度和角加速度均相同； 2 2、各質(zhì)點(diǎn)都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)、各質(zhì)點(diǎn)都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且作圓周運(yùn)動(dòng)。圓心在轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，且作圓周運(yùn)動(dòng)。圓心在轉(zhuǎn)軸上。軸上。三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)：3. 線量線量 與角量的關(guān)系與角量的關(guān)系2rararvrsnt yx0vrrv 方向垂直方向垂直 和和 組成的平面組成的平面v r2. 角速度、角速度、 角加速度角加速度t dd 22ddddtt定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。規(guī)定：規(guī)定： 位矢從位矢從o

6、 x 軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角位置軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角位置 為正，為正，反之，為負(fù)。反之，為負(fù)。若若 是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱為：是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱為：若若 是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱作：是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱作：勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)（或勻加速轉(zhuǎn)動(dòng))剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的公式與一維直線運(yùn)動(dòng)的公式相似：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的公式與一維直線運(yùn)動(dòng)的公式相似： axxv,00 為恒矢為恒矢 為恒值為恒值 a221202200 ttaxvvatvxatvv221202200 Example 1 1、一飛輪作減速運(yùn)動(dòng)，其角加速度與角速度關(guān)系、一飛輪作減速運(yùn)動(dòng)，其角加速度與角速度關(guān)系為為 ，k k為比例系數(shù)，設(shè)初始角速度為為比例系數(shù)

7、，設(shè)初始角速度為 。求：。求：飛輪角速度與時(shí)間的關(guān)系；飛輪角速度與時(shí)間的關(guān)系；當(dāng)角速度由當(dāng)角速度由 時(shí)，在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。時(shí)，在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。k0200Solution：kdtdtdtkd00kt 0lnkte0 tdtkd02kkt2ln21ln1dtedtddtdkt0kktekk2002ln0|k420在此時(shí)間內(nèi)車輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)在此時(shí)間內(nèi)車輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)= =kktdted2ln000成的平面內(nèi)。組與且在向的右手螺旋方至FrFr,一、力矩一、力矩 1 1、定義：、定義： 轉(zhuǎn)軸到力的作用點(diǎn)的矢徑與作用力的叉積。轉(zhuǎn)軸到力的作用點(diǎn)的矢徑與作用力的叉積。力矩的表示式：力矩的表示式：

8、 大小：大小： FrM2 2、注意：、注意：合力矩合力矩 合力的力矩合力的力矩 合力矩合力矩= =力矩的和力矩的和 ( (矢量和）矢量和） （對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言為代數(shù)和）（對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言為代數(shù)和） 合力為零，合力矩不一定為零合力為零，合力矩不一定為零方向：方向：MFrd力矩是矢量力矩是矢量sinrFF1F2 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸（F1=F2）5-2 5-2 力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)定律、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)定律、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 合力矩為零，合力不一定為零合力矩為零，合力不一定為零F0M力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，1.1.與轉(zhuǎn)軸垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩與轉(zhuǎn)軸垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零；為零；2.

9、2.與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零；與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零；問：一對(duì)作用力與反作用力的力矩和等于多少？問：一對(duì)作用力與反作用力的力矩和等于多少？零零由此推知：質(zhì)點(diǎn)組對(duì)任一軸的內(nèi)力矩之和為零。由此推知：質(zhì)點(diǎn)組對(duì)任一軸的內(nèi)力矩之和為零。F1F21r2r力矩力矩合力合力2211rFrF 21FF 中心力（過轉(zhuǎn)軸的力）的中心力（過轉(zhuǎn)軸的力）的 力矩力矩00，如推門。，如推門。F2F1Fr 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 sinrFM 定點(diǎn)力矩：定點(diǎn)力矩：FrM 垂直垂直 和和 構(gòu)成的平面。構(gòu)成的平面。MFr定軸力矩：定軸力矩：dFM2 合力矩：合力矩： 21MMM 2211dFdFMzM 只有兩個(gè)方向，可用正、負(fù)表

10、示。只有兩個(gè)方向，可用正、負(fù)表示。而且有：而且有：與轉(zhuǎn)動(dòng)垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)不產(chǎn)生力矩；與轉(zhuǎn)動(dòng)垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)不產(chǎn)生力矩；與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。 odP F2F1F歸結(jié)起來：歸結(jié)起來：F0M二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律 力矩是改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因，是產(chǎn)生角加速度的原因。力矩是改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因，是產(chǎn)生角加速度的原因。 轉(zhuǎn)動(dòng)物體也有保持原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不變的慣性，在一定力轉(zhuǎn)動(dòng)物體也有保持原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不變的慣性，在一定力矩作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大的物體獲得的角加速度小，反之則大。矩作用下，

