241拋物線及其標準方程

1、2.4.1拋物線及其標準方程一、【教學目標】重點: 掌握拋物線的定義、焦點、準線以及的幾何意義；根據具體條件求出拋物線的標準方程；根據拋物線的標準方程求出焦點坐標，準線方程.難點：拋物線標準方程推導過程的組織和引導，以及如何類比發(fā)現另三種形式的標準方程知識點：能據條件求拋物線的標準方程；能利用拋物線定義解決相關數學問題.能力點：如何探求拋物線定義及標準方程，用類比的思想尋求另三種形式的標準方程教育點：親自體驗由具體的演示實驗而探尋出一般的數學結論，體會探究的樂趣，激發(fā)學生的學習熱情.自主探究點：如何運用類比的思想探尋另三種標準方程.考試點：拋物線標準方程推導及應用定義、方程解決簡單的數學問題.

2、易錯易混點：由于方程形式較多，因此焦點坐標、準線方程易混，焦點坐標、準線方程易錯.拓展點：如何利用定義求拋物線上的點到焦點的距離以及在拋物線上求一點使該點到焦點和拋物線內一點距離和最小.二、【引入新課】問題呈現一:在初中，我們學習了二次函數，知道二次函數的圖象是一條拋物線，例如：（1），（2）的圖象（多媒體展示兩個函數圖象）： 思考：動點滿足什么條件時，動點運動的軌跡是拋物線？ 設計意圖從學生熟知的二次函數圖象是拋物線提出問題，引起學生的思考和探究的興趣.問題呈現二: P64 信息技術應用（課堂中幾何畫板演示畫圖過程） 先看一個實驗： 如圖：點F是定點，是不經過點F的定直線，H是上任意一點，過

3、點H作，線段FH的垂直平分線交MH于點M.拖動點H，讓學生觀察點M的軌跡，你能發(fā)現點M滿足的幾何條件嗎？ 設計意圖使學生看到曲線上任一點到定點的距離和到定直線的距離相等的軌跡三、【探究新知】（一）拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線 (不經過點F) 的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線.概念的理解：平面內有：（1）一定點F焦點；（2）一條不過此點（給出的定點）的定直線準線；想一想：若定點在定直線上，那么動點的軌跡是什么圖形？（3）動點到定點的距離；（4）動點到定直線的距離；（5）=；（6）動點的軌跡拋物線.設計意圖由直觀觀察得出拋物線的定義，培養(yǎng)學生觀察

4、能力和語言概括能力，通過對概念的理解進一步加深學生對定義的理解.(二)拋物線的標準方程(一)回顧求軌跡方程的步驟：（1）建立適當的直角坐標系；用表示曲線上任一點的坐標；（2）寫出曲線上的點所要適合的條件；（3）用點的坐標表示這給條件，得出方程；（4）把方程化簡；（5）證明化簡后的方程就是所求的曲線方程.（二）方程的推導過程思考：（1）類比橢圓與雙曲線的建立坐標系的方法，應如何選擇坐標系？ （2）如何確定軸（或軸）？ （3）如何確定坐標原點？ （4）怎樣建立坐標系才能使方程的推導簡化？ 取經過焦點且垂直于準線的直線為軸，軸與相交點， 以線段的垂直平分線為軸，建立坐標系. 設焦點到準線的距離，那么

5、，焦點，準線的方程為.設拋物線上任一點，到直線的距離為.根據定義，拋物線就是集合.所以.兩邊平方，化簡得說明：（1）的幾何意義：焦點到準線的距離； (2)焦點：，在軸的正半軸上； （3）準線：設計意圖通過設問，引導學生展開思維過程，讓學生體會分析解決問題的方法；通過嚴謹細致的分析，展現知識的發(fā)生、發(fā)展形成的過程，進一步加強過程性教學，教師引導學生總結完善知識結構體系.想一想：在建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選取不同的坐標系我們得到了不同形式的標準方程.那么拋物線還可以怎樣建立坐標系，得出拋物線的標準方程呢？請你完成下面的表格.圖形標準方程焦點坐標準線方程答案：依次；設計意圖讓學生類比開口向右的

6、拋物線方程的推導方法，進一步從具體的學習探究中挖掘規(guī)律性的知識，更規(guī)范的掌握拋物線的圖形、方程、焦點坐標和準線方程著四者之間的內在聯系，從而在實踐中靈活運用；同時，滲透數形結合的思想，使本節(jié)知識更系統(tǒng)化四、【理解新知】拋物線的四種標準方程的形式和相對應的圖形結合，比較四種方程的特點準確記憶方程總結如下：從拋物線的標準方程出發(fā)：（1）二次項的系數均化為；（2）一次項的系數都含有2；（3）一次項的變量為（或）則焦點就在其相應的軸上；(4)一次項的系數的正負決定了焦點在軸（或軸）的正方向還是負方向；一次項的系數的正負決定了拋物線的開口方向，正值朝正向，負值朝負向從拋物線的圖形出發(fā)：拋物線的開口方向，

