初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)從一道數(shù)學(xué)壓軸題談起

1、初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)：從一道數(shù)學(xué)壓軸題談起由于工作的關(guān)系，我經(jīng)常接到一些學(xué)生的咨詢，反映在考試時(shí)，一見(jiàn)數(shù)學(xué)壓軸題就發(fā)怵，經(jīng)常折騰個(gè)把小時(shí)做不完； 還有的學(xué)生以為壓軸題一定很難，不敢碰它，所以不如干脆放棄，挪些時(shí)間檢查，保證基礎(chǔ)題少丟分，這也是部分老師的諄諄教導(dǎo)和學(xué)生家長(zhǎng)的千叮萬(wàn)囑這種做法是否明智？數(shù)學(xué)壓軸題是在初中主干知識(shí)的交匯處命制，是多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的融合或深挖，所涉及的知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋面廣， 綜合性強(qiáng)，對(duì)思維能力思維品質(zhì)的考查要求很高，幾乎都涉及到數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想與基本方法，如三角形的全等、相似；函數(shù)解析式 的求法與應(yīng)用、方程的思想、分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等，所以具有一

2、定難度，絕 大部分學(xué)生難以全部完成1 壓軸題真的就不能碰嗎？下面以 2009 年?yáng)|營(yíng)市壓軸題為例談?wù)勎覀兊目捶?題目：(2009 年?yáng)|營(yíng)市 24 題)已知正方形 ABCD 中，E 為對(duì)角線 BD 上一點(diǎn)，過(guò) E 點(diǎn) 作 EF 丄BD 交 BC 于 F,連接 DF , G 為 DF 中點(diǎn)，連接 EG, CG .(1) 求證：EG=CG;(2)將圖中厶 BEF 繞 B 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 450,如圖所示，取 DF 中點(diǎn) G,連接 EG ,。6.問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3) 將圖中厶 BEF 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)(1)中

3、的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？(均不要求證明)已知 Rt ABC 中，AB=AC，在 Rt ADE 中，AD = DE，連結(jié) EC,取 EC 中點(diǎn) M,連結(jié)DM 和 BM.(1) 若點(diǎn) D 在邊 AC 上，點(diǎn) E 在邊 AB 上且與點(diǎn) B 不重合，如圖，求證： BM=DM 且 BM 丄 DM ;這一壓軸題改編自廣州市2007 年初中學(xué)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題第25 題，原題如下:CAD(2)如圖中的 ADE 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針轉(zhuǎn)小于 45的角，如圖，那么(1)中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明.該題主要考查三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)、特殊四邊形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空

4、間觀念、演繹推理能力命題組給出的參考解答及評(píng)分意見(jiàn)如下:解：（1）證明：在 Rt FCD 中， G 為 DF 的中點(diǎn)，1二 CG= FD .1分2同理，在 Rt DEF 中，1八EG=FD . 2 分2 CG=EG . 3 分（2） （1）中結(jié)論仍然成立，即 EG=CG 證法一：連接 AG,過(guò) G 點(diǎn)作 MN 丄 AD 于 M，與 EF 的延長(zhǎng)線交于 N 點(diǎn).在厶 DAG 與厶 DCG 中，/ AD=CD，/ADG=ZCDG,DG=DG,DAG DCGAG = CG. . 5 分在厶 DMG 與厶 FNG 中，/DGM =ZFGN,FG=DG，/MDG =ZNFG,DMGFNGMG=NG.在矩

5、形 AENM 中，AM=EN . 6 分在 Rt AMG 與 Rt ENG 中，/ AM=EN, MG=NG, AMGENG AG=EG.EG = CG. 8 分證法二：延長(zhǎng) CG 至 M,使 MG=CG,連接 MF , ME , EC,. 4 分在厶 DCG 與厶 FMG 中，/ FG=DG，/MGF =ZCGD,MG=CG, DCGFMG . MF = CD，/FMG= ZDCG. MF / CD / AB. . 5 分EF MF.圖（二）圖圖（一）在 Rt MFE 與 Rt CBE 中,/ MF=CB, EF=BE ,MFECBE.MEF CEB./MEC= ZMEF+ ZFEC= ZC