11、轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大的物體獲得的角加速度小，反之則大。所以，物體的角加速度與力矩成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)慣性成反比。所以，物體的角加速度與力矩成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)慣性成反比。若用若用J J 表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性（表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性（J J 稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）則有：稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）則有：kJMJM 寫成等式1在國際單位制中，在國際單位制中，k = 1 則上式為則上式為轉(zhuǎn)動(dòng)定律JM 它說明了力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。什么時(shí)刻有力矩作用于它說明了力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。什么時(shí)刻有力矩作用于物體，物體什么時(shí)刻就有角加速度。轉(zhuǎn)動(dòng)定律相當(dāng)重要，物體，物體什么時(shí)刻就有角加速度。轉(zhuǎn)動(dòng)定律相當(dāng)重要，其在轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位就相當(dāng)于平動(dòng)中的牛頓第二定律。其在轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位就相當(dāng)

12、于平動(dòng)中的牛頓第二定律。 把剛體看作質(zhì)元把剛體看作質(zhì)元 的集合，對(duì)的集合，對(duì) 用牛頓第二定律用牛頓第二定律的切向式與法向式。的切向式與法向式。 設(shè)一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，某質(zhì)元受內(nèi)力和設(shè)一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，某質(zhì)元受內(nèi)力和 外力作用外力作用 imim 轉(zhuǎn)動(dòng)定律可由牛頓第二定律推求：轉(zhuǎn)動(dòng)定律可由牛頓第二定律推求： 推導(dǎo)的基本思想：推導(dǎo)的基本思想：矢量式：矢量式：法向式：法向式：切向式：切向式：iiiiamfF內(nèi)外iniininamfFitiititamfFirim對(duì)整個(gè)剛體：對(duì)整個(gè)剛體：iiititrmfF 以以 遍乘切向式：遍乘切向式：ir2iiiitiitrmrfrF iritFM外剛體所受的合外力矩

13、剛體所受的合外力矩 0iritF內(nèi)力矩和（內(nèi)力不改變動(dòng)量）（內(nèi)力不改變動(dòng)量）2iirmM 外定義定義： 為剛體所受的合外力矩其中MJM 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律說明說明：（：（1）M, J, 均對(duì)同一軸而言，且具有瞬時(shí)性均對(duì)同一軸而言，且具有瞬時(shí)性； （2）改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的是力矩；）改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的是力矩； （3）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2iirmJ.,.,大小成正比的方向一致與大小成正比的方向一致與MdtdFadtvda 牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律的對(duì)應(yīng)關(guān)系牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律的對(duì)應(yīng)關(guān)系物理量：質(zhì)點(diǎn)物理量：質(zhì)點(diǎn) m m 剛體剛體 J JFavM M規(guī)

14、規(guī) 律：質(zhì)點(diǎn)律：質(zhì)點(diǎn) 牛頓第二定律牛頓第二定律 剛體剛體 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 aMFJM不一定不一定ExampleExample：問：問：M M大，是否大，是否 大？大？ 式中各量是對(duì)于同一軸而言，且式中各量是對(duì)于同一軸而言，且 與與M M的符號(hào)（轉(zhuǎn)向）的符號(hào)（轉(zhuǎn)向） 相同。相同。 該定律不但對(duì)固定軸（轉(zhuǎn)軸）成立，對(duì)質(zhì)心軸也成立。該定律不但對(duì)固定軸（轉(zhuǎn)軸）成立，對(duì)質(zhì)心軸也成立。 該定律是力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。該定律是力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。不一定不一定 大，是否大，是否M M大？大？對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 M M = J= J 應(yīng)注意：應(yīng)注意：（M M大，大， 大，大， 的變化大。的變化大。 可為可為0

15、 0）（ 大，并不代表它的變化大，有可能它的大，并不代表它的變化大，有可能它的M=0M=0，勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。），勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。）對(duì)分離的質(zhì)點(diǎn)組：對(duì)分離的質(zhì)點(diǎn)組：對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：2 2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：J J是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。( (對(duì)比平動(dòng)對(duì)比平動(dòng)m m是物體平動(dòng)慣性大小的量度）是物體平動(dòng)慣性大小的量度）2iirmJdmririmJ22dmrJ2233222211rmrmrmJ對(duì)應(yīng)與mFJMa 三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量m1r1m2r2m3r3轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義：、轉(zhuǎn)動(dòng)

