求數(shù)列通項公式的十種方法(2)

1、、迭代法、對數(shù)變總述：求數(shù)列通項的方法：累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法(逐差法)換法、倒數(shù)變換法、累加法適用于：an 1 = an f(n)轉(zhuǎn)換成an：-an = f(n),其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù),求通項an.若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和；.； . 若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。例1已知數(shù)列aj滿足an+ =an +2n +1, a1 =1 ,求數(shù)歹U an的通項公式。解：由 an書=an +2n

2、+1 得 an+ -an =2n +1 貝U例2已知數(shù)歹Ian滿足an#=an+2>3n+1, a1=3,求數(shù)列an的通項公式。 l解；由 an噂=an +2父3n +1 得 an書an =2 父3n +1 則an =(an -an)(an-an) W (a3 -a2) (a? -a1) a1=(2 3n11) (2 3n'1)(2321) (2 311) 3二2(3n13n° III 3231)(n -1)33(1 -3n、)=2 () (n -1) 31 -3=3n -3 n -1 3=3n n -1練習(xí)1 .已知數(shù)列GJ的首項為1,且an4=an+2n(n三N)寫

3、出數(shù)列Ian)的通項公式.答案：2)n -n . 11, 八、a"an-(n -2)練習(xí)2.已知數(shù)列an滿足a1=3,n(n-1),求此數(shù)列的通項公式.答案：裂a(bǔ) =2a n 2項求和n二、累乘法1 .適用于：an+ = f (n)an這是廣義的等比數(shù)列2 .若± = f(n),則也=f曳=f(2)川川,anaia2手f(n)兩邊分別相乘得，亙=4aif(k)例4例4.已知數(shù)列配滿足a1，求 an。解：由條件知亙土 =,分別令n =1,2,3,“n1),代入上式得(n-1)個等式累乘之，即an23n.公式法：已知Sn(即ai+a2+IM+ an = f (n)求 an ,用

4、作差法：an,(n = 1)一 Sn,g2)°例2.已知數(shù)列的前n項和Sn滿足Sn=2an+(-1)n,n21.求數(shù)列 以的通項公式。 解：由 a1 = S1 =2a1 1= a1 =1當(dāng) n 至 2 時 有 an =Sn "n=2(an - an)+ 2 父(一1)” ,n 2anj_2an_2 +2x(-1) , a2 = 2al -2.經(jīng)驗證a1點(diǎn)評:利用公式an=1也滿足上式，所以an =22修+(-1)n3S n=1.=產(chǎn)求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時E Snn>2 一定要合并.練一練：已知an的前n項和滿足log2(Sn+1) = n+1 ,求a

5、n ;5數(shù)列an酒足 a =4, Sn +Sn書=-an + ,求 an ；3四、待定系數(shù)法適用于an 1 =qan f (n)基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列， 而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一 個函數(shù)。1,形如 an* =can +d,(c =0,其中 a1 =a)型(1)若c=1時，數(shù)列 an為等差數(shù)列；(2)若d=0時,數(shù)列an為等比數(shù)列；（3）若c#1且d #0時，數(shù)列an為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.待定系數(shù)法：設(shè)an.1 一 =c（an D,得如書=can +9-1也與題設(shè)an+ =can +d,比較系數(shù)得d, (c 0)an(c-1叢=

6、d,所以c-1所以有：因此數(shù)列en+a構(gòu)成以a1+三為首項,以c為公比的等比數(shù)歹I,僅供個人學(xué)習(xí)參考d / d 、 n/ d n dan(ai ') C ,an =(ai ) C所以 c 1c 1 即：c1 C 1.T -JI |z m 'id / d 、, an H , c(an)規(guī)律：將遞推關(guān)系an+=can d化為 c-1c-1 ,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列andc-1從而求得通項公式an 1d nJ- 一cd(a1c-1)逐項相減法（階差法）：有時我們從遞推關(guān)系an/=can +d中把n換成n-1有an =can+d 兩式相減有an書an =c（an -an）從而化為公比