6、EB+ZCEF=90 MEC 為直角三角形./ MG = CG,1- EG= MC.2EG CG . .8 分(3) (1)中的結(jié)論仍然成立，即 EG=CG .其他的結(jié)論還有:EG 丄 CG .10 分分析：解答壓軸題，除了要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和良好的的讀題習(xí)慣外, 的應(yīng)考能力，要特別關(guān)注題目中的特殊圖形，如題目中的“正方形的對(duì)角線” 關(guān)系，如“ EF 丄 BD”；特殊的點(diǎn)“中點(diǎn) G”等；要找準(zhǔn)壓軸題的“題眼”于某一個(gè)特殊圖形中或在于某個(gè)思想方法中.該壓軸題由 3 個(gè)小題組成 第 （1） 題要求證明兩條線段相等， 這可以分別在 Rt FCD 和 Rt DEF中利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜

7、邊的一半”得到要證得結(jié)論，這一問(wèn) 是比較簡(jiǎn)單的，容易上手；第題是改變圖中 BEF 的位置，將圖中 BEF 繞 B 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45o,如圖所 示，取DF 中點(diǎn) G,連接 EG,。6.問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明； 若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.這一問(wèn)稍難，但仍還屬于常規(guī)題型，證明的過(guò)程需要添加輔助線， 通過(guò)證兩次三角形的全等，借助于等量代換，得到EG CG；第（3）題較難，能力要求較高如果從合情推理的角度出發(fā)，可以通過(guò) 量一量、猜一猜 的辦法解決.在解答時(shí)把最容易的第（1）小題的分?jǐn)?shù)完全拿到，中等難度的第（2 ）小題力爭(zhēng)拿到全分，最難的第（3 ）小題要爭(zhēng)取得到一點(diǎn)分，這樣就大大提

8、高了獲得數(shù)學(xué)高分的可能性.另外，從評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)可以看出，一定要重視分段得分一道壓軸題做不出來(lái)，不等于一點(diǎn)思路沒(méi)有，要考慮各種可能由淺入深的分析，知道一步做一步因此，對(duì)壓軸題要理解多少做多少，最大限度地發(fā)揮自己的水平.所以，我要大聲疾呼：千萬(wàn)莫輕易向壓軸題投降！2還有其他解法嗎F 面再給出（2）的另外幾種證法:證法三：過(guò)點(diǎn) G 作 MN / AD 交 AB 于 M，交 CD 于 N , GP 丄 AD 于 P,則厶 BMG 與厶 DNG 均是等腰直角三角形，四邊形 MNCB 是矩形，四邊形 PDNG 是正方形.所以 MG=BM=CN.由于 G 為 DF 的中點(diǎn)， 所以 EM=AM=DN=GN,所以

9、Rt EMG 也 Rt GNG,還要具備較高 ;特殊的位置 “題眼” 一般在7 分DN圖（三）C所以EG CG證法四：過(guò) G 作 GM / AD 交 AB 于 M ,因?yàn)?EF / AD,DG=GF，所以 AM=ME, 所以 GA=GE.因?yàn)樗倪呅?ABCD 是正方形，所以 AD=CD, GD=GD, / AGD=ZCGD , 所以AGDCGD,所以 AG=CG.所以EG CG3 該壓軸題能推廣嗎？將試題中“ E 為對(duì)角線 BD 上一點(diǎn)，過(guò) E 點(diǎn)作 EF 丄 BD 交 BC 于 F”變換為“ E 為直線BD 上一點(diǎn)，過(guò) E 點(diǎn)作 EF 丄 BD 交直線 BC 于 F ”，可得：變式 1:已知

