第十三章非正弦周期電流電路和信號的頻譜

1、第第1313章章 非正弦周期電流電路非正弦周期電流電路非正弦周期信號非正弦周期信號13.1周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)13.2有效值和平均功率有效值和平均功率13.3非正弦周期電流電路的計算非正弦周期電流電路的計算13.4首首 頁頁本章內(nèi)容本章內(nèi)容和信號的頻譜和信號的頻譜13.1 13.1 非正弦周期信號非正弦周期信號 在各類電氣、電子線路中，經(jīng)常遇到激勵是非在各類電氣、電子線路中，經(jīng)常遇到激勵是非正弦周期信號的情況。正弦周期信號的情況。l 非正弦周期交流信號非正弦周期交流信號周期信號周期信號)()(nTtftf下 頁上 頁返 回 求解此類電路穩(wěn)態(tài)解的有效方法是諧波分析法：

2、求解此類電路穩(wěn)態(tài)解的有效方法是諧波分析法：首先根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，將非正弦周期信號分首先根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，將非正弦周期信號分解為一系列諧波，再根據(jù)疊加定理求響應(yīng)。解為一系列諧波，再根據(jù)疊加定理求響應(yīng)。常見非正弦周期信號見表常見非正弦周期信號見表13-1.13-1. 13.2 13.2 非正弦周期信號分解為傅里葉級數(shù)非正弦周期信號分解為傅里葉級數(shù)ttfTd )(0若周期函數(shù)滿足狄利赫利條件：若周期函數(shù)滿足狄利赫利條件：周期函數(shù)極值點(diǎn)的數(shù)目為有限個；周期函數(shù)極值點(diǎn)的數(shù)目為有限個；間斷點(diǎn)的數(shù)目為有限個；間斷點(diǎn)的數(shù)目為有限個；在一個周期內(nèi)絕對可積，即：在一個周期內(nèi)絕對可積，即：注意 電路中常見的信號

3、一般均滿足狄利赫利電路中常見的信號一般均滿足狄利赫利條件。條件。下 頁上 頁返 回則其可分解為收斂的傅里葉級數(shù)。則其可分解為收斂的傅里葉級數(shù)。下 頁上 頁返 回 一個周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的一個周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的基本形式為：基本形式為：直直流流分分量量一次諧波一次諧波（基頻）（基頻）二次諧波二次諧波（2倍頻）倍頻） 高次諧波高次諧波)sin()cos()(11110tbtaatf )2sin()2cos(1212tbta )sin()cos(11tkbtkakk 各項間是諧波關(guān)系；各項間是諧波關(guān)系； 諧波間滿足正交性，內(nèi)積為零：諧波間滿足正交性，內(nèi)積為零：特性qkdtffTqk00TkTkT

4、ttktfTbttktfTattfTa010100d)sin()(2d)cos()(2d)(1利用正交性，可求得：利用正交性，可求得：下 頁上 頁返 回)sin()cos()(1110tkbtkaatfkkk上述傅里葉級數(shù)可簡記為：上述傅里葉級數(shù)可簡記為： )cos(sincos111kkmkktkAtkbtka其系數(shù)的關(guān)系為：其系數(shù)的關(guān)系為：kkkkkmkkkmkkkkmabAbAabaAaAarctansin cos2200)sin()cos()(1110tkbtkaatfkkk其中的每個諧波又可化為：其中的每個諧波又可化為：直直流流分分量量一次諧波一次諧波（基頻）（基頻）二次諧波二次諧波

5、（2倍頻）倍頻） 高次諧波高次諧波)cos()(1110tAAtfm)2cos(212tAm )cos(1nnmtnA可得傅里葉級數(shù)的諧波形式：可得傅里葉級數(shù)的諧波形式：下 頁上 頁返 回)cos()(110kkkmtkAAtf 諧波間滿足正交性。諧波間滿足正交性。利用函數(shù)的對稱性可使系數(shù)的確定簡化利用函數(shù)的對稱性可使系數(shù)的確定簡化偶函數(shù)偶函數(shù)0 )()(kbtftf0 )()(katftf奇函數(shù)奇函數(shù)奇諧波函數(shù)奇諧波函數(shù)0 )2()(22kkbaTtftf注意 T/2t T/2f (t) o T/2t T/2f (t) otf (t)T/2To下 頁上 頁返 回周期函數(shù)的頻譜圖：周期函數(shù)的頻

