#MATLAB數(shù)值計(jì)算功能

1、數(shù)值計(jì)算功能向量及其運(yùn)算1、向量生成(1) 、直接輸入向量元素用“”括起來，用空格或逗號(hào)生成行向量，用分號(hào)生成列向量a1=11 14 17 18a2=11,14,17,18 a2=11;14;17;18% 列向量用“'可以進(jìn)行向量轉(zhuǎn)置a1=11 14 17 18a4=a1'%a1行向量，a4列向量也可以用組合方法：A=1 2 3;B=7 8 9;C=A 4 ones(1,2) B(2) 、等差元素向量生成冒號(hào)生成法：Vec=VecO:n:Vecn，其中 Vec表示生成的向量，VecO表示第一個(gè)元素，n表示步長,Vecn表示最后一個(gè)元素使用linespace函數(shù)：Vec=line

2、space(VecO,n,Vecn)，其中Vec表示生成的向量，VecO表示第一個(gè)元素，n表示生成向量元素個(gè)數(shù)(默認(rèn)n=100)，Vecn表示最后一個(gè)元素vec1=10:5:50vec2=50:-5:10vec3=li nspace(10,50,6)2、向量的基本運(yùn)算(1) 、向量和數(shù)的四則運(yùn)算向量中每個(gè)元素和數(shù)的加減乘除運(yùn)算(除法運(yùn)算時(shí)，向量只能作為被除數(shù)，數(shù)只能作為除數(shù))vec1=li nspace(10,50,6)vec1+100vec2=logspace(0,10,6)%對數(shù)等分向量vec2/100(2) 、向量和向量之間的加減運(yùn)算向量中的每個(gè)元素和另一個(gè)向量中相對應(yīng)的元素的加減運(yùn)算v

3、ec1=li nspace(10,50,6)vec2=logspace(0,2,6)vec3=vec1+vec2(3) 、點(diǎn)積、叉積和混合機(jī)點(diǎn)積：dot函數(shù)，注意向量維數(shù)的一致性x仁11 22 33 44x2=1 2 3 4a=dot(x1,x2)sum(x1.*x2)%還可以采用 sum 函數(shù)計(jì)算向量的點(diǎn)積叉積： cross 函數(shù)，注意向量維數(shù)的一致性(由幾何意義可知，向量維數(shù)只能為3)x1=11 22 33 44x2=1 2 3 4x3=cross(x1,x2)%報(bào)錯(cuò)，維數(shù)只能為 3x1=11 22 33x2=1 2 3x3=cross(x1,x2)混合積：結(jié)果為一個(gè)數(shù)，先求cross，再

4、求dota=1 2 3b=2 4 3c=5 2 1v=dot(a,cross(b,c)v=cross(a,dot(b,c)%報(bào)錯(cuò)矩陣及其運(yùn)算MATLAB 的基本單位是矩陣，逗號(hào)或空格區(qū)分同一行不同元素，分號(hào)區(qū)分不同行 1、矩陣的生成4 種方法：在 command window 直接輸入；通過語句和函數(shù)產(chǎn)生； M 文件中建立；外部數(shù)據(jù) 文件中導(dǎo)入(1) 、直接輸入：把矩陣元素直接排列到方括號(hào)中，每行元素用逗號(hào)或空格相隔，行和行 之間用分號(hào)相隔martix=1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4冒號(hào)用法：A=1 1 1;1 2 3;1 3 6B=A(1:2,:)(2) 文件

5、導(dǎo)入：*.mat*.txt*.datload 文件名 參數(shù)直接導(dǎo)入：FileImport Data2、矩陣的基本數(shù)值運(yùn)算(1) 、矩陣和是常數(shù)的四則運(yùn)算(除法時(shí)，常數(shù)只能作為除數(shù)) matrix=1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4m1=100+matrixm2=100-matrixm3=100*matrixm4=matrix/2(2) 、矩陣之間的四則運(yùn)算 加減法：矩陣各個(gè)元素之間的加減法，必須是同型矩陣 matrix=1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4m1=20*matrixm2=m1+matrixm3=11 22 33;1 2 3;4

