導(dǎo)數(shù)中求參數(shù)的取值范圍

1、導(dǎo)數(shù)中求參數(shù)的取值范圍求參數(shù)取值范圍的方法1. 分離參數(shù)，恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題2. 分離參數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)和單調(diào)性解不等式3. 將參數(shù)分成若干個(gè)區(qū)間討論是否滿足題意1已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）若，函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)4分（）當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；在上恒成立，即在上恒成立， 6分令，則，令，在上恒成立，即在上為增函數(shù)，即，即在上為增函數(shù)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 12分2(2016·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xa(x1)(1)當(dāng)a4時(shí)，求

2、曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程；(2)若當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)當(dāng)a4時(shí)，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(1)0，f(x)ln x3，f(1)2.故曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為2xy20.(2)當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0等價(jià)于ln x0.設(shè)g(x)ln x，則g(x)，g(1)0.當(dāng)a2，x(1，)時(shí)，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，因此g(x)0；當(dāng)a2時(shí)，令g(x)0得x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故當(dāng)x(1，x2)時(shí)，g(x)0，g(x

3、)在(1，x2)上單調(diào)遞減，因此g(x)0.綜上，a的取值范圍是(，23(2016·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個(gè)零點(diǎn)(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1x2<2. 解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)設(shè)a0，則f(x)(x2)ex，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)a>0，則當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又f(1)e，f(2)a，取b滿足b<0且b<ln ，則f(b)>(b2)a(b

4、1)2a>0，故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)設(shè)a<0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，則ln(2a)1，故當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，因此f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)若a<，則ln(2a)>1，故當(dāng)x(1，ln(2a)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(ln(2a)，)時(shí)，f(x)>0.因此f(x)在(1，ln(2a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)內(nèi)單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上，a的取值范圍為(0，)(2)證明：不妨設(shè)x1<x2，由(1)知，x1(，1)，

5、x2(1，)，2x2(，1)，又f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以x1x2<2等價(jià)于f(x1)>f(2x2)，即f(2x2)<0.由于f(2x2)x2e2x2a(x21)2，而f(x2)(x22)ex2a(x21)20，所以f(2x2)x2e2x2(x22)ex2.設(shè)g(x)xe2x(x2)ex，則g(x)(x1)(e2xex)所以當(dāng)x>1時(shí)，g(x)<0，而g(1)0，故當(dāng)x>1時(shí)，g(x)<0.從而g(x2)f(2x2)<0，故x1x2<2.4已知函數(shù)f(x)ax1ln x(aR)(1)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若

6、函數(shù)f(x)在x1處取得極值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解：(1)由已知得f(x)a(x0)當(dāng)a0時(shí)，f(x)0在(0，)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，f(x)在(0，)上沒有極值點(diǎn)當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，得0x，由f(x)0，得x，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即f(x)在x處有極小值當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上沒有極值點(diǎn)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上有一個(gè)極值點(diǎn)(2)函數(shù)f(x)在x1處取得極值，f(1)0，解得a1，f(x)bx21b，令g(x)1，則g(x)，令g(x)0，得xe2則g(x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞

7、增，g(x)ming(e2)1，即b1，故實(shí)數(shù)b的取值范圍為5(2015·全國卷)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時(shí)，求a的取值范圍解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a.若a0，則f(x)>0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若a>0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由(1)知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上無最大值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x處取得最大值，最大值為flnaln aa1.因此f>2a2等價(jià)于l

8、n aa1<0.令g(a)ln aa1，則g(a)在(0，)上單調(diào)遞增，g(1)0.于是，當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)<0；當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0.因此，a的取值范圍是(0,1)6(2016·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xa(x1)(1)當(dāng)a4時(shí)，求曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程；(2)若當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)當(dāng)a4時(shí)，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(1)0，f(x)ln x3，f(1)2.故曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為2xy20.(2)當(dāng)x(1，

9、)時(shí)，f(x)0等價(jià)于ln x0.設(shè)g(x)ln x，則g(x)，g(1)0.當(dāng)a2，x(1，)時(shí)，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，因此g(x)0；當(dāng)a2時(shí)，令g(x)0得x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故當(dāng)x(1，x2)時(shí)，g(x)0，g(x)在(1，x2)上單調(diào)遞減，因此g(x)0.綜上，a的取值范圍是(，27.(2016·山東高考)設(shè)f(x)xln xax2(2a1)x，aR(1)令g(x)f(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知f(x)在x1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)由f(x)ln x2ax2a，

10、可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)所以g(x)2a當(dāng)a0，x(0，)時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a0，x時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減所以當(dāng)a0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)；當(dāng)a0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)由(1)知，f(1)0當(dāng)a0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以f(x)在x1處取得極小值，不合題意當(dāng)0a時(shí)，1，由(1)知f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，可得當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x時(shí)，f(x)0所以f(x)在(0

11、,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以f(x)在x1處取得極小值，不合題意當(dāng)a時(shí)，1，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，不合題意當(dāng)a時(shí)，01，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減所以f(x)在x1處取極大值，符合題意綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為8.(2016·海口調(diào)研)已知函數(shù)f(x)mx，g(x)3ln x(1)當(dāng)m4時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程；(2)若x(1，(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，不等式f(x)g(x)3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)

12、當(dāng)m4時(shí)，f(x)4x，f(x)4，f(2)5，又f(2)6，所求切線方程為y65(x2)，即y5x4(2)由題意知，x(1，時(shí)，mx3ln x3恒成立，即m(x21)3x3xln x恒成立，x(1，x210，則m恒成立令h(x)，x(1，則mh(x)minh(x)，x(1，h(x)0，即h(x)在(1，上是減函數(shù)當(dāng)x(1，時(shí)，h(x)minh()m的取值范圍是9.(2017·福建省質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)axln(x1)，g(x)exx1曲線yf(x)與yg(x)在原點(diǎn)處的切線相同(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若x0時(shí)，g(x)kf(x)，求k的取值范圍解：(1)因?yàn)閒(x)a(

13、x1)，g(x)ex1，依題意，f(0)g(0)，即a10，解得a1，所以f(x)1，當(dāng)1x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)0故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)(2)由(1)知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最小值0，所以f(x)0，即xln(x1)，從而exx1設(shè)F(x)g(x)kf(x)exkln(x1)(k1)x1，則F(x)ex(k1)x1(k1)，()當(dāng)k1時(shí)，因?yàn)閤0，所以F(x)x120(當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立)，此時(shí)F(x)在0，)上單調(diào)遞增，從而F(x)F(0)0，即g(x)kf(x)()當(dāng)k1時(shí)，因?yàn)閒(x)0，所以f(x)kf(x)由()知g(x)f(x)0，所以g(x)f(x)kf(x)，故g(x)kf(x)