16、慣量的定義： 對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)：J = m r 2 其中其中 r 為到轉(zhuǎn)軸的距離。為到轉(zhuǎn)軸的距離。 與剛體的總質(zhì)量有關(guān)與剛體的總質(zhì)量有關(guān) 與質(zhì)量的分布有關(guān)與質(zhì)量的分布有關(guān) 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)4 4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J的計(jì)算方法的計(jì)算方法：（可將質(zhì)量元變?yōu)榫€元、面元、：（可將質(zhì)量元變?yōu)榫€元、面元、體元積分求得）體元積分求得） 3 3、J J與下列因素有關(guān)：與下列因素有關(guān)：Example 1、有一均勻細(xì)桿，桿長為、有一均勻細(xì)桿，桿長為 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，c為桿的為桿的中點(diǎn)。設(shè)轉(zhuǎn)軸中點(diǎn)。設(shè)轉(zhuǎn)軸oo通過通過c點(diǎn)且與桿垂直，桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)且與桿垂直，桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量

17、Jc=？Solution ：?。喝軸方向如圖，桿的線密軸方向如圖，桿的線密度為度為 = m/l ，取小質(zhì)元，取小質(zhì)元dm= dx，則，則22/2/32/2/221213mlxdxxdmxJllllc 0 x00 xdxC0 x0 xdxA0若將轉(zhuǎn)軸移到若將轉(zhuǎn)軸移到A點(diǎn)，求點(diǎn)，求 JA=？仍有小質(zhì)元仍有小質(zhì)元dm= dx，（，（ =m/l）202231mldxxdmxJlA 平行軸定理：平行軸定理：剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J，等于剛體對(duì)通過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J Jc c ，加上剛體質(zhì)量，加上剛體質(zhì)量 m m 乘以兩平行軸之間乘以兩平

18、行軸之間的距離的距離d d的平方。即：的平方。即：2mdJJcB dCB可見轉(zhuǎn)軸不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的?？梢娹D(zhuǎn)軸不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。那么將轉(zhuǎn)軸從那么將轉(zhuǎn)軸從C點(diǎn)平行移到點(diǎn)平行移到A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變了多少？點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變了多少？C22222)2(4112131mdlmmlmlmlJJCA 移項(xiàng)得：移項(xiàng)得： JA= JC + md2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理2mrJ rr221mrJ r221mrJ )(22221rrmJ 221mrJ rrl12422mlmrJ 122mlJ ll32mlJ r2252mrJ r2232mrJ 1r2rSolution ：取：取OXOX軸如圖所

19、示，軸如圖所示，則棍上任一段元?jiǎng)t棍上任一段元dxdx的的質(zhì)量質(zhì)量 至轉(zhuǎn)軸的距離至轉(zhuǎn)軸的距離 dxdmlmsinxr dxdxX Xd dO Or rX X OExample 2 2、質(zhì)量為質(zhì)量為m m、長度為長度為l的均質(zhì)細(xì)直棍的均質(zhì)細(xì)直棍，對(duì)通過其中，對(duì)通過其中心心O O且與棍斜交成角的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。且與棍斜交成角的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。過棒一端過棒一端 O O、仍與棍斜交成角、仍與棍斜交成角 的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：2212122sin)sin(22mldxxdmrJlllm 討論：討論： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 即為棍對(duì)于過它的中心即為棍對(duì)于過它的中心 且與棍垂直的轉(zhuǎn)軸的

20、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。且與棍垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 2 2121mlJ 2mdJJoo2222121)sin(sinlmml 2231sinml 為棍對(duì)過棍一端、且與棍為棍對(duì)過棍一端、且與棍 垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 231,2mlJ 時(shí)當(dāng)由平行軸定理：由平行軸定理：Example 3、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的細(xì)圓環(huán)對(duì)過環(huán)心垂直于的細(xì)圓環(huán)對(duì)過環(huán)心垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Solution ：圓環(huán)的線密度為：圓環(huán)的線密度為 =m/2 R 環(huán)上取小質(zhì)元環(huán)上取小質(zhì)元 dm= dl = R d 則則 23203222mRRmRdRdmRJ dld Examp