6、 5 6 m4=matrix-m1 m5=m3+m1%報(bào)錯(cuò)，非同型矩陣乘法：用 *，左矩陣的列數(shù)需等于右矩陣的行數(shù)A=1 1 1 1;2 2 2 2;3 3 3 3;4 4 4 4B=1 5 9 2;6 3 5 7;2 5 8 9;4 5 6 3C=A*BD=1 5 9;6 3 5;2 5 8E=A*D % 報(bào)錯(cuò)， 4*4 矩陣不能和 3*3 矩陣相乘 除法：左除(AX=B則X=AB,相當(dāng)于X=inv(A)*B，但是左除穩(wěn)定性好)右除 / (XA=B 則 X=B/A，相當(dāng)于 X=B*inv(A) 個(gè)人認(rèn)為：左除相當(dāng)于逆矩陣左乘，右除相當(dāng)于逆矩陣右乘%解方程組 XA=B的解，本列中 A=2 1-

7、1; 2 1 0;1 -1 1 ;B=1 -1 3;4 3 2 A=2 1 -1; 2 1 0;1 -1 1B=1 -1 3;4 3 2X=B/A矩陣可以使用比較運(yùn)算符：結(jié)果矩陣的對應(yīng)位置為 0或 1 數(shù)據(jù)變換： floor ceil round fix remn,d=rat(A): A表示為兩個(gè)整數(shù)陣對應(yīng)元素相除的形式A=n./d3、矩陣的特征參數(shù)運(yùn)算( 1 )、乘方和開方乘方：AAp計(jì)算A的p次方p>0: A 的 p 次方p<0: A逆矩陣的abs(p)次方A=1 2 3 4;4 5 6 7;4 5 6 7;8 9 10 11B=AA10開方：若有 X*X=A，則有sqrtm(

8、A)=XA=magic(5)B=sqrtm(A)BA2%驗(yàn)證正確性( 2)、指數(shù)和對數(shù)指數(shù)： expm(X)=V*diag(exp(diag(D)/V ( V,D=eig(X) )對數(shù)：L=logm(A),和指數(shù)運(yùn)算互逆X=rand(4)Y=expm(X)A=randn(4)B=logm(A)(3) 、逆運(yùn)算inv 函數(shù)，充要條件：矩陣的行列式不為 0A=1 0 0 0;1 2 0 0;2 1 3 0;1 2 1 4B=inv(A)廣義逆矩陣(偽逆)：pinv(A)非奇異矩陣的 pinv 和 inv 相同(4) 、行列式det 函數(shù)A=1 0 0 0;1 2 0 0;2 1 3 0;1 2 1

9、 4B=inv(A)x=det(A)y=det(B)i=x*y(5) 、特征值E=eig(X)：生成由X的特征值組成的列向量V,D=eig(X)： V是以X的特征向量為列向量的矩陣，D是由矩陣X的特征值構(gòu)成的對角陣D=eigs(X)：生成由X的特征值組成的列向量(eigs函數(shù)使用迭代法求解矩陣的特征值和特征 向量， X 必須是方陣，最好是大型稀疏矩陣)V,D=eig(X)： V是以X的特征向量為列向量的矩陣，D是由矩陣X的特征值構(gòu)成的對角陣X=magic(3)A=1 0 0;0 0 3;0 9 0E=eig(X)V D=eig(X)D=eigs(A)V D=eigs(A)(6) 、矩陣(向量)

10、的范數(shù)norm(X) ： 2-范數(shù)norm(X,2)： 2-范數(shù)norm(X,1)： 1-范數(shù)norm(X,inf) ：無窮范數(shù)norm(X, 'fro ')： Frobenius 范數(shù)normest(X):只能計(jì)算2-范數(shù)，并且是2-范數(shù)的估計(jì)值，用于計(jì)算norm(X)比較費(fèi)時(shí)的情況X=hilb(4)norm(4)norm(X)norm(X,2)norm(X,1)norm(X,inf)norm(X,'fro')normest(X)(7) 、矩陣的條件數(shù)運(yùn)算矩陣的條件數(shù)是判斷矩陣 “病態(tài)” 成都的一個(gè)度量， 矩陣 A 的條件數(shù)越大， 表明 A 越病態(tài)， 反之，表

