有理不等式的解法分類例析

1、有理不等式的解法分類例析電子郵箱zyl2518006,手機(jī)號電話07342518006 湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 421600一、一元一次不等式的解法：1、 最簡一元一次不等式的解集： ax+b>0 (1)當(dāng)a>0時(shí)，解集為 (2) 當(dāng)a<0時(shí)，解集為 (3)當(dāng)a0時(shí)，若b0, 解集為;b<0, 解集為R.2、復(fù)雜的一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟把原不等式化為最簡一元一次不等式的求解（板演1）3、含有參數(shù)的一元一次不等式的解法i. 先化簡為一元一次不等式的最簡形式ii. 應(yīng)就參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論，iii. 注

2、意解集應(yīng)分列而不能取并集。（例一）4、一元一次不等式組的解法：（以兩個(gè)不等式的為例）（1）、先求出每個(gè)不等式的解集；（2）、求它們的交集：設(shè)a<b,則共有四種情況：；最好利用數(shù)軸求解例一、解不等式組： 解：例二、解關(guān)于x的不等式 解：將原不等式展開，整理得： 討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若0時(shí)；若<0時(shí)當(dāng)時(shí)，二、一元二次不等式（a0）的解法：1、配方后化為含有絕對值的不等式求解；（一般不用）2、因式分解化為一元一次不等式組求解；（繁，易錯(cuò)） 3、圖象法：（a-法）（推薦使用），步驟如下：根據(jù)a的符號確定拋物線的開口方向;根據(jù)的符號確定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；根據(jù)不等號的方向確定解集的類型；（

3、六種之一，請自己列表）求出拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；寫出解集。4、含有參數(shù)的一元二次不等式的解法及逆向問題求出使a=0和=0時(shí)參數(shù)的值；把參數(shù)的取值范圍分為若干區(qū)間；當(dāng)a0時(shí)，不等式化為一元一次不等式；當(dāng)a0時(shí)，則根據(jù)參數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)a及的符號求出相應(yīng)的解集；注意解集應(yīng)分列而不能取并集。(例二)此類問題經(jīng)常以逆向形式出現(xiàn)，即已知不等式的解集求參數(shù)的取值范圍。解題時(shí)應(yīng)注意中的兩種情況。（例四、例五）例三、解關(guān)于x的不等式解： 原不等式可以化為： 當(dāng)0即時(shí)，則,原不等式即為，解集為 x| 當(dāng)>0時(shí),若,即時(shí),解集為x|或,； 當(dāng)>0時(shí),若,即時(shí),解集為x|或。例四、若關(guān)于x的不等式的解

4、集為求關(guān)于x的不等式的解集解：由題設(shè)且， 從而 可以變形為即： 例五、關(guān)于x的不等式 對于恒成立，求a的取值范圍解：當(dāng)a=0時(shí)，原不等式化為 x1< 0 ,不符合題意，a0.當(dāng)a>0時(shí),不等式的解集不可能是R，a0， 例六、若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：顯然k=0時(shí)滿足 ，而k<0時(shí)不滿足又k的取值范圍是0,1三、分式不等式與高次不等式的解法對于形如的分式不等式可按以下步驟求解1、移項(xiàng)；（不要去分母）（例七、例八）2、通分化簡；3、把分子、分母分解為x-a或型的因式的乘積；4、在序軸上標(biāo)出各個(gè)根；5、根據(jù)不等號的方向求解。6、應(yīng)當(dāng)注意的問題：1）、對于不能分解因式

5、的二次式 ,則必定保號，可利用不等式的可乘性先約掉該因式，將原不等式化簡為與之等價(jià)的不等式；（例四、例八）2）、分子或分母有偶數(shù)重根時(shí)，可將該點(diǎn)剔除；（例五）3）、分子分母的相同因式不可約掉，應(yīng)視為重根；4）、若不等式含有等號時(shí)，解集中應(yīng)有分子的根（加上等號），即把原來涉及分子的根的開區(qū)間變?yōu)殚]區(qū)間。（例五）例六: 解不等式（x1）(x2)(x3)0分析：此不等式的左端是關(guān)于x的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，用轉(zhuǎn)化為解不等式組的方法會(huì)很繁，容易出錯(cuò)。我們可以借助于數(shù)軸并根據(jù)積的符號法則來求解.令(x1)(x2)(x3)=0可得x=1或x=2或x=3,我們稱之為不等式的零點(diǎn)，1，2

6、，3這三個(gè)零點(diǎn)將數(shù)軸分成了四部分，當(dāng)x3時(shí)，（x1）、（x2）、(x3)各項(xiàng)為正，當(dāng)2x3時(shí)，（x1）、(x2)、(x3)只有一項(xiàng)符號改變，即乘積為負(fù)，以此類推，根據(jù)在四部分區(qū)間上不等式左邊恰有正負(fù)相間的規(guī)律，即可求解解：令(x1)（x2）(x3)=0可得零點(diǎn)x=1或2或3，將數(shù)軸分成四部分，借助于數(shù)軸可得： 1 2 3 x 滿足上述條件時(shí)由零點(diǎn)分?jǐn)?shù)軸各部分的最右端為正，然后依次正負(fù)相間，可觀察數(shù)軸直接得到解集.所求不等式解集為x|x1或2x3例七： 解不等式略解一（分析法）或解二：（列表法）原不等式可化為列表注意：按根的由小到大排列 區(qū)間符號因子 (-,-1)(-1 , 1 )(1 ,2 )

7、( 2 , 3 )(3 , +)X+1X1X2X3左邊解集解三：（標(biāo)根法）作數(shù)軸；標(biāo)根；畫曲線，定解-101234-2小結(jié)：在某一區(qū)間內(nèi)，一個(gè)式子是大于0（還是小于0）取決于這個(gè)式子的各因式在此區(qū)間內(nèi)的符號；而區(qū)間的分界線就是各因式的根；上述的列表法和序軸標(biāo)根法，幾乎可以使用在所有的有理分式與高次不等式，其中最值得推薦的是“標(biāo)根法”例八： 解不等式 解：原不等式化為 （移項(xiàng)并分解因式）原不等式的解為x|（用序軸標(biāo)根法求解）例九： 解不等式 解：恒成立原不等式等價(jià)于 解集為 x| 1< x < 5 例十：解不等式 解：原不等式等價(jià)于且 原不等式的解為若原題目改為呢？則原不等式的解為例十一： 解不等式解：原不等式