21、le 4、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的薄圓盤對(duì)過圓心垂直的薄圓盤對(duì)過圓心垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 rdrSolution ：圓盤的面密度為：圓盤的面密度為 =m/ R2取一半徑為取一半徑為 r，寬為，寬為dr 的圓環(huán)為質(zhì)元的圓環(huán)為質(zhì)元 dm = 2 r dr2403221212mRRdrrdmrJR 即圓盤對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為即圓盤對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J =mR2/2 。所以定滑所以定滑輪繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為輪繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J =mR2/2 ，滑輪繞其過邊緣一點(diǎn)滑輪繞其過邊緣一點(diǎn)的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J = mR2/2 +

22、 mR2 。（。（平行軸定理平行軸定理） 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算只是對(duì)規(guī)則物體而言，對(duì)不規(guī)則的物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算只是對(duì)規(guī)則物體而言，對(duì)不規(guī)則的物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只能用實(shí)驗(yàn)的方法得出。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只能用實(shí)驗(yàn)的方法得出。Example 5、如圖所示，求大圓盤的實(shí)心部分對(duì)、如圖所示，求大圓盤的實(shí)心部分對(duì)O軸（垂直軸（垂直于盤面）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。于盤面）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 （已知（已知 R = 2 r ，大盤質(zhì)量為，大盤質(zhì)量為M，小，小盤質(zhì)量為盤質(zhì)量為m）Solution ：由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有可加性，：由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有可加性，所以先分別求出大盤和小盤對(duì)所以先分別求出大盤和小盤對(duì)O軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再把小盤的除去即得大盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再

23、把小盤的除去即得大盤實(shí)心部分對(duì)實(shí)心部分對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。大盤對(duì)大盤對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：J1 = MR2/2 小盤對(duì)小盤對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：J2 = mr2/2 + mr2 = 3mr2/2所以實(shí)心部分對(duì)所以實(shí)心部分對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：0RrMm22222221)34(81)34(2123)2(212321RmMrmMmrrMmrMRJJJ Example 6 6、一質(zhì)量為、一質(zhì)量為M M、半徑為、半徑為R R的定滑輪上面繞有細(xì)繩，繩的定滑輪上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪上（略去輪軸處的摩檫，繩不可伸長不計(jì)的一端固定在滑輪上（略去輪軸處的摩

24、檫，繩不可伸長不計(jì)質(zhì)量），另一端掛有一質(zhì)量為質(zhì)量），另一端掛有一質(zhì)量為m m 的物體而下垂。求物體的物體而下垂。求物體m m由靜由靜止下落止下落h h高度時(shí)的速度和此時(shí)輪的角速度。高度時(shí)的速度和此時(shí)輪的角速度。Solution ： 對(duì)象：對(duì)象：M M剛體剛體 m m 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 受力分析：如圖所示受力分析：如圖所示依牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程依牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程h hT1T1mgmmM對(duì)物體有：對(duì)物體有： mg - T = m a 對(duì)滑輪有：對(duì)滑輪有： TR = J = M R2 /2 角量和線量的關(guān)系：角量和線量的關(guān)系： a = R 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系： v2 = v02 +

25、2ah = 2ah 解方程得：解方程得：12224mmghmv122241mmghmRRv 在該題中如果在滑輪上加一恒力矩，使物在該題中如果在滑輪上加一恒力矩，使物體以體以v0的速度勻速上升，撤去力矩后，問過的速度勻速上升，撤去力矩后，問過多少時(shí)間后滑輪開始反向運(yùn)動(dòng)？多少時(shí)間后滑輪開始反向運(yùn)動(dòng)？ 解：分析：撤去力矩后，滑輪和物體受力解：分析：撤去力矩后，滑輪和物體受力和前面完全一樣和前面完全一樣 。因此對(duì)物體應(yīng)用牛頓第二。因此對(duì)物體應(yīng)用牛頓第二定律和對(duì)滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的形式完全一樣。定律和對(duì)滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的形式完全一樣。h hT1T1mgmmMv0 對(duì)物體有：對(duì)物體有： mg - T = m