11、明 A 越良態(tài)， Hilbert 矩陣就是有名的病態(tài)矩陣cond(X)：返回關(guān)于矩陣 X的2-范數(shù)的條件數(shù)cond(X,P)：關(guān)于矩陣X的P-范數(shù)的條件數(shù)(P為1、2、inf或'ro ')rcond(X)：計(jì)算矩陣條件數(shù)的倒數(shù)值，該值越接近0就越病態(tài)，越接近1就越良態(tài)condest(X):計(jì)算關(guān)于矩陣 X的1-范數(shù)的條件數(shù)的估計(jì)值M=magic(3);H=hilb(4);c1=cond(M)c2=cond(M,1) c3=rcond(M) c4=condest(M) h1=cond(H) h2=cond(H,inf) h3=rcond(H)h4=condest(H)由以上結(jié)果可

12、以看出，魔術(shù)矩陣比較良態(tài)， Hilbert 矩陣是病態(tài)的(8) 、秩rank 函數(shù)T=rand(6)rank(T)%6，滿秩矩陣T1=1 1 1;2 2 3r=rank(T1)%r=2,行滿秩矩陣(9) 、跡trace 函數(shù)，主對角線上所有元素的和，也是特征值之和M=magic(5)T=trace(M)T1=eig(M)T2=sum(T1)4、矩陣的分解運(yùn)算( 1 )、三角分解( lu )非奇異矩陣 A( n*n )，如果其順序主子式均不為 0，則存在唯一的單位下三角 L 和上三角 陣U,從而使得A=LUL,U=lu(X):產(chǎn)生一個(gè)上三角矩陣 U和一個(gè)下三角矩陣 L,使得X=LU, X可以不為

13、方陣 L,U,P=lu(X):產(chǎn)生一個(gè)單位下三角矩陣 L、一個(gè)上三角矩陣 U和交換矩陣P，PX=LUY=lu(X)：如果X是滿矩陣，將產(chǎn)生一個(gè)lapack'的dgetrf和zgetrf的輸出常式矩陣 Y;如果X 是稀疏矩陣，產(chǎn)生的矩陣Y將包含嚴(yán)格的下三角矩陣L和上三角矩陣U,這兩種情況下，都不會(huì)有交換矩陣 PX=6 2 1 -1;2 4 1 0;1 1 4 -1;-1 0 -1 3L U=lu(X)L U P=lu(X)Y=lu(X)( 2)、正交分解( qr)對于矩陣A (n*n),如果A非奇異，則存在正交矩陣Q和上三角矩陣R,使得A滿足關(guān)系式A=QR并且當(dāng)R的對角元都為正時(shí)， QR

14、分解是唯一的Q,R=qr(A):產(chǎn)生一個(gè)和 A維數(shù)相同的上三角矩陣 R和一個(gè)正交矩陣 Q,使得滿足 A=QR Q,R,E=qr(A):產(chǎn)生一個(gè)交換矩陣 E、一個(gè)上三角矩陣 R和正交陣Q,這三者滿足 AE=QR Q,R=qr(A,0):對矩陣A進(jìn)行有選擇的 QR分解，當(dāng)矩陣 A為m*n且m>n，那么只會(huì)產(chǎn)生具 有前 n 列的正交矩陣 QR=qr(A)：只產(chǎn)生矩陣 R,并且滿足 R=chol(A'*A)A=17 3 4;3 1 12;4 12 8Q R=qr(A)Q R E=qr(A)Q R=qr(A,0)R=qr(A)Q,R=qrdelete(A,j)：去除第 j 列求 QR 分解