6、譜圖：m1kAk的圖形的圖形 幅度頻譜幅度頻譜 11117 5 3 Akmok1相位頻譜相位頻譜 的圖形的圖形 1kk下 頁上 頁返 回周期性方波信號的分解周期性方波信號的分解例例1解解圖示矩形波電流在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為：圖示矩形波電流在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為：TtTTtItiS2 020 )(m2d1d)(102/0mTTmSOItITttiTI 直流分量：直流分量：諧波分量：諧波分量：20) (dsin)(1ttktibSKK為偶數(shù)為偶數(shù)K為奇數(shù)為奇數(shù)20)cos1(0kItkkImmtT/2TSimIo下 頁上 頁返 回0sin12)(dcos)(2020tkkIttktiamSk22k

7、2kkkIbabAmK（k為奇數(shù)）為奇數(shù)）si的展開式為：的展開式為：)5sin513sin31(sin22tttIIimmS下 頁上 頁返 回ttt基波基波直流分量直流分量三次諧波三次諧波五次諧波五次諧波七次諧波七次諧波周期性方波波形分解周期性方波波形分解下 頁上 頁返 回基波基波直流分量直流分量直流分量直流分量+ +基波基波三次諧波三次諧波直流分量直流分量+ +基波基波+ +三次諧波三次諧波下 頁上 頁返 回)5sin513sin31(sin22tttIIimmStT/2TSimIIS01si3si5si下 頁上 頁IS01si3si5si等效電源等效電源返 回)5sin513sin31(

8、sin22tttIIimmS11117 5 3 Akmo矩形波的矩形波的幅度幅度頻譜頻譜tT/2TSimI11117 5 3 k1o-/21kk矩形波的矩形波的相位頻譜相位頻譜下 頁上 頁返 回13.3 13.3 有效值和平均功率有效值和平均功率下 頁上 頁返 回)cos()(110kkkmtkAAtf回顧上節(jié)，一個非正弦周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)為：回顧上節(jié)，一個非正弦周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)為： 各項間呈諧波關(guān)系；各項間呈諧波關(guān)系；諧波間滿足正交性，內(nèi)積為零。諧波間滿足正交性，內(nèi)積為零。 特性 本節(jié)將利用諧波的正交性求非正弦周期電流和本節(jié)將利用諧波的正交性求非正弦周期電流和電壓的有效值及平均功率。電

9、壓的有效值及平均功率。 1. 1. 非正弦周期電流和電壓的有效值非正弦周期電流和電壓的有效值)cos()(10kkkmtkIIti以電流為例，若以電流為例，若根據(jù)有效值的定義，其有效值為根據(jù)有效值的定義，其有效值為: :TttiTI02)(d1下 頁上 頁返 回)(dcos12010ttkIITTkkkm)(dcos12010ttkIITITkkkm d102020TItIT 0d)cos(2100TkttkIT 0d)cos()cos(210TqqmkkmttqItkITqk 下 頁上 頁返 回 根據(jù)諧波的正交性，式中所有交叉相乘項的內(nèi)積根據(jù)諧波的正交性，式中所有交叉相乘項的內(nèi)積均為均為0，

10、即：，即：只剩其中的平方項，其中只剩其中的平方項，其中: : 非正弦周期信號的有效值為直流分量及非正弦周期信號的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的平方根。各次諧波分量有效值平方和的平方根。 222120 IIII結(jié)論下 頁上 頁返 回 d)(cos102122TkkkmIttkIT因此，非正弦周期電流的有效值為因此，非正弦周期電流的有效值為: :此結(jié)果也同樣適用于電壓。此結(jié)果也同樣適用于電壓。2.2.非正弦周期交流電路的平均功率非正弦周期交流電路的平均功率TttituTP0d)()(1)cos()(10ukkkmtkUUtu)cos()(10ikkkmtkIIti下 頁上 頁返 回d