26、 a 對(duì)滑輪有：對(duì)滑輪有： TR = J = M R2 /2 角量和線量的關(guān)系：角量和線量的關(guān)系： a = R 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系： v = v0 + at = 0 由第由第1、2、3個(gè)方程可解得：個(gè)方程可解得：由第由第4個(gè)方程可解得：個(gè)方程可解得：)2(2mMmga mgvmMavt2)2(00 h hT1T1mgmmMv0 看書看書123頁例題頁例題 5 - 4（講解）（講解） 例題例題5 5-4 -4 半徑分別為半徑分別為R1、R2的階梯形滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的階梯形滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為慣量為 J ，其上反向繞有兩根細(xì)繩，各懸掛質(zhì)量為，其上反向繞有兩根細(xì)繩，各懸掛質(zhì)量為m1、m2的物體，忽略滑輪與軸間

27、摩擦，求滑輪的角的物體，忽略滑輪與軸間摩擦，求滑輪的角加速度加速度 及各繩中張力及各繩中張力FT1、FT2。m1m2m2m1T1FT1F T2FT2F NFgm1gm21a2a 解解 分析各物體的分析各物體的受力情況，對(duì)輕繩應(yīng)有受力情況，對(duì)輕繩應(yīng)有T2T2T1T1 ,FFFF 假設(shè)滑輪沿順時(shí)針假設(shè)滑輪沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)動(dòng) 選取物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，根據(jù)牛頓第選取物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，根據(jù)牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得 JRFRFamgmFamFgm 2T21T1222T211T11滑輪邊緣的切向加速度等于物體的加速度滑輪邊緣的切向加速度等于物體的加速度 2211,R

28、a Ra 解以上各式得解以上各式得gRmRmJRmRm2222112211 gmRmRmJRRmRmJRgmFgmRmRmJRRmRmJRgmF2222211211211222T1222211212222111T 右圖中，滑輪兩邊張力不相同右圖中，滑輪兩邊張力不相同 ，兩物體的加速度相同。（繩不可伸長）兩物體的加速度相同。（繩不可伸長）Mm m1 1m m2 2T T2 2T T1 1T T2 2T T1 1 aam m1 1g g m m2 2g gMm m1 1m m2 2T T2 2T T1 1T T2 2T T1 1 aam m1 1g gm m2 2g gMT TT T amTgm1

29、11amgmT222JrTT)(21ra amTgm111amgmT222JrTT )(1ra 221MrJ JrTT)(2 Solution ： （1 1）選細(xì)桿、剛體為研究對(duì)象）選細(xì)桿、剛體為研究對(duì)象受力與受力矩分析如圖受力與受力矩分析如圖由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有方程：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有方程：)31(22mlCoslmgCoslg23（2 2）由于力矩）由于力矩M= mgM= mg（l/2l/2）coscos 屬變力矩，故由屬變力矩，故由 求角速度求角速度 時(shí)用積分法。時(shí)用積分法。 得得l lr r mg2O OExample 7 7、質(zhì)量、質(zhì)量m m、長為、長為l的均質(zhì)細(xì)桿，可繞過固定端的均質(zhì)細(xì)桿，可繞過

30、固定端O O的水的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿從水平位置由靜止釋放，如圖。試求：平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿從水平位置由靜止釋放，如圖。試求：轉(zhuǎn)到任一角轉(zhuǎn)到任一角 時(shí)，桿的角加速度時(shí)，桿的角加速度 等于多少？等于多少？此時(shí)的角此時(shí)的角速度速度 等于多少？等于多少？ 當(dāng)當(dāng) = = /2/2 （桿轉(zhuǎn)到豎直位置）時(shí)，（桿轉(zhuǎn)到豎直位置）時(shí)，lgSin3討論：討論： 越小，越小， 值越?。恢翟叫?； 越大，越大， 值越大。值越大。0,3 lgmdCoslgdd00023作業(yè)：作業(yè)：5-4、5-5、5-7、5-10。dddtddddtdsin23212lgCoslg23例例6 6。如圖示，一長為。如圖示，一長為L L、質(zhì)量可以忽略的

31、剛性直桿，兩端分別固、質(zhì)量可以忽略的剛性直桿，兩端分別固定質(zhì)量分別為定質(zhì)量分別為2 2m m和和m m的小球，桿可繞通過其中心的小球，桿可繞通過其中心O O且與桿垂直的水且與桿垂直的水平光滑固定軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。開始桿與水平成某一角度平光滑固定軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。開始桿與水平成某一角度，處于靜止?fàn)顟B(tài)，釋放后，處于靜止?fàn)顟B(tài)，釋放后， 桿繞桿繞O O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則當(dāng)桿轉(zhuǎn)到軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平位置水平位置時(shí)，時(shí)，求（求（1 1）該系統(tǒng)所受到的合外力矩）該系統(tǒng)所受到的合外力矩M M的大??；（的大??；（2 2）該系統(tǒng)對(duì)光滑）該系統(tǒng)對(duì)光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（3 3）此時(shí)該系統(tǒng)角加速