15、Q,R=qrdelete(A,j,x)：在第j列插入x后求QR分解(3) 、特征值分解( eig)V,D=eig(X)： V是以矩陣X的特征向量作為列向量構(gòu)成的矩陣，D是矩陣X的特征值構(gòu)成的對角陣，滿足 XV=VDV,D=eig(A,B):對矩陣A、B做廣義特征值分解，使得AV=BVDA=magic(4)V D=eig(A)Z=A*V-V*DB=17 3 4 2;3 1 12 6;4 12 8 7;1 2 3 4V D=eig(A,B)Z=A*V-B*V*D(4) 、 Chollesky 分解( chol)當(dāng)矩陣A (n*n)對稱正定時(shí)，則存在唯一的對角元素為正的上三角矩陣R,使得A=R

16、9;*R，當(dāng)限定R的對角元素為正的時(shí)候，該分解是唯一的當(dāng)矩陣A為非正定陣時(shí)，會(huì)提示出錯(cuò)A=4 -1 1;-1 4.25 2.75;1 2.75 3.5R=chol(A)R'*R %=AA=0 4 0;3 0 1;0 1 3R=chol(A)%報(bào)錯(cuò)，A為非正定陣( 5)奇異值分解( svd)U,S,V=svd(X):和矩陣X維數(shù)相同的對角陣 S、正交矩陣U和正交矩陣V,使得滿足X=USV U,S,V=svd(X, 0): X為M*N矩陣，當(dāng)M>N時(shí)，生成的矩陣U只有前N列元素被計(jì)算出來， 并且S為N*N矩陣X=1 2 3;4 5 6;7 8 9U S V=svd(X)X=1 2 3

17、;4 5 6;7 8 9;10 11 12U S V=svd(X)X=1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12cklU S V=svd(X,0)Schur分解(正交陣和 schur陣)U,T=schur(A): A=UTU'schur陣是主對角線元素為特征值的三角陣5、矩陣的一些特殊處理size(A)：求矩陣A的行數(shù)、列數(shù)diag(A):求出矩陣A的對角元素repmat(A):將矩陣A作為單位，賦值成 m*n矩陣，其中每個(gè)元素都是A矩陣cat(k,A,B)： k=1合并后形如A;B (A，B列數(shù)相等)；k=1合并后形如A,B (A，B行數(shù)相等)(1) 、矩陣的變維resha

18、pe(X,M,N):將矩陣X的所有元素分配到一個(gè)M*N的新矩陣，當(dāng)矩陣X的元素不是 M*N時(shí)，返回錯(cuò)誤reshape(X,M,N,P,)：返回由矩陣 X的元素組成的M*N*P* 多維矩陣，若果 M*N*P* 和X的元素?cái)?shù)不同時(shí)，將返回錯(cuò)誤resh ape(X,M,N,P,):和上一條相同A=rand(4,2)reshape(A,2,4)reshape(A,2,2,2)用冒號(hào)變維：A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;B=ones(2,6);B(:)=A(:)(2) 、矩陣的變向rot90(A) ： A 按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 度rot90(A,K): A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90*K度

19、filpud(X):將X上下翻轉(zhuǎn)fliplr(X):將X左右翻轉(zhuǎn)flipdim(X,DIM) :將 X 的第 DIM 維翻轉(zhuǎn)X=1 4;2 5;3 6rot90(X)rot90(X,-1)flipud(X)fliplr(X)flipdim(X,2)%左右翻轉(zhuǎn)6、特殊矩陣的生成(1) 、零矩陣和全 1 矩陣的生成A=zeros(M,N):生成 M*N的零矩陣A=zeros(size(B):生成和B同型的零矩陣A=zeros(N):生成N階零矩陣仿真全1矩陣的生成和零矩陣的生成類似，使用ones函數(shù)A=zeros(4,5)B=1 2 3 4 5;2 3 4 5 6;9 8 7 6 5;8 7 6