7、決定著拋物線標準方程的一次項及其系數和焦點位置設計意圖讓學生從圖形、方程兩個方面出發(fā)，尋找“拋物線的圖形”、“拋物線的標準方程”、“拋物線的焦點坐標”、“拋物線的準線方程”之間的內在聯系，能夠知一求三，同時強化基礎知識，為利用新知解決問題做好準備五、【運用新知】例1：（1）已知拋物線的標準方程是，求它的焦點坐標和準線方程 （2）已知拋物線的焦點是，求它的標準方程解：（1）因為，所以拋物線的焦點坐標為，準線方程為 （2）因為焦點在y軸的負半軸上，并且所以所求拋物線的標準方程是設計意圖檢查學生對拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程和圖像之間聯系的認知，進一步鞏固只一求三的應用意識練習：1、 根據拋

8、物線的標準方程，說出拋物線的焦點坐標和準線方程：2、根據下列條件寫出拋物線的標準方程： (1)焦點是 （2）準線方程是 （3）焦點到準線的距離是2 設計意圖由非標準形式的方程或改變條件的形式如何解決類似問題，才能夠反應學生對知識掌握和處理問題的能力及其靈活應用能力，進一步加深學生對拋物線的標準方程、準線方程、焦點坐標之間的內在聯系.3、（1）拋物線上一點 到焦點的距離是，則點 到準線的距離是 ，點 的橫坐標 答案：；（2）拋物線 上與焦點的距離等于9的點的坐標是 答案：或設計意圖讓學生靈活的應用拋物線的定義，注意拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離的相互轉化例2：一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖

9、（1）所示.衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)的射入軸截面為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處.已知接收天線的口徑為，深度為.試建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程和焦點坐標解：如圖2，在接收天線的軸截面所在平面內建立平面直角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合.設拋物線的標準方程為.由已知條件可得，點的坐標是，代入方程，得 ，即.所以，所求拋物線的標準方程為，焦點坐標是設計意圖一方面加深學生的數學應用意識，讓學生感受數學的價值，體會數學來自生活，又應用于生活，服務于生活；另一方面還是加深對拋物線的標準方程等方面知識的理解和掌握練習：拋物線形拱形橋距離水面2米，水面的寬4米，當水面下降1

10、米后，水面的寬為 答案：設計意圖學生自己根據題意建立適當的坐標系，自己推導，培養(yǎng)學生利用所學知識解決問題的能力六、【課堂小結】知識點：讓學生回憶并小結、提煉本節(jié)課學習內容：1、拋物線的定義；2、拋物線的標準方程有四種不同的形式；3、p的幾何意義是: 焦點到準線的距離；4、拋物線的標準方程的特點；5、標準方程中p前面的正負號決定拋物線的開口方向6、求拋物線標準方程的基本方法：待定系數法 關鍵是：確定焦點位置確定標準方程的形式求的值寫出方程思想方法：數形結合的思想、類比的思想、特殊與一般的思想，待定系數法設計意圖引導學生自我反饋、自我總結，對所學知識提煉升華，使知識系統(tǒng)化便于掌握；讓學生學會學習，

11、學會知識的內化的經驗，促進學生的學習七、【布置作業(yè)】 必做題：第1,2,7題 選做題：1、已知拋物線方程，點是拋物線上的動點，點的坐標為（12,6）,求點到點的距離額點到軸的距離之和的最小值答案：122、 定長為5的線段的兩個端點在拋物線上移動，試求線段的中點到軸的最短距離答案：設計意圖 引導學生先復習，再作業(yè)，培養(yǎng)學生良好的學習習慣.在牢固抓住基礎的前提下，讓學有余力的同學得到更長遠的發(fā)展.八、【教后反思】利用幾何畫板從學生已有的知識進行遷移，采用類比的方法讓學生主動學習、合作交流，體驗數學的發(fā)現和創(chuàng)造過程，培養(yǎng)學生數學表達和交流的能力在上課前需要事先預想學生可能會提出的問題以及可能提出的解

12、決方法，但是也不能忽視學生的發(fā)散思維，在講授過程中并不是每一個環(huán)節(jié)都能按照教師預想的步驟進行，對于課堂上突發(fā)性的問題，教師要能自如地應對比如，在如何建立直角坐標系求方程時，有一個學生提出以為軸，的中垂線為軸，雖然與我們的過程不一致，也要加以肯定與鼓勵，其實從另一個角度來看，反而是一件好事，為我們后面談其它三種形式埋下引子在本例中，我們圍繞例1進行變式訓練，師生圍繞幾個典型問題展開了充分的討論，學生在質疑、討論、總結的過程中，理解了拋物線的定義與標準方程，形成了自己的數學思想方法，更觸發(fā)了學生積極思考、勤奮探索的動力，開發(fā)了學生的智慧源泉，實現了舉一反三、觸類旁通的效果.雖然本節(jié)課運用多媒體進行輔助教學，但是仍存在不足之處，在歸納總結時在深化一下，如“知道拋物線的標準方程，如何畫拋物線的簡圖？