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文檔簡(jiǎn)介
1、基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)教材:人教版高中數(shù)學(xué)必修5第三章一、教學(xué)目標(biāo)1通過(guò)兩個(gè)探究實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得兩個(gè)基本不等式,了解基本不等式的幾何背景,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想;2進(jìn)一步提煉、完善基本不等式,并從代數(shù)角度給出不等式的證明,組織學(xué)生分析證明方法,加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí),提高邏輯推理論證能力;3結(jié)合課本的探究圖形,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究基本不等式的幾何解釋,強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想;4借助例1嘗試用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題,通過(guò)例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件(一正二定三相等)在解決最值中的作用,提升解決問題的能力,體會(huì)方法與策略以上教學(xué)目標(biāo)結(jié)合了教學(xué)實(shí)際,將知識(shí)與能力、過(guò)程與
2、方法、情感態(tài)度價(jià)值觀的三維目標(biāo)融入各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索不等式 的證明過(guò)程;難點(diǎn):在幾何背景下抽象出基本不等式,并理解基本不等式三、教學(xué)過(guò)程:1動(dòng)手操作,幾何引入如圖是2002年在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo),會(huì)標(biāo)是根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計(jì)的,該圖給出了迄今為止對(duì)勾股定理最早、最簡(jiǎn)潔的證明,體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何是緊密結(jié)合、互不可分的探究一:在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎?在正方形中有4個(gè)全等的直角三角形設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為,那么正方形的邊長(zhǎng)為于是,4個(gè)直角三角形的面積之和,
3、正方形的面積由圖可知,即探究二:先將兩張正方形紙片沿它們的對(duì)角線折成兩個(gè)等腰直角三角形,再用這兩個(gè)三角形拼接構(gòu)造出一個(gè)矩形(兩邊分別等于兩個(gè)直角三角形的直角邊,多余部分折疊)假設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別為和(),考察兩個(gè)直角三角形的面積與矩形的面積,你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)不等式嗎?通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作,探索發(fā)現(xiàn):2代數(shù)證明,得出結(jié)論根據(jù)上述兩個(gè)幾何背景,初步形成不等式結(jié)論:若,則若,則學(xué)生探討等號(hào)取到情況,教師演示幾何畫板,通過(guò)展示圖形動(dòng)畫,使學(xué)生直觀感受不等關(guān)系中的相等條件,從而進(jìn)一步完善不等式結(jié)論:(1)若,則;(2)若,則請(qǐng)同學(xué)們用代數(shù)方法給出這兩個(gè)不等式的證明證法一(作差法):,當(dāng)時(shí)取等號(hào)(在該過(guò)程中,
4、可發(fā)現(xiàn)的取值可以是全體實(shí)數(shù))證法二(分析法):由于,于是要證明 ,只要證明 , 即證 ,即 ,該式顯然成立,所以,當(dāng)時(shí)取等號(hào)得出結(jié)論,展示課題內(nèi)容基本不等式:若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立)若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立)深化認(rèn)識(shí):稱為的幾何平均數(shù);稱為的算術(shù)平均數(shù)基本不等式又可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)3幾何證明,相見益彰探究三:如圖,是圓的直徑,點(diǎn)是上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作垂直于的弦,連接根據(jù)射影定理可得:由于Rt中直角邊斜邊,于是有當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合時(shí),即時(shí)等號(hào)成立故而再次證明:當(dāng)時(shí),(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立)(進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合
5、的意識(shí),提升思維的靈活性)4應(yīng)用舉例,鞏固提高例1.(1)用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?(2)一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí),菜園的面積最大,最大面積是多少?(通過(guò)例1的講解,總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化)對(duì)于,(1)若(定值),則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最小值;(2)若(定值),則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最大值(鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo),不但可使他們加深基本不等式的理解,還鍛煉了他們的思維,培養(yǎng)了勇于探索的精神)例2.求的值域變式1. 若,求的最小值在運(yùn)用基本不等式解題的基礎(chǔ)上,利
6、用幾何畫板展示的函數(shù)圖象,使學(xué)生再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想并通過(guò)例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件(一正二定三相等)在解決最值問題中的作用,提升解決問題的能力,體會(huì)方法與策略練一練(自主練習(xí)):1.已知,且,求的最小值2.設(shè),且,求的最小值5歸納小結(jié),反思提高基本不等式:若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立)若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立)(1)基本不等式的幾何解釋(數(shù)形結(jié)合思想);(2)運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問題的基本方法媒體展示,滲透思想:若將算術(shù)平均數(shù)記為,幾何平均數(shù)記為利用電腦3D技術(shù),在空間坐標(biāo)系中向?qū)W生展示基本不等式的幾何背景:平面在曲面的上方 6布置作業(yè),課