10、正方形 ABCD 中，E 為直線 BD 上一點(diǎn)，過(guò) E 點(diǎn)作 EF 丄 BD 交直線 BC 于F，連接 DF , G 為 DF 中點(diǎn)，連接 EG, CG (1) 求證：EG=CG;(2) 將厶 BEF 繞 B 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 450,取 DF 中點(diǎn) G,連接 EG, CG.問(wèn)(1)中的結(jié) 論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3) 將厶 BEF 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論?已知正方形 ABCD 中，E 為直線 BD 上一點(diǎn)，過(guò) E 點(diǎn)作 EF 丄 BD 交直線 BC 于 F，連接DF，G 為 DF 中點(diǎn)

11、，連接 EG，CG .(1) 求證：EG=CG;(2) 將厶 BEF 繞 B 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 450,取 DF 中點(diǎn) G，連接 EG，CG.問(wèn)(1)中的結(jié)將變式 1 中“將 BEF 繞 B 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)450”,可得：變式 2：450”變換為“將 BEF 繞 B 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)C論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）將厶 BEF 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？如果將條件“過(guò) E 點(diǎn)作 EF 丄 BD 交直線 BC 于 F，連接 DF , G 為 DF 中點(diǎn)，連接 EG ,CG.”變換為“過(guò) E 點(diǎn)作 E

12、F 丄 BC 交直線 BC 于 F，連接 DE ,G 為 DE 中點(diǎn)，連接 FG, CG可得：變式 3:DE , G 為 DE 中點(diǎn)，連接 FG, CG .(1) 求證：FG = CG;（2）將厶 BEF 繞 B 點(diǎn)順（或逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn) 450,中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立,（3）將厶 BEF 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然變式 4 :如圖，P 是正方形 ABCD 對(duì)角線 AC 上一動(dòng)點(diǎn)（P 與若將條件“知正方形 ABCD 中，E 為對(duì)角線 BD 上一點(diǎn)，過(guò) E 點(diǎn)作 EF 丄 BD 交 BC 于 F , 連接DF , G 為 DF 中點(diǎn)

13、，連接 EG, CG.”變換為“知正方形 ABCD 中，P 為對(duì)角線 AC 上一點(diǎn)，過(guò) P 點(diǎn)作 PE 丄 BC 交 BC 于 E, PF 丄 CD 交 CD 于 F.”可得:已知正方形 ABCD 中，E 為直線 BD 上一點(diǎn)，過(guò)E 點(diǎn)作 EF 丄 BC 交直線 BC 于 F,連接取 DE 中點(diǎn) G,連接 FG,。6.問(wèn)（1）請(qǐng)說(shuō)明理由.成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論?由證法四，可得重合），點(diǎn) E 在射線 BC 上，且 PE=PB .求證： PE=PD ;PE 丄 PD.FACEA、C 不變式 5:如圖 1,已知 P 為正方形 ABCD 的對(duì)角線 AC 上一點(diǎn)(不與 A、C 重合),PE 丄

14、 BC 于點(diǎn) E, PF 丄 CD 于點(diǎn) F.求證：BP=DP ;(2)如圖 2， 若四邊形 PECF繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角 度，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否總有 BP=DP ?若是，請(qǐng)給予證明; 若不是，請(qǐng)用反例加以說(shuō)明；兩條線段在四邊形 PECF 繞點(diǎn) C 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度始終相等，并證明你的結(jié)論.4 能得到什么啟示？(1) 回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)近年來(lái)中考數(shù)學(xué)有許多新題型，多數(shù)試題取材于教科書， 試題的構(gòu)成是在教科書中的例題、練習(xí)題、習(xí)題的基礎(chǔ)上通過(guò)類比、加工改造、加強(qiáng)條件或減弱條件、延伸或擴(kuò)展而成的， 也就是說(shuō)，教科書中的例題、練習(xí)題、習(xí)題為編擬中考數(shù)學(xué)試題提供了豐富的題源所以，我們要回到教材，認(rèn)真研究教材，發(fā)揮教材的示范作用(2) 注重過(guò)程，發(fā)展能力要親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出過(guò)程、解決方法的探索過(guò)程、問(wèn)題結(jié)論的深化過(guò)程、方法能力的遷移過(guò)程積極參與數(shù)學(xué)思維活動(dòng)、經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展過(guò)程，重視動(dòng)