7—9一一映射同態(tài)及同構(gòu)

1、第 3 講 §79 一一映射，同態(tài)及同構(gòu) （2課時） (Bijection Homomorphism and Osomorphism )本講教學(xué)目的和要求：通過了解雙射，同態(tài)及同構(gòu)的理論，為后繼課程中學(xué)習(xí)群同態(tài)，群同構(gòu)（群第一、二同構(gòu)定理）環(huán)同態(tài)，環(huán)同構(gòu)理論做準(zhǔn)備。具體要求：1、在第一講的基礎(chǔ)上，對各類映射再做深入的研究。2、充分了解雙射（一一映射）的特性以及由此引導(dǎo)出的逆映射。3、兩個代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)的概念，尤其是同態(tài)的滿射所具有的性質(zhì)。4、掌握同構(gòu)映射的實質(zhì)，為以后教學(xué)內(nèi)容奠定基礎(chǔ)，本講的重點和難點：本講的重點在于對同態(tài)映射定義的了解；由同態(tài)滿射引導(dǎo)的一系列性質(zhì)及同構(gòu)映射本質(zhì)的掌握

2、。而對雙射及自身的逆映射之間的關(guān)系學(xué)生不易把握，需要認(rèn)真對待。本講的教法和教具：在多媒體教室使用投影儀。在教學(xué)活動中安排時間讓學(xué)生展開討論。本講思考題及作業(yè)：本講思考題將隨教學(xué)內(nèi)容而適當(dāng)?shù)卣归_。作業(yè)布置在本講結(jié)束之后。一、一一映射在第1講中，已對各類映射作了系列性的介紹，這里只對重要的一一映射作重點的討論。定義1、設(shè)是集合到的映射，且既是單的又是滿的，則稱是一個一一映射（雙射）。例1：，其中，可知顯然是一個雙射。注意：與偶數(shù)集之間存在雙射，這表明：與它的一個真子集一樣“大”。思考題：從例1中得知：一個無限集與其的某個真子集一樣“大”。這是否可作為無限集都有的特性？即我們是否有如下的結(jié)論：為無限

3、集的充要條件是與其某個真子集之間存在雙射。定理1：設(shè)是到的一個雙射，那么由可誘導(dǎo)出（可確定出）到的一個雙射（通常稱是的逆映射）證明：由于是到的雙射，那么就中任一個元素，它在中都有逆象，并且這個逆象是唯一的。利用的這一特點，則可確定由到的映射：，如果，由上述說明，易知是映射。是滿射：，因是映射，再由的定義知，這恰說明，是在下的逆象。由的任意性，知是滿射。是單射：由是滿射的逆象分別是，又是單射，這說明，所以是單射。綜合上述討論知：是到的一個雙射。結(jié)論：設(shè)是映射，那么：（1）是雙射可唯一的確定一個逆映射，使得：是雙射； 也是的逆映射，且；（2）是雙射同時是有限集或同時是無限集。二、變換定義2：設(shè)是映

4、射，那么習(xí)慣上稱為是的變換。當(dāng)是雙射（單射，滿射）時，也稱為一一變換（單射變換，滿射變換）例2 三、同態(tài)（本目與高代中的線性變換類似）對代數(shù)系統(tǒng)的比較。例3、設(shè)，其中中的代數(shù)運算就是中的加法，而中的代數(shù)運算為數(shù)中的乘法。定義3：設(shè)集合都各有代數(shù)運算（稱及為代數(shù)系統(tǒng)）而是映射，且滿足下面等式：（習(xí)慣上稱可保持運算）那么稱是到的同態(tài)映射。例4、設(shè)與同例3，今設(shè)，那么例5、與同上，而（1） 若均為偶數(shù)時為偶數(shù)，（2）若均為奇數(shù)時為偶數(shù)，（3）若奇而偶時為奇數(shù)，則（4）若偶而奇時同理知. 由(1)(4)知,是到的同態(tài)映射.如果同態(tài)映射是單射（滿射），那么自然稱是同態(tài)單射（同態(tài)滿射），而在近世代數(shù)中，同