32、度）此時(shí)該系統(tǒng)角加速度的大小。的大小。解：已知：略。解：已知：略。研究對(duì)象：兩小球研究對(duì)象：兩小球+ +桿系統(tǒng)（剛體），受力分析桿系統(tǒng)（剛體），受力分析mm2oogmgm21r2r（1 1）mgLLmgLmgMMgmrgmrM21|222|221逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正計(jì)計(jì)2 2（2 2）dmrrmJiii2222243)2(2)2(mLLmLmJ（3 3）JM LgmLmgLJM3243212任意位置時(shí)：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變?nèi)我馕恢脮r(shí)：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變gmgm21r2r243mLJ 力矩：力矩：gmrgmrM221)2sin(221)2sin(21mgLmgLMcoscos21mgLmgLcos21mgL（

33、負(fù)號(hào)表順時(shí)針）（負(fù)號(hào)表順時(shí)針）JM cos23lg例題例題8 8、（、（125125頁頁5-155-15，習(xí)題集計(jì)，習(xí)題集計(jì) 4 4）質(zhì)量為）質(zhì)量為 的鼓形輪，可繞的鼓形輪，可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩纏繞于輪上，另一端通過質(zhì)量為水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩纏繞于輪上，另一端通過質(zhì)量為 的圓盤形的圓盤形滑輪懸有滑輪懸有 的物體，當(dāng)重物由靜止開始下降了的物體，當(dāng)重物由靜止開始下降了 時(shí)，求：時(shí)，求：（1 1）物體的速度；（）物體的速度；（2 2）繩中張力。（繩與滑輪無相對(duì)滑動(dòng)）繩中張力。（繩與滑輪無相對(duì)滑動(dòng)）已知：略。已知：略。解：研究對(duì)象：鼓輪、滑輪、重物。解：研究對(duì)象：鼓輪、滑輪、重物。受力分析：受力分析：kg

34、24kg5kg10m5 . 0RrRRFTFgm31m2m3mrTFRF1211121RmJRFR(1)(1)計(jì)計(jì)4 4amFgmT33(2)(2)2222221)(rmJrFFRTRa1ra2(5)(5)(4)(4)(3)(3)1211121RmJRFR(1)(1)smasvasvvvttt/2222202聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：2/4sma )(58 NFT)(48 NFR所以剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能所以剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能221 JEk 一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)都繞定軸作圓運(yùn)動(dòng)，都剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)都繞定軸作圓運(yùn)動(dòng)，都具有動(dòng)能。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能就等于剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之具有動(dòng)能。剛體

35、的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能就等于剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。和。 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為（1/21/2） m mi iv vi i2 2= =（1/21/2） m mi ir ri i2 2 2 2 則剛體總動(dòng)能為則剛體總動(dòng)能為 2222121 iiiikrmvmE與平動(dòng)動(dòng)能形式相同，量綱也相同，單位也相同。與平動(dòng)動(dòng)能形式相同，量綱也相同，單位也相同。Ek=mr2 2 2=ML=ML2 2T T-2-2二、力矩的功二、力矩的功5-3 5-3 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、力矩的功這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 M M：X Xd Frds 0 剛體轉(zhuǎn)過剛體轉(zhuǎn)過

36、d 角，角，合外力合外力F作的元功為作的元功為 ：cosFdssdFdwsincos rddsdFrdwsinMddwFrMsin力矩的大小又當(dāng)剛體在當(dāng)剛體在F力作用下，從力作用下，從 1轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 2時(shí)所作的功為：時(shí)所作的功為：21222121212121JJdJddtdJMddww2122212121JJMdw即21222121JJW力矩轉(zhuǎn)力矩kEW 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理： 合外力矩對(duì)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。合外力矩對(duì)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。使用中應(yīng)注意使用中應(yīng)注意： E Ek k轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 是相對(duì)量；是相對(duì)量； 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理的表達(dá)式為標(biāo)量式。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理的表達(dá)式為