7、為 c的等比數(shù)列an書_an，進(jìn)而求得通項公 式.an+-an =cn（a2 -a1）,再利用類型（1）即可求得通項公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.例6已知數(shù)列an中，a1 =1,an =2an工+1（n ±2）,求數(shù)列劣的通項公式。解法一：Van =2an4 1(n -2), . an 1=2(an4 1)1 n 1an =(二)12又；a| +1 =2,J. an +1)是首項為2,公比為2的等比數(shù)列an+1 =2n ,即an =2n Tc 11a1 = 2, an .1 = an '一，練習(xí).已知數(shù)列an中，22求通項an2.形如：anp 'an +qn（其中q是

8、常數(shù)，且n=0,1）_. n若p=1時，即：anlan q ,累加即可.n若P"時，即：an小p，an+q ,n -1an 1 ann-；1 - n即：p q求通項方法有以下三種方向：i.兩邊同除以p .目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列1 ,P、nan1 ,P、n1,累加求通項.,一 () bn = bn 1 - bn = ()P 4 ，令 P ，則P q ，然后類型an d P an 1n 1n 1 -nii.兩邊同除以q .目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。即：q q q q,anp1bnnbn 1bn 7 一令 q，則可化為qq .然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，iii.待定系數(shù)法：目的是把

9、所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列I"JI yn 1n設(shè)an書九'q =p（an九'P ）.通過比較系數(shù)，求出九，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時，要求 p#q,否則待定系數(shù)法會失效。例7已知數(shù)列an滿足an¥ =2an +4 3n，a1 =1 ,求數(shù)列an的通項公式。 «I"-解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)前十-3與一式第十九才二乙比較系數(shù)得%="4,%"2n 11 J則數(shù)列an 3是首項為a1 一4 3 二一5 ,公比為2的等比數(shù)列,n_' n J'n 1'ndan 1 _ 2 an 4 43n由-

10、 3 3n 32 ,下面解法略所以 an-43=一52，即 an =4 3 一5'2n 1n 1解法二（兩邊同除以q ）:兩邊同時除以3得n 11解法三（兩邊同除以p ）:兩邊同時除以2 得an 1 _ _a_n_4 (_3)n2" - 2n 3 '(2),下面解法略練習(xí).（ 2003天津理）設(shè)a0為常數(shù)，n 1且 an=3-2an_,(n-N).證明對任意 n>1,an3n (-1)n4 2n (-1)n 2nao 53,形如an + =Pan +kn+b（其中k,b是常數(shù)，且k#0）方法1：逐項相減法（階差法）方法2:待定系數(shù)法通過湊配可轉(zhuǎn)化為（an Xn

11、y） = P（anX（n -1） y） ；解題基本步驟：1、確定f（n）=kn+b2、設(shè)等比數(shù)列bn =（an+xn + y） ,公比為p3、列出關(guān)系式（an +Xn+y） = P（an- +X（n -1）+y）,gpbn =曲/4、比較系數(shù)求 X,y5、解得數(shù)列（an + xn + y） 的通項 公式6、解得數(shù)列an ）的通項公式例8在數(shù)歹U an中，a1 =1,an書=3為+2n,求通項an.（逐項相減法）解：:， an 由= 3an + 2n，n 之2 時，an = 3an+2（n 1）,lz'" 兩式相減得an平一m =3（an an）* 2 .令bn =an由一 a

12、n ,則bn = 3bn+ 2，I- i,匚j ： 'J j j利用類型5的方法知bn =5-+ 2即% - an =5 了1一一 an 再由累加法可得5 3n-n212 .亦可聯(lián)立解出an=5 3nj - n- 1例9.在數(shù)列 an中,3 ca1 = 一 ,2an - an=6n - 32,求通項an（待定系數(shù)法）解：原遞推式可化為2(an xn y);an.x(n -1) - -y比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為2bn=bnVb1 = a1 - 6n + 9 =9是一個等比數(shù)列，首項2，公比為2 .9 / 1 n / bn -( )2 2 即：1 nan - 6n 9=9

13、2-1 n . 一an = 9 ()6n - 9故 22.4.形如 an + =Pan a" b" C（其中 a,b,c 是常數(shù)，且 a=0）基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)例10已知數(shù)列an滿足an+=2an+3n2+4n+5, a1 =1 ,求數(shù)列an的通項公式。解： 設(shè) an$ +x(n +1)2 + y(n +1) + z =2(an +xn2 + yn +z)比較系數(shù)得x=3,y =10,z=18 ,所以 an 1 - 3(n 1)2 - 10(n 1) 18 =2(an 3n2 10n 18)由 a1 +3x12 +

