不定積分與定積分

1、第四章 不定積分與定積分4.1 不定積分一、學(xué)時： 二、教學(xué)要求：不定積分的定義：原函數(shù)、不定積分、積分基本公式、不定積分加法與數(shù)乘。不定積分的求法；（1）理解原函數(shù)、不定積分的定義及關(guān)系；（2）熟記不定積分的基本公式，會不定積分的加法數(shù)乘運(yùn)算；（3）會換元積分法：第一換元法、第二換元法；（4）分部積分法：理解分部積分法的推導(dǎo)，能用分部積分法求一些標(biāo)準(zhǔn)型不定積分。重點(diǎn)：原函數(shù)、不定積分的定義及關(guān)系，不定積分的基本公式，不定積分的加法數(shù)乘運(yùn)算，第一換元法、第二換元法，分部積分法難點(diǎn)：第一換元法、第二換元法，分部積分法三、教學(xué)內(nèi)容：第二章討論了如何求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（微分）問題，現(xiàn)在來討論它的逆問題

2、，即要由一個函數(shù)的已知導(dǎo)數(shù)（微分），求原來的函數(shù)問題，即求不定積分. 不定積分的概念與性質(zhì)定義1 設(shè)是定義在某區(qū)間上的已知函數(shù). 若存在一個函數(shù),對于該區(qū)間上每一點(diǎn)都滿足：或,則稱是 在該區(qū)間的一個原函數(shù).例如 已知,由于滿足 ,所以是的一個原函數(shù). 同理，等也都是的原函數(shù).由此可知，已知函數(shù)的原函數(shù)不止一個. 若是的一個原函數(shù)，則也是的原函數(shù).且若,都是的原函數(shù)則，知,即它們僅相差一個常數(shù).因此，若是的一個原函數(shù)，則的所有原函數(shù)可以表示為.定義2 函數(shù)的所有原函數(shù)，稱為函數(shù)的不定積分，記作其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，“”稱為積分號.顯然，若是的一個原函數(shù)，則由定義2可知其

3、中C是任意常數(shù).因此，求函數(shù)的不定積分，只需求出的一個原函數(shù),再加上任意常數(shù)C即可. 例如例1 求函數(shù)的不定積分解 （1）當(dāng)時， 所以 （2）當(dāng)時， 所以 合并（1）（2）兩式得到：由不定積分的定義即可知不定積分具有如下性質(zhì)：1. 求不定積分與求導(dǎo)數(shù)或微分互為逆運(yùn)算（1）或（2）或2. 因?yàn)?，說明是的原函數(shù).3. 因?yàn)楣视袃蓚€函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于各個函數(shù)不定積分的代數(shù)和，這個公式可以推廣到任意有限多個函數(shù)的代數(shù)和的情況. 基本不定積分公式由導(dǎo)數(shù)的基本公式對應(yīng)地可以得到下面基本不定積分公式.（1） （為常數(shù)）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）例2

4、求解 原式.注意 這里三個不定積分本來應(yīng)該有三個任意常數(shù)，經(jīng)過代數(shù)和之后，只要用一個任意常數(shù)即已足夠.下面類似情況就不特別加以說明.例3 求 解 原式例4 求解 原式例5 設(shè)某廠生產(chǎn)某種商品的邊際收入為 ，其中為該商品的產(chǎn)量，如果該產(chǎn)品可在市場上全部售出，求總收入函數(shù).解 因?yàn)?，兩邊積分得又因?yàn)楫?dāng)時，總收入，從而. 所以總收入函數(shù)為. 不定積分的幾何意義 若是的一個原函數(shù)，則曲線稱為的一條積分曲線，將其沿軸方向任意平行移動，就得到積分曲線族. 在每一條積分曲線上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處作切線，這些切線都是相互平行的，如圖4.1.圖 4.1不定積分在幾何上就表示全體積分曲線所組成的積分曲線族，它們的方程