20、5 4A=zeros(size(B)A=zeros(5)C=ones(5,6)C=ones(3)(2) 、對角矩陣的生成A=diag(V,K)： V為某個(gè)向量，K為向量V偏離主對角線的列數(shù)，K=0表示V為主對角線，K>00 表示 V 在主對角線以上， K<0 表示 V 在主對角線以下A=diag(V):相當(dāng)于 K=0v=1 9 8 1 6diag(v,1)diag(v)(3) 、隨機(jī)矩陣的生成rand(N) :生成 N*N 的隨機(jī)矩陣，元素值在 (0.0,1.0)之間 rand(M,N)randn(N)：生成N*N的隨機(jī)矩陣，元素之服從正態(tài)分布N(0,1)randn(M,N)ran

21、d(5)randn(5)(4) 、范德蒙德矩陣的生成A=vander(V):有 A(I,j)= v(i)n-jv=1 3 5 7 9A=vander(v)(5) 、魔術(shù)矩陣的生成它是一個(gè)方陣， 方陣的每一行， 每一列以及每條主對角線的元素之和都相同(2 階方陣除外)magic(N):生成N階魔術(shù)矩陣，使得矩陣的每一行，每一列以及每條主對角線元素和相等， N>0(N=2 除外)magic(2)magic(3)magic(4)(6) 、 Hilbert 矩陣和反 Hilbert 矩陣的生成Hilbert矩陣的第i行、第j列的元素值為1/(i+j-1)，反Hilbert矩陣是Hilbert矩陣

22、的逆矩陣 hilb(N):生成N階的Hilbert矩陣invhilb(N) :生成 N 階的反 Hilbert 矩陣A=hilb(5)B=invhilb(5)C=A*Brandpem(n)：隨機(jī)排列 hess(A)： hess矩陣 pascal(n)： PascaI矩陣 hankel(c)： Hankel 矩陣wilkinson(n)： wilkinson 特征值測試矩陣blkdiag(a,b,c,d)：產(chǎn)生以輸入元素為對角線元素的矩陣注： diag 函數(shù)的輸入?yún)?shù)只能有一個(gè)(可以為向量)compan(u):友矩陣hadamard(n)： hadamard 矩陣 toeplitz(c,r):托

23、布列茲陣數(shù)組及其運(yùn)算1 、數(shù)組尋址和排序(1)、數(shù)組的尋址A=randn(1,10)A(4)%訪問A的第4個(gè)元素A(2:6)%訪問A的第2到6個(gè)元素A(6:-2:1)A(1 3 7 4)%訪問 A 中 1、 3、7 和 4 號(hào)元素A(4:end) %end 參數(shù)表示數(shù)組的結(jié)尾(2)、數(shù)組的排序sort(X):將數(shù)組X中的元素按升序排序X是多維數(shù)組時(shí)，sort(X)命令將X中的各列元素按升序排序X是復(fù)數(shù)時(shí)，sort(X)命令將X中的各個(gè)元素的模 abs(X)按升序排序X是一個(gè)字符型單元數(shù)組，sort(X)命令將X中的各列元素按 ASCII碼升序排序'ascend '升Y=sort

24、(X,DIM,MODE): DIM 選擇用于排列的維， MODE 決定了排序的方式(序，descend'降序)，該命令生成的數(shù)組Y和X是同型的X=3 7 5;0 4 2sort(X,1)%縱向升序排序sort(X,2)%橫向升序排序sort(2)2、數(shù)組的基本數(shù)值運(yùn)算(1) 、加減法(和矩陣加減法相同)X=1 4 7Y=2 5 8Z=X-YV=X+Y(2) 、數(shù)組的乘除法乘法用“ *”： X、Y有相同維數(shù)，X.*Y表示X和Y中單個(gè)元素之間的對應(yīng)乘積 除法用“ ./”:注意“ ./ ”和“ ”完全不同X=10 52 96 12 56Y=2 26 3 4 8Z=10 52 96 12 56