5、態(tài)滿射是尤其重要的。定義4：若是到的同態(tài)滿射，那么習(xí)慣上稱同態(tài)，并記為；習(xí)慣上稱是的同態(tài)象.定理2. 如果是到的同態(tài)滿射，那么（1） 若滿足結(jié)合律也適合結(jié)合律；（2） 若滿足交換律也適合交換律.證明：（1）任取是滿射，又因為中的滿足結(jié)合律即，但是是同態(tài)映射。所以同理可以證明（2）定理3、設(shè)和都是代數(shù)系統(tǒng)，而映射關(guān)于以及都是同態(tài)滿射，那么：（1） 若滿足左分配律也適合左分配律；（2） 若滿足右分配律也適合右分配律。證明：（1）是滿射.又因為是關(guān)于及的同態(tài)映射即.同理可證明（2）。思考題1：在定理2及定理3中，都要求映射是滿射，似乎當(dāng)是同態(tài)滿射時，才能將中的代數(shù)性質(zhì)（結(jié)合律、交換律及分配律）“傳遞

6、”到中，那么：（1） 當(dāng)不是滿射時，“傳遞”還能進(jìn)行嗎？（即定理2，3成立嗎？）（2） 即使是滿射，“傳遞”的方向能改變嗎？（即中的性質(zhì)能“傳遞”到中去嗎？）（3） 依照定理2，3的思路，若將換成同態(tài)單射后，能獲得什么結(jié)論？四、同構(gòu)定義4、設(shè)是到的同態(tài)映射，若是個雙射，那么稱是同構(gòu)映射，或稱與同構(gòu)，記為。例6、設(shè)都是整數(shù)中通常的加法“+”，現(xiàn)作，那么是同構(gòu)映射.事實上，（1）是單射：當(dāng)是單射.（2）是滿射：是滿射.（3）是同態(tài)映射： 由（1），（2），（3）知，是同構(gòu)映射，即。定理4、設(shè)是到的同構(gòu)映射，那么（1）“”適合結(jié)合律“”也適合結(jié)合律；（2）“”適合交換律“”也適合交換律；（3）“”和

7、“+”滿足左（右）分配律“”和“”滿足 左（右）分配律。注意：由上述表明，同構(gòu)的兩個代數(shù)體系由運算所帶來的規(guī)律性是相同的，因此，同構(gòu)的兩個代數(shù)體系盡管可能有這樣或那樣的差別，但從近世代數(shù)的宗旨來看，我們自然認(rèn)為：它們的差別是表面上的，次要的，而它們的共同點運算所體現(xiàn)的規(guī)律性則是本質(zhì)的，主要的。于是，我們需要闡明近世代數(shù)的觀點是：凡同構(gòu)的代數(shù)體系都認(rèn)為是（代數(shù)）相同的。在上述的觀點下，一個代數(shù)體系經(jīng)同構(gòu)映射而保持不變的性質(zhì)叫做它的代數(shù)性質(zhì)。于是，由代數(shù)運算所表述的任意一個性質(zhì)都是代數(shù)性質(zhì)。我們將代數(shù)體系的代數(shù)性質(zhì)的總合統(tǒng)稱為它的代數(shù)結(jié)構(gòu)。因此，同構(gòu)的代數(shù)體系由于完全相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。研究代數(shù)體系的首要目的就是確定所有互不同構(gòu)的代數(shù)體系以及它們的代數(shù)結(jié)構(gòu)。而為了確定一個代數(shù)體系的代數(shù)結(jié)構(gòu)，只須讓它與一個代數(shù)結(jié)構(gòu)已經(jīng)清楚的代數(shù)體系同構(gòu)則可。課堂練習(xí)：設(shè)，那么，不可能同構(gòu).證明：（反證法）若，那么是同構(gòu)映射。設(shè)思考題2：試證：（1）不同構(gòu)（為普通乘法）。（2）不同構(gòu).（3）不同構(gòu)（其中為非零有理數(shù)集）.思路：（1）（反證法）若，且是到的同構(gòu)映射。則（2）（反證法）若，且是到的同構(gòu)映射。則.（3）（反證法）若，且是到的同構(gòu)映射。則五、自同