11、ttkIItkUUTikkkmTukkkm)cos()cos(110010 端口電壓端口電壓電流呈關(guān)聯(lián)電流呈關(guān)聯(lián)方向，且方向，且: :則端口處吸收的平均功率為則端口處吸收的平均功率為: :平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率 210PPPP結(jié)論下 頁上 頁返 回 由于諧波間是正交的，不同頻兩項的平均功率由于諧波間是正交的，不同頻兩項的平均功率均為均為0，式中只剩同頻量的平均功率，即：，式中只剩同頻量的平均功率，即：)( cos100ikukkkkkkIUIUP即，非正弦周期信號的平均功率為即，非正弦周期信號的平均功率為: : 13.4 13.4 非正

12、弦周期電流電路非正弦周期電流電路的計算的計算原理和步驟原理和步驟用相量法用相量法求其中各次諧波的分響應(yīng)。注意求其中各次諧波的分響應(yīng)。注意: :要用相要用相量法分別求解（各諧波的量法分別求解（各諧波的 XL、XC不同）；不同）；將非正弦周期信號激勵展為其傅里葉級數(shù)；將非正弦周期信號激勵展為其傅里葉級數(shù)；根據(jù)疊加定理：根據(jù)疊加定理： 總響應(yīng)總響應(yīng)= =直流激勵的分響應(yīng)直流激勵的分響應(yīng)+ +各諧波的分響應(yīng)各諧波的分響應(yīng) （瞬時值）（瞬時值）下 頁上 頁返 回 利用了非正弦周期信號激勵可展為其傅里葉級利用了非正弦周期信號激勵可展為其傅里葉級數(shù)的原理，及疊加定理，稱為諧波分析法：數(shù)的原理，及疊加定理，稱

13、為諧波分析法：按電阻電路（電容開路、電感短路）求其中直流按電阻電路（電容開路、電感短路）求其中直流激勵分量的分響應(yīng)；激勵分量的分響應(yīng)；例例1電路和方波激勵如圖，電路和方波激勵如圖，求求u。已知：已知： 20 、RtT/2TSimI解解 方波激勵方波激勵展成傅里葉級數(shù)。展成傅里葉級數(shù)。查表可知，其傅里查表可知，其傅里 葉級數(shù)為：葉級數(shù)為：)5sin513sin31(sin22111tttIIimmS0下 頁上 頁RLCuSi返 回s28. 6 A157pF1000 mH1 TICLm、sradT/10/261A5 .780SI由已知可求得由已知可求得方波激勵的直流和各方波激勵的直流和各諧波分量為

14、：諧波分量為：A)sin(10011tisA)3sin(310013tisA)5sin(510015tis 直流激勵分量的分響應(yīng)直流激勵分量的分響應(yīng)A5 .780SImV6 . 1105 .7820600SRIU下 頁上 頁R0U0SI返 回RLCuSi(1)基波基波k11010k110100010113611261LCXLRmV500010050)(111mSmIZU下 頁上 頁返 回求各諧波激勵分量的分響應(yīng)，分別用相量法。求各諧波激勵分量的分響應(yīng)，分別用相量法。A)sin(10011tisRmU1mSI1Cj11Lj1A1001mSIkCLRCLRZ50)1j(j)1j()j()(1111

15、1(2)三次諧波三次諧波kjCLRCLRZ36. 0)31j(j3)31j()j3()3(11111k33k33. 03111LCV900 .123 .33)36. 0()3(133mjZIUmSm下 頁上 頁返 回A)3sin(310013tisA3 .333mSIRmU3mSI3Cj131Lj13(3)五次諧波五次諧波下 頁上 頁返 回A)5sin(510015tisk55k2 . 05111LCA205mSIRmU5mSI5Cj151Lj15kjCLRCLRZ21. 0)51j(j5)51j()j5()5(11111V902 . 420)21. 0()5(515mjIZUmSm 根據(jù)根據(jù)

