6幾個(gè)著名的不等式doc

1、6幾個(gè)著名的不等式在不等式的證明中，掌握一些常用的不等式是必要的，下面我們對(duì)幾個(gè)常用的著名不等式作一介紹。1 基本原理先介紹排序不等式，設(shè)與是兩組實(shí)數(shù)，且，我們將稱(chēng)為這兩組實(shí)數(shù)的順序積和，將稱(chēng)為這兩組實(shí)數(shù)的倒序積和，設(shè)是的一個(gè)排列，則稱(chēng)為這兩組實(shí)數(shù)的亂序積和。對(duì)于這3類(lèi)積和我們有如下結(jié)論：定理1（排序不等式）設(shè)，是的一個(gè)全排列，則有 ，等號(hào)全成立的充要條件是或.證 我們先用數(shù)學(xué)歸納法證明. （1） 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以 時(shí)，（1）式成立。假設(shè)對(duì)于時(shí)（1）式成立，即，其中是1,2,的一個(gè)排列，那么對(duì)于，設(shè)是1,2，的一個(gè)全排列，則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)知，= ，所以（1）式成立 當(dāng)時(shí)，必存在，使得，則

2、，即時(shí)（1）式成立。由歸納法原理知對(duì)于，（1）式成立.再證 .事實(shí)上，因?yàn)?，由?）知，對(duì)于1,2，的一個(gè)排列，有 ， .再證等號(hào)成立的條件，充分性是顯然的.我們用反證法證明必要性.若結(jié)論不成立，即在 = （2）的條件下，不全相等，也不全相等，則存在，使得 ， .不妨設(shè) ，則有 ， ，從而有 ，所以 > (3)(3)與（2）矛盾.排序不等式表明對(duì)于兩組實(shí)數(shù)，其順序積和最大，倒序積和最小，亂序積和居中，順序積和與倒序積和相等的充要條件是這兩組實(shí)數(shù)中有一組全相等。推論1 若對(duì)于 ，有 ，則 ，等號(hào)成立的條件是 .證 由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè) ，則 .有排序不等式，有 .等號(hào)成立的條件是或 ，即 .

3、推論2 若對(duì)于 ，且，則 .等號(hào)成立的充要條件是 . 證 令則，這里均為正實(shí)數(shù)，由推論1知， .等號(hào)成立的充要條件是，即. 定理2 設(shè)是個(gè)正數(shù)，令（調(diào)和平均值）， （幾何平均值）， （算術(shù)平均值）， （平方平均值），則有 （）(調(diào)和平均幾何平均不等式) ； （）(幾何平均算術(shù)平均不等式) ； （）（算術(shù)平均平方平均不等式） .這些不等式又統(tǒng)稱(chēng)為均值不等式.等號(hào)成立的充要條件是. 證 （） (1) ,由定理1的推論2知（1）式成立，故（）成立.等號(hào)成立的充要條件是，即. （） (2) ,所以由定理1的推論2知（2）成立，故（）成立.顯然等號(hào)成立的充要條件是 .（） 令，再令 ，則. =0 , .

4、等號(hào)成立的充要條件是，即.定理3 （切比雪夫不等式）設(shè)與是兩組實(shí)數(shù)，且，則 （1）等號(hào)成立的充要條件是或. 證 由排序不等式，有 ， ， ， ，將上述個(gè)式子相加，得 ， ，即（1）式左邊的不等式成立.由排序不等式等號(hào)成立的條件知當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立. 因?yàn)?，由上面的證明可知， ， .等號(hào)成立的充要條件是或.由切比雪夫不等式可知，對(duì)于兩組實(shí)數(shù)，其順序積的算術(shù)平均值不小于這兩組實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值的積，倒序積和的算術(shù)平均值不大于這兩組數(shù)的算術(shù)平均值的積。定理4（柯西不等式）對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有 ，等號(hào)成立的條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)和，使得對(duì)于有，即與對(duì)應(yīng)成比例.證 若，則，不等式成立. 當(dāng)時(shí)，作關(guān)于x的二

5、次函數(shù). ，且，所以 ，.從上面證明不難看出等號(hào)成立的條件.3 方法解讀運(yùn)用上述幾個(gè)不等式解答競(jìng)賽試題，首先應(yīng)對(duì)各個(gè)不等式的特點(diǎn)與功能有透徹的了解，然后根據(jù)試題的特點(diǎn)，合理的選擇不等式和變形方法.在應(yīng)用這些不等式解題時(shí)應(yīng)注意約分、有理化、升冪與降冪、排序等方法的應(yīng)用，下面我們通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明這些方法.例1 已知都是正數(shù)，求證： （1） 方法1 （用切比雪夫不等式）不妨設(shè) ，則 ，由切比雪夫不等式，有 ，化簡(jiǎn)即得（1）.方法2 （用柯西不等式） .例2 設(shè)已知是實(shí)數(shù)，滿足 試確定的最大值. 證 由算術(shù)平方平均不等式得：，從而有 ， ，解之得 .當(dāng)時(shí)，因此的最大值為.例3（第26屆美國(guó)奧林匹克試題）證明對(duì)所有正數(shù)有 （1）證 由排序不等式知 ，從而有 .例4（2005年日本數(shù)學(xué)奧林匹克）若正實(shí)數(shù)滿足，求證. 證 ， 由均值不等式，得 ， .同理可得 將上述3個(gè)不等式相加，得 .例5 設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，求的最小值. 證 由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，則 由不等式（9）知，.等號(hào)成立的充要條件是即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小