37、標(biāo)量式。 應(yīng)用該定理時(shí)只需分析始態(tài)與末態(tài)。應(yīng)用該定理時(shí)只需分析始態(tài)與末態(tài)。凡是涉及桿的轉(zhuǎn)動(dòng)問題，要應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理凡是涉及桿的轉(zhuǎn)動(dòng)問題，要應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理下面用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理求解下面用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理求解Example 7 72122212121JJMdwSolution ：對(duì)象：桿：對(duì)象：桿由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理有：由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理有：021cos220Jdlmg22)31(212mlmgSinllgSin3cos23lgdtd可見：求解桿的角速度時(shí)，用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理比用轉(zhuǎn)動(dòng)定律可見：求解桿的角速度時(shí)，用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理比用轉(zhuǎn)動(dòng)定律 簡單。求角加速度又是用轉(zhuǎn)動(dòng)定律為簡單。簡單。求角加速度又是用轉(zhuǎn)動(dòng)定律為簡單。l

38、lr r mg2O O 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 只有保守力作功時(shí)，機(jī)械能守恒，即只有保守力作功時(shí)，機(jī)械能守恒，即 21EE,恒量轉(zhuǎn)pkEE為質(zhì)心處的勢(shì)能cpmghE用機(jī)械能守恒定律求解用機(jī)械能守恒定律求解Example 7 7中的中的Solution ：在桿轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，由于只有重：在桿轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，由于只有重力作功，故機(jī)械能守恒。取桿的水平位置為力作功，故機(jī)械能守恒。取桿的水平位置為勢(shì)能零點(diǎn)，有勢(shì)能零點(diǎn)，有: :)2(02SinlmgEkSinlmgml2)31(2122lgSin3lr r mg2O O0pE一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）和角動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）和角動(dòng)量

39、守恒定律定義為：定義為：PrLLrsin,rmvL大小為為矢量方向：從方向：從 至至 的右旋前進(jìn)方向（右手螺旋法則）。的右旋前進(jìn)方向（右手螺旋法則）。rP當(dāng)質(zhì)點(diǎn)繞當(dāng)質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)時(shí)1sin90則有則有 L = P r = m v r dtPdrdtPdrPdtrddtPrddtLd)()0(0mPdtrddtPdrdtLd5-4 5-4 角動(dòng)量角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量原理：質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量原理：LLLMdt0質(zhì)點(diǎn)所受沖量矩質(zhì)點(diǎn)所受沖量矩=質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩 M=0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒時(shí)，質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒 L =

40、恒恒量量 。此即質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律。此即質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律 。dtLdM12LLLddtMdtdPFdtpdrFrMdtpdrdtLd又Example 1、一小球在光滑平面上作圓運(yùn)動(dòng)，小球被穿過、一小球在光滑平面上作圓運(yùn)動(dòng)，小球被穿過中心的線拉住中心的線拉住 。開始時(shí)繩半徑為。開始時(shí)繩半徑為r1 ，小球速率為，小球速率為 v1 ；后；后來，往下拉繩子，使半徑變?yōu)閬?，往下拉繩子，使半徑變?yōu)?r2 ，小球速率變?yōu)?，小球速率變?yōu)?v2 ，求，求v2 =？Solution ：受力分析如圖所示。：受力分析如圖所示。Mg = N , T為小球圓運(yùn)動(dòng)的向心力，為小球圓運(yùn)動(dòng)的向心力，合外力合外力= T ，但過

41、轉(zhuǎn)軸而無力矩。，但過轉(zhuǎn)軸而無力矩。合外力矩為合外力矩為0，小球角動(dòng)量守恒，小球角動(dòng)量守恒 。 有：有： L = mvr = 恒量恒量 即即 m v1 r1 =m v2 r2mgNT1212)(vrrv 二、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律二、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律 JrmrvmrLiiiiii2 剛體對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量等于剛體剛體對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量等于剛體中所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量之和：中所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量之和： )(iiiivmRL iiimvRLdz0 miivLiRri剛體對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量：剛體對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量：JL 由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：dtdLd

42、tdJdtdJJM 的方向與的的方向與的 的方向相同。的方向相同。LdtdLM1212JJLLdLdtM角動(dòng)量定理：角動(dòng)量定理：合外力矩的沖量矩合外力矩的沖量矩= =角動(dòng)量的增量角動(dòng)量的增量。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律 常量0)(JJL當(dāng)當(dāng)0M時(shí)，時(shí)， 剛體受外力矩為零時(shí)，動(dòng)量矩（角動(dòng)量）保持不變。即剛體受外力矩為零時(shí)，動(dòng)量矩（角動(dòng)量）保持不變。即大小，正負(fù)（方向）均不變。大小，正負(fù)（方向）均不變。（ 角動(dòng)量守恒條件角動(dòng)量守恒條件 ）0M質(zhì)點(diǎn)與剛體的角動(dòng)量量綱相同質(zhì)點(diǎn)與剛體的角動(dòng)量量綱相同mrmrJL2剛體JmrmrL2質(zhì)點(diǎn)mimir.推廣至人推廣至人 人非剛體，