7、后延拓(1)基本作業(yè):課本P100習(xí)題組1、2題(2)拓展作業(yè):請(qǐng)同學(xué)們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋,整理并相互交流(3)探究作業(yè):現(xiàn)有一臺(tái)天平,兩臂長(zhǎng)不相等,其余均精確,有人說(shuō)要用它稱物體的重量,只需將物體放在左右托盤各稱一次,則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實(shí)重量這種說(shuō)法對(duì)嗎?并說(shuō)明你的結(jié)論基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)課是人教版高中數(shù)學(xué)必修5中第三章第4節(jié)的內(nèi)容。主要是二元均值不等式。它是在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì),掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的,作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運(yùn)用,研究最值問題,此時(shí)
8、基本不等式是必不可缺的?;静坏仁皆谥R(shí)體系中起了承上啟下的作用,同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用,因此它也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感價(jià)值觀教育的優(yōu)良素材,所以基本不等式應(yīng)重點(diǎn)研究。教學(xué)中注意用新課程理念處理教材,學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不僅要接受、記憶、模仿和練習(xí),而且要自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué),師生互動(dòng),教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用,引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過(guò)程。就知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值上來(lái)看,基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題中抽象出來(lái)的一個(gè)模型,在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、抽象歸納、演繹推理、分析法證明等在各種不等式的研究中均有著廣泛的應(yīng)用;另外,在解決函數(shù)
9、最值問題中,基本不等式也起著重要的作用。就內(nèi)容的人文價(jià)值上來(lái)看,基本不等式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納,有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)和提高數(shù)學(xué)能力的良好載體。 二、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo):了解基本不等式的幾何背景,能在教師的引導(dǎo)下探究基本不等式的證明過(guò)程,理解基本不等式的幾何解釋,并能解決簡(jiǎn)單的最值問題;借助于信息技術(shù)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想方法。在教師的逐步引導(dǎo)下,能從較為熟悉的幾何圖形中抽象出基本不等式,實(shí)現(xiàn)對(duì)基本不等式幾何背景的初步了解。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì),可以運(yùn)用作差法給出基本不等式的證明,同時(shí),介紹并滲透分析法證明的
10、思想方法,從而完成基本不等式的代數(shù)證明。進(jìn)一步通過(guò)探究幾何圖形,給出基本不等式的幾何解釋,加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。通過(guò)應(yīng)用問題的解決,明確解決應(yīng)用題的一般過(guò)程。這是一個(gè)過(guò)程性目標(biāo)。借助例1,引導(dǎo)學(xué)生嘗試用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題,體會(huì)和與積的相互轉(zhuǎn)化,進(jìn)一步通過(guò)例2,引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件(一正二定三相等)在解決最值問題中的作用,并用幾何畫板展示函數(shù)圖形,進(jìn)一步深化數(shù)形結(jié)合的思想。結(jié)合變式訓(xùn)練完善對(duì)基本不等式結(jié)構(gòu)的理解,提升解決問題的能力,體會(huì)方法與策略。三、教學(xué)問題診斷在認(rèn)知上,學(xué)生已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì),并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)、式的大小比較,也具備了一定的平
11、面幾何的基本知識(shí)。但是,倘若教師不加以引導(dǎo),學(xué)生并不能自覺地通過(guò)已有的知識(shí)、記憶去發(fā)展和構(gòu)建幾何圖形中的相等或不等關(guān)系,這就需要教師逐步地引導(dǎo),并選用合理的手段去激活學(xué)生的思維,增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。另外,盡可能引領(lǐng)學(xué)生充分理解兩個(gè)基本不等式等號(hào)成立的條件,為利用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題做好鋪墊。在用基本不等式解決最值時(shí),學(xué)生往往容易忽視基本不等式使用的前提條件,同時(shí)又要注意區(qū)別基本不等式的使用條件為。因此,在教學(xué)過(guò)程中,借助例題落實(shí)學(xué)生領(lǐng)會(huì)基本不等式成立的三個(gè)限制條件(一正二定三相等)在解決最值問題中的作用。而對(duì)于“一正二定三相等”的進(jìn)一步強(qiáng)化和應(yīng)用,將放于下一個(gè)課時(shí)的內(nèi)容。四、教學(xué)支
12、持條件分析為了能很好地展示幾何圖形,體會(huì)基本不等式的幾何背景,教學(xué)中需要有具體的圖形來(lái)幫助學(xué)生理解基本不等式的生成,感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,所以,借助于幾何畫板軟件來(lái)加強(qiáng)幾何直觀十分必要,同時(shí)演示動(dòng)畫幫助學(xué)生驗(yàn)證基本不等式等號(hào)取到的情況,并用電腦3D技術(shù)展示基本不等式的又一幾何背景,加深對(duì)基本不等式的理解,增強(qiáng)教學(xué)效果。五、教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖 教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)從實(shí)際的問題情境出發(fā),以基本不等式的幾何背景為著手點(diǎn),以探究活動(dòng)為主線,探求基本不等式的結(jié)構(gòu)形式,并進(jìn)一步給出幾何解釋,深化對(duì)基本不等式的理解。通過(guò)典型例題的講解,明確利用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問題的應(yīng)用價(jià)值。數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程,并時(shí)刻體現(xiàn)在教學(xué)活動(dòng)之中。六、教法和預(yù)期效果分析本節(jié)課通過(guò)6個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié),強(qiáng)調(diào)過(guò)程教學(xué),在教師的引導(dǎo)下,啟動(dòng)觀察、分析、感知、歸納、探究等思維活動(dòng),從各個(gè)層面認(rèn)識(shí)基本不等式,并理解其幾何背景。課堂教學(xué)以學(xué)生為主體,基本不等式為主線,在學(xué)生原有的認(rèn)知基本上,充分展示基本不等式這一知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展及再創(chuàng)造的過(guò)程。 同時(shí),以多媒體課件、幾何畫板、電腦3D技術(shù)作為教學(xué)輔助手段,賦予學(xué)生直觀感受,便于觀察,從而把一個(gè)生疏的、內(nèi)在的知識(shí),變成一個(gè)可認(rèn)知的、可交流的對(duì)象,提高了課堂效
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