25、 42Z1=X.*YZ2=X.*Z%報(bào)錯(cuò)，維數(shù)問題Z3=X./Y%Z3=5,2,32,3,7Z4=X.Y%Z4=0.2,0.5,0.0313,0.3333,0.1429Z5=X.Z%報(bào)錯(cuò)，維數(shù)問題(3) 、數(shù)組的乘方 兩個(gè)數(shù)組之間的乘方X=1 4 7Y=2 5 8Z=X.AY乘方運(yùn)算時(shí)指數(shù)為標(biāo)量X=3 6 9Z=X.A3乘方運(yùn)算時(shí)底數(shù)為標(biāo)量X=4 5 6 7 8 9Z=3.AX數(shù)組和矩陣也可以進(jìn)行exp、 log、 sqrt 等運(yùn)算，是對每個(gè)對應(yīng)元素進(jìn)行運(yùn)算3、數(shù)組的關(guān)系運(yùn)算小于( <)，小于等于( <=)，大于( >)，大于等于( >=)，等于( =)，不等于( =)

26、， 結(jié)果為 1，則關(guān)系式為真，結(jié)果為0，則關(guān)系式為假%rem(X,n),求余函數(shù)，X為被除數(shù)，n為除數(shù)M=magic(7)N=(rem(M,3)N=(rem(M,3)<=1)N=(rem(M,3)=1)N=(rem(M,3)>=1)4、數(shù)組的邏輯運(yùn)算和(&),或( |),非(),其中和、或可以比較兩個(gè)標(biāo)量或者兩個(gè)同階數(shù)組(或矩陣), 非運(yùn)算時(shí)針對數(shù)組(或矩陣中的每一個(gè)元素),當(dāng)邏輯為真則返回1,當(dāng)邏輯為假則返回 0M=1 1 0;0 1 0;1 0 0N=1 0 1;1 1 1;0 0 0M|NM&NNcat :串接flipdimfliplrflipudkron:積

27、數(shù)組permute :重組repmatreshaperot90稀疏型矩陣1、稀疏矩陣的生成(1) 、 speye 函數(shù):生成單位稀疏矩陣speye(size(A)speye(M,N):維數(shù)為 M和N中較小的一個(gè)speye(N)A=eye(10)speye(size(A)speye(7,6)speye(5)(2) 、sprand 函數(shù):生成隨機(jī)稀疏矩陣(元素服從0-1之間的隨機(jī)分布)R=sprand(S):產(chǎn)生和稀疏矩陣 S結(jié)構(gòu)相同的稀疏矩陣，但它的元素都是0-1上的隨機(jī)數(shù)Rsprand(M,N,D):產(chǎn)生一個(gè) M*N的隨機(jī)稀疏矩陣 R，它的非您元素的個(gè)數(shù)近似為M*N*D， 注意 D 的值在 0

28、-1 之間且不要過大v=3 5 6 2 1 9 6 5 5 6S=diag(v)R=sprand(S)R=sprand(10,10,0.08)( 3)、 sparse 函數(shù)S=sparse(X)：將矩陣X轉(zhuǎn)化為稀疏矩陣SS=sparse(l,j,s,m,n,nzm)：生成m*n的稀疏矩陣S,向量s的元素分布在以向量i的對應(yīng)值和向 量 j 的對應(yīng)值為坐標(biāo)的位置上，其中 nzm=length(s)S=sparse(l,j,s):生成m*n的稀疏矩陣S,向量s的元素分布在以向量 i的對應(yīng)值和向量j的對 應(yīng)值為坐標(biāo)的位置上，其中m=max(i)，n=max(j)S=sparse(m,n)：是 sparse(,m,n,0)的簡化形式i=6 2 7 7 4 1 2 5j=1 3 2 7 2 8 3 2s=8 3 7 7 1 7 0 2X=diag(s,-2)S=sparse(X)S1=sparse(i,j,s,10,10,7)%報(bào)錯(cuò)， nzmax=length(s)S1=sparse(i,j,s,10,10,8)S2=sparse(i,j,s,10,9)%默認(rèn) nzmax=length(s)S2=sparse(i,j,s)%m=max(i),n=max(j)2、稀疏矩陣的操作(