16、疊加定理，求總響應(yīng)疊加定理，求總響應(yīng)：mV)905sin(2 . 4)903sin(0 .12sin50006 . 11115310tttuuuUumV6 . 10UmV900 .123mUmV50001mUmV902 . 45mU下 頁上 頁返 回 解畢。解畢。例例2L=0.1H，C31F，C1中只有基波電流中只有基波電流 ， C3中只有三次諧波電中只有三次諧波電流。流。A 3000cos101000cos205ttis解解 顯然，直流分量只流經(jīng)電阻。進(jìn)一步，顯然，直流分量只流經(jīng)電阻。進(jìn)一步，依題意依題意可知，可知，C1、L、C2所構(gòu)成的支路，應(yīng)對所構(gòu)成的支路，應(yīng)對3 31諧波開路，諧波開路

17、，對對1諧波短路諧波短路。下 頁上 頁1i100LC3C2C1200Si2i3i返 回注意：激勵已展為傅里葉級數(shù)，注意：激勵已展為傅里葉級數(shù)， 。srad /10001 求求C1、C2和各支和各支路電流。路電流。已知：已知：1i100LC3C2C1200Si2i3i01j1j121111CjLC 對對1諧波短路，諧波短路，說明對說明對1 1諧波，諧波，C1、 L、 C2所構(gòu)所構(gòu)成的支路應(yīng)阻抗為成的支路應(yīng)阻抗為0 0（或串聯(lián)諧振），因此：（或串聯(lián)諧振），因此：F8 .01C下 頁上 頁返 回FLC52121091)3(1 對對3 31諧波開路，諧波開路，L、C2并聯(lián)支路應(yīng)并并聯(lián)支路應(yīng)并聯(lián)諧振，因

18、此：聯(lián)諧振，因此：下 頁上 頁返 回A 1000cos20)()1(2titiS 求各支路電流。求各支路電流。 另如前述，另如前述，C1、 L、C2所構(gòu)成的支路對所構(gòu)成的支路對1 1諧波短路，因此：諧波短路，因此： 直流分量只流經(jīng)電直流分量只流經(jīng)電阻支路；阻支路；1i100LC3C2C1200Si2i3i 求 2i 求 和 1i3i 直流分量單獨(dú)作用時，直流分量只流經(jīng)電阻支路。直流分量單獨(dú)作用時，直流分量只流經(jīng)電阻支路。三次諧波單獨(dú)作用：三次諧波單獨(dú)作用：A4823. 2333200100101000)3(3jI下 頁上 頁1i100LC3C2C1200Si2i3i返 回mI)3(110020

19、0mSI)3(mI)3(3333jA1167. 8j333200100103330)3( 1jImA 3000cos10)3(tisA010)3(mSIA)113000cos(67. 85)(01ttiA)483000cos(23. 2)(03tti1i100LC3C2C1200Si2i3i 和 為： 1i3i 解畢。解畢。課 程 總 結(jié)一、課程的性質(zhì)、內(nèi)容和目的一、課程的性質(zhì)、內(nèi)容和目的 電路課程是電信、通信等專業(yè)的一門重要的入門性、電路課程是電信、通信等專業(yè)的一門重要的入門性、理論性的專業(yè)基礎(chǔ)課。理論性的專業(yè)基礎(chǔ)課。 課程以集總參數(shù)電路和線性電路為基本研究對象，課程以集總參數(shù)電路和線性電路

20、為基本研究對象，講解其基本理論和基本分析方法。講解其基本理論和基本分析方法。 課程內(nèi)容系統(tǒng)、嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)容豐富、實用性強(qiáng)。課程內(nèi)容系統(tǒng)、嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)容豐富、實用性強(qiáng)。 通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握電路分析的基本理通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握電路分析的基本理論和基本方法，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)思想方法及解決論和基本方法，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)思想方法及解決實際電路問題的能力及創(chuàng)新思維能力，也為后續(xù)理論實際電路問題的能力及創(chuàng)新思維能力，也為后續(xù)理論和技術(shù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。和技術(shù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。二、基二、基 本本 要要 求求 理解集總參數(shù)和線性電路的概念，掌握理想元件的理解集總參數(shù)和線性電路的概念，掌握理想元件的定義及其定義及其VCRVCR等；電路的等；電路的KCLKCL和和KVLKVL等。等。 理解各類電路分析問題的分類、基本概念和特點(diǎn)，理解各類電路分析問題的分類、基本概念和特點(diǎn)，掌握