專題2 立方和差公式和差的立方公式必講張俊

1、專題二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 。我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數(shù)和平方公式 ；（4）兩數(shù)和立方公式 ；（5）兩數(shù)差立方公式 。對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明。反過來，就可以利用上述公式對多項式進(jìn)行因式分解。例1 計算：（1）；（2）；（3）。分析：兩項式與三項式相乘，先觀察其是否滿足立方和（差）公式，然后再計算.解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=。說明：第（1）、（2）兩題直接利用公式計算.第（3）題不能直接利用公式

2、計算，只好用多項式乘法法則計算，若將此題第一個因式中“+1”改成“-1”則利用公式計算；若將第二個因式中“”改成“”則利用公式計算；若將第二個因式 中“”改成“”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式計算。例2 計算：（1）；（2）；（3）；分析：利用乘法的交換律、積的乘方，找出滿足立方和（差）的兩個因式，是計算的關(guān)鍵.解：（1）原式；（2）解法一：原式；解法二：原式 ；（3）原式 。 說明：第（2）、（3）題往往先用立方和（差）公式計算簡捷.相反，如第（2）題的第二種解法就比較麻煩.例3因式分解：（1）；（2）；（3）。分析：對照立方和（差）公式，正確找出對應(yīng)的是解題關(guān)鍵，然后再

3、利用立方公式分解因式。解：（1）原式；（2）原式（3）原式。 說明：我們可嘗試一下，第(3)題先用立方差公式分解就比較復(fù)雜，會導(dǎo)致有的同學(xué)分解不徹底。例設(shè),試求的值。分析：對于立方和公式，我們不難把它變成：，即，再應(yīng)用兩數(shù)和、兩數(shù)積解題較為方便。解：。說明：立方和（差）與和（差）的立方之間可以相互轉(zhuǎn)化。例5 如果的三邊滿足，試判斷的形狀。分析：直接看不出三角形邊之間的關(guān)系，可把左邊的多項式分解因式，變形后再找出三角形三邊之間的關(guān)系。解：因為，所以，即，所以或， 因此是等腰三角形或直角三角形.說明：此類題型，通常是把等式一邊化為零，另一邊利用因式分解進(jìn)行恒等變形.練習(xí)1.計算：（1）；（2）；（3）；（4）。2.計算：（1）；（2）；（3）；（4）。3分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）。4化簡：。5若，求證：。6（1）已知，求的值；（2）已知：，求的值.7已知兩個正方體，其棱長之總和為48cm，體積之和為28cm3，求兩個正方體的棱長.8. 已知，求的值。 9. 已知，求的值。10.已知實數(shù)滿足，求的值。 答案：1（1） ；（2）；（3）；（4）。2（1）； （2）； （3）；（4）。3、（1）； （2）； （3）；（4）。425提示