14、10 x1 +18 =1 +31 =32#0 ,得 an +3n2 +10n +18 #02貝U a1(n-2(n-)=2 ,故數(shù)歹U an +3n2 +10n+18為以 a1 +3父12 +10x1 + 18=1+31 = 32an 3n2 10n 18為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因止匕an+3n2+10n+18 = 32父22，則an = 2卅3n2-10n-18。5.形如an = pan.+qan時將an作為f(n)求解1"j|jTI | /,' -y.Z /分析：原遞推式 可化為an拒十九an書=(p十九)(an書十九an)的形式，比較系數(shù) 可求得九，數(shù)列an書十九

15、an 為等比數(shù)列。«I-例11已知數(shù)列an滿足an也=5an書-6an，a1 = -1，a2 =2 ,求數(shù)列an的通項公式。 I解：設(shè)an七+聞書=(5+九)(an書+電)比較系數(shù)得九=-3或九=-2,不妨取兒=-2,(取-3結(jié)果 形式可能不同，但本質(zhì)相同)則an±-2an4=3(an書-2an),則an書-2an是首項為4,公比為3的 等比數(shù)列痔、k ,二工in 1n 1n , an 書2an =4 3 所以 an =4 3-5 2練習(xí).數(shù)列縱中，若a1 =8色=2,且滿足anL4an由"an =0,求an答案：an = 11 一 3n ._ r四、迭代法an由

16、"pan (其中p,r為常數(shù))型3(n 1)2 n例12已知數(shù)列an滿足an+ 一 an ，a1 -5 ,求數(shù)歹【an的通項公式。_3(n 1)2n解：因為4+二4,所以n(n 1) 3nXn!2 2 又a1 一 5 ,所以數(shù)列an的通項公式為an 一5。注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。例13. (2005江西卷)1已知數(shù)列an的各項都是正數(shù)，且滿足：a0 M,an/MQanG-ajnw N ,(1)證明an <an斗<2,n匚N ; (2)求數(shù)列an的通項公式an.1,、1 r , 2,an 1 =-an(4 -an) = -(an -2)422

17、22解：(1)略(2)22所以2(af-2) -(an-2)121122令bn = an -2,則 bn = -二 bn 1 = - 二(一二 bn 2 ) 2一22 一11 22211 2 .292n-(-)bn 1 = = -(-)bn2 2-2又 bn= 1,所以1 on，即 an=2g=2 i- -'_ 12ncn方法2:本題用歸納-猜想-證明，也很簡捷，請試一試.解法3:設(shè)cn = -bn,則c 2，轉(zhuǎn)化為I I上面類型(1)來解7/ / / ! ; / /r五、對數(shù)變換法適用于an* pan(其中p,r為常數(shù))型p>0, an>0例14.設(shè)正項數(shù)列 配)滿足為=

18、1 , an=2a" (n>2).求數(shù)列Ian，的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：10g2n " 210£log2n+1 = 2(loga+ 1)設(shè)bn = 0gan2 1 ,則=2bn_iLn)是以2為公比的等比數(shù)歹I,blq log； 1=1 bn =1M2n/=2n/logan + 1 =On -1an2 log 2=2n/1練習(xí)數(shù)列(an )中，a1=1, an=2an4(n>2),求數(shù)列(an)的通項公式.2_22-_n答案：an =2a1 = 7 ,求數(shù)歹U an的通項公式。例15已知數(shù)列a。滿足an.=2M3nMa5, 解：因為 an* =2父3” Ma；, a=7,所以 anA0, an+ >0兩邊取常用對數(shù)得lg an 1 =5lg annlg3 1g 2(同類型四)設(shè)1gan1x(n1) y =5(lgan xn y) 比較系數(shù)得，*=/，丫=絲一監(jiān)4164, ig3 ig3 ig 2 ig3 ig3 ig 2 /日 ig3 ig3 ig 2由 iga1 + X1 += ig7 +"x1 +"+"#0 ,得 ig an n+ +"#0 ,416441644164所以數(shù)列ig an +1g3n+1g3+旦2是以ig7 4164.Ig3,ig3,ig2igan3n幽叱=(ig7