銳角的三角比 知識(shí)講解

1、銳角的三角比 知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)的定義；2會(huì)推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練準(zhǔn)確的記住特殊角的三角函數(shù)值；3理解并能熟練運(yùn)用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在RtABC中，C90°，A所對(duì)的邊BC記為a，叫做A的對(duì)邊，也叫做B的鄰邊，B所對(duì)的邊AC記為b，叫做B的對(duì)邊，也是A的鄰邊，直角C所對(duì)的邊AB記為c，叫做斜邊銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對(duì)

2、邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA，即；銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做A的余切，記作cotA，即.同理；要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)正弦、余弦、正切、余切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線(xiàn)段的比值角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化(2)sinA，cosA，tanA，cotA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào)，是一個(gè)整體，不能寫(xiě)成，不能理解成sin與A，cos與A，tan與A，cot與A的乘積書(shū)寫(xiě)時(shí)習(xí)慣上省略A的角的記號(hào)“”，但對(duì)三個(gè)大寫(xiě)字母表示成的角(如AEF)，其正切應(yīng)寫(xiě)成“tanAEF”，不能寫(xiě)成“tanAEF”；另外，、常寫(xiě)成、(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)

3、的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0°A90°間變化時(shí)，tanA0 cotA0.要點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角cot30°45°1160° 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)通過(guò)該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)： 、的值依

4、次為、，而、的值的順序正好相反，、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為： 正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小) 余弦、余切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)要點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在RtABC中，C=90°(1)互余關(guān)系：，；tanA=cot(90°-A)=cotB , tanB=cot(90°-B)=cotA.(2)平方關(guān)系：；(3)倒數(shù)關(guān)系：或；(4)商的關(guān)系：要點(diǎn)詮釋?zhuān)轰J角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中，計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡(jiǎn)便【典型例題】類(lèi)型一、銳角三角函數(shù)值的

5、求解策略1如圖所示，在RtABC中，C90°，AB13，BC5，求A，B的正弦、余弦、正切、余切值 【答案與解析】在RtABC中，C90° AB13，BC5 ，； ，【總結(jié)升華】先運(yùn)用勾股定理求出另一條直角邊，再運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義求值舉一反三：【變式】在RtABC中，若a=3，b=4，則 ， ， ， ， 【答案】 5 ， ， ， 類(lèi)型二、特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算2求下列各式的值： (1)sin30°-2cos60°+cot45°； (2)； (3) 【答案與解析】(1)原式； (2)原式； (3)原式【總結(jié)升華】熟記特殊角的三角函數(shù)值或借助

6、兩個(gè)三角板推算三角函數(shù)值，先代入特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行化簡(jiǎn)舉一反三：【變式】在RtABC中，若A=45°，則 ， ， ， ， 【答案】45°， ， 類(lèi)型三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系3(1)求銳角； (2)已知求銳角【答案與解析】(1)先將已知方程變形后再求解 銳角=30°(2)先將已知方程因式分解變形 銳角=45°【總結(jié)升華】要求等式中的銳角，只需求得這個(gè)角的三角函數(shù)值，運(yùn)用換元的方法，把角的三角函數(shù)看作未知數(shù)，解方程求得它的解(值)，然后再求這個(gè)銳角類(lèi)型四、銳角三角函數(shù)的拓展探究與應(yīng)用4如圖所示，AB是O的直徑，且AB10，CD是O的弦，AD與BC相

7、交于點(diǎn)P，若弦CD6，試求cosAPC的值 【答案與解析】連結(jié)AC， AB是O的直徑， ACP90°，又 BD，PABPCD， PCDPAB， 又 CD6，AB10，在RtPAC中， 【總結(jié)升華】直角三角形中，銳角的三角函數(shù)等于兩邊的比值，當(dāng)這個(gè)比值無(wú)法直接求解，可結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，利用對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例轉(zhuǎn)換，間接地求出這個(gè)比值銳角的三角函數(shù)是針對(duì)直角三角形而言的，故可連結(jié)AC，由AB是O的直徑得ACB90°，PC、PA均為未知，而已知CD6，AB10，可考慮利用PCDPAB得5通過(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與

8、角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化類(lèi)似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(sad)如圖1，在A(yíng)BC中，ABAC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：(1)sad60°_(2)對(duì)于0A180°，A的正對(duì)值sadA的取值范圍是_(3)如圖1，已知sinA，其中A為銳角，試求sadA的值【答案與解析】(1)1； (2)0sadA2；(3)如圖2所示，延長(zhǎng)AC到D，使ADAB，連接BD設(shè)ADAB5a，由得BC3a， ， CD5a-4aa， 【總結(jié)升華】(1)將60°角放在等腰三角形中，底邊和腰相等，故sadA1；(2)在圖中設(shè)想ABAC的長(zhǎng)固定