43、只要滿足人所受的人非剛體，只要滿足人所受的 則人的角動(dòng)量也守恒。則人的角動(dòng)量也守恒。使用中的幾種情況：使用中的幾種情況：.一個(gè)剛體（質(zhì)點(diǎn)）一個(gè)剛體（質(zhì)點(diǎn)） J J不變，不變， 不變，不變，L=L=恒量恒量 。注意守恒定律的使用注意守恒定律的使用條件分析：條件分析： ，即力矩的和為零。，即力矩的和為零。 0iM.幾個(gè)剛體（幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)）幾個(gè)剛體（幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)） J J變，變， 變，變， 不變。不變。合力合力=0=0，合力矩不一定等于零。，合力矩不一定等于零。合力矩合力矩=0=0，合力不一定等于零。，合力不一定等于零。J0iM 花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員，伸開手：花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員，伸開手：J0 、 0 。收攏手：收攏手

44、：J=J0/3 ， 則則 = J0 0/J=3 0 Example 2 2、一根長為、一根長為 l 、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m m1 1 的均勻細(xì)棒，其一端的均勻細(xì)棒，其一端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止于豎直位置。今有一子彈質(zhì)掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止于豎直位置。今有一子彈質(zhì)量為量為m m2 2 、以水平速度、以水平速度 v0 射入棒下端距軸高度為射入棒下端距軸高度為 a 處如圖。處如圖。子彈射入后嵌入其內(nèi)并與棒一起轉(zhuǎn)動(dòng)偏離鉛直位置子彈射入后嵌入其內(nèi)并與棒一起轉(zhuǎn)動(dòng)偏離鉛直位置 3030。，求子彈的水平速度求子彈的水平速度 v0 的大?。康拇笮?？Solution ： 對(duì)象：對(duì)象： 棒棒 剛體剛體 子彈子

45、彈 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 過程分析：過程分析： 第一階段：第一階段： 與與 碰撞碰撞2m1m第二階段：第二階段： + + 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)1m2m角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒 )0(0iM恒矢iL只有重力作功，只有重力作功，故機(jī)械能守恒。故機(jī)械能守恒。30a0pE0m m2 2m m1 1列方程列方程)31(222102amlmam303020)2()()31(2121212221221gaCosmCoslgmgamlgmamlm)3)(2)(32(6122212120amlmamlmgam解得：解得：上面例子說明：上面例子說明： 1. 動(dòng)量矩（角動(dòng)量）保持不變是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的積不變；動(dòng)量矩（角動(dòng)量）保持不變是轉(zhuǎn)動(dòng)慣

46、量與角速度的積不變；2. 多物體組成的系統(tǒng)角動(dòng)量的可疊加性；多物體組成的系統(tǒng)角動(dòng)量的可疊加性；3. 角動(dòng)量守恒定律是一條普適定律。角動(dòng)量守恒定律是一條普適定律。 2211 JJJ300pE0m m2 2m m1 1a角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒: : 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒: :Example 3 3、質(zhì)量為、質(zhì)量為M M、長為、長為L L的均勻直棒，可繞垂直于棒的一的均勻直棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸端的水平軸O O無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。它原來靜止在平衡位置上，現(xiàn)在無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。它原來靜止在平衡位置上，現(xiàn)在有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m m的彈性小球飛來，正好在棒下端與棒垂直相碰撞，的彈性小球飛來，正好在棒下端與棒垂直相碰撞，碰撞后，棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度碰撞后，棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度 =30=30。，如圖所示。，如圖所示。求：（求：（1 1）小球碰撞前的速度）小球碰撞前的速度v v0 0= =？ （2 2）碰撞時(shí)，小球受到多大的沖量？）碰撞時(shí)，小球受到多大的沖量？30L0pE0mOSolution ：（：（1 1）選小球和棒為研）選小球和棒為研究對(duì)象究對(duì)象, ,碰撞時(shí)系統(tǒng)所受合外力矩