5、為.例6 求過點(diǎn)且在點(diǎn)處切線斜率為的曲線方程.解 設(shè)所求曲線方程為，因?yàn)?，由不定積分定義，有因所求的曲線過點(diǎn)，代入得到. 于是所求的曲線方程為. 不定積分換元法和分部積分法利用基本不定積分公式及性質(zhì)只能求一些簡單的不定積分，對于比較復(fù)雜的不定積分，我們需要進(jìn)一步方法，下面簡單介紹第一類換元積分法、第二類換元積分法和分部積分法，詳細(xì)可參閱參考書1、2. 應(yīng)該指出現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)軟件，如Mathematica ，Matlab等都具有求不定積分功能，讀者可以借助數(shù)學(xué)軟件求不定積分，也可以通過查積分表求不定積分.1. 第一類換元積分法例7 求解 選擇新變量，則原式第一類換元積分法主要在于選擇新的變量其中為

6、連續(xù)可導(dǎo)的, 原不定積分轉(zhuǎn)換為可以使用基本不定積分公式. 為選擇好新的變量,往往把原不定積分被積表達(dá)式湊成微分的形式，便于使用基本公式，求出積分后，再還原為原積分變量.例8 求解例9 求解2. 第二類換元積分法 第一類換元積分法是選擇新變量，但對某些不定積分，則需要作相反的代換，即令，其中是連續(xù)可導(dǎo)的，以使積分化為能使用基本公式. 該類變量替換公式由于要求出關(guān)于的表達(dá)式，所以還須存在反函數(shù).例10 求解 令，則， 原式例11 求解 令，則, 原式3. 分部積分法設(shè)函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由得 兩邊求不定積分，得為便于應(yīng)用，上式可寫成這就是分部積分公式. 如果求有困難，而求較容易時，我們就可以利用分部積

7、分公式.例12 求解 （利用第二個公式）例13 求解 （利用第二公式）例14 求解 （分部積分法） （分部積分法）由于上式右端的第三項(xiàng)就是所求的積分，將它移到等式左端去，兩端再同除以2，即得四、練習(xí)1. 求下列不定積分（1）（2）（3） （4）（5）； （6）（7）（8）2. 求下列不定積分（1）；（2）（3）； （4）（5）； （6）；3. 求下列不定積分 （1）； （2）4. 求下列不定積分 （1）； （2）（3）； （4）5. 若，求6. 一曲線位于第一象限并過點(diǎn)，且過曲線上任一點(diǎn)的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求該曲線方程.7. 設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品，其邊際成本與日產(chǎn)量（千克）關(guān)系為：（美元

8、/千克），其固定成本為2000美元，試求成本函數(shù).4.2 定積分的概念與性質(zhì)一、學(xué)時： 二、教學(xué)要求：定積分的概念與性質(zhì)：定積分概念、幾何意義、基本性質(zhì)（1）解定積分的幾何意義，理解其定義。（2）了解定積分性質(zhì)的簡單說明（用定義簡單推導(dǎo)或用幾何直觀圖說明并會用這些性質(zhì)）。（3）理解定積分在解成本問題中的意義。重點(diǎn)：定積分的幾何意義，定積分在解成本問題中的意義難點(diǎn)：定積分在解成本問題中的意義三、教學(xué)內(nèi)容： 定積分概念實(shí)例之一 ：面積問題例1 如圖4.2（a）,如何求由曲線,軸以及直線所圍成的平面圖形面積？（a） (b)(c) (d)圖 4.2所求圖形簡稱為，其面積不妨稱為面積. 為了逼近面積我們

9、第一步是把區(qū)間四等分，每個小區(qū)間的長度，在每個小區(qū)間的左端點(diǎn)取對應(yīng)的函數(shù)值作為矩形高度. 這樣在曲線下方就有4個矩形，這4個矩形面積之和稱為左和在一定程度逼近面積，但比面積小，如圖4.2（b）所示. 具體數(shù)值計(jì)算如下：現(xiàn)在我們在原來分割的基礎(chǔ)上，取每個分割小區(qū)間的右端點(diǎn)作為矩形高度，如此我們得到覆蓋住的4個小矩形，其面積之和稱為右和，也在一定程度上逼近面積，但比面積大，如圖4.2（c）所示. 具體數(shù)值計(jì)算如下：上述利用區(qū)間四等分，構(gòu)造4個矩形，用其面積來逼近圖形面積顯然是太粗糙了. 我們可以把區(qū)間在原來四等分基礎(chǔ)上進(jìn)一步細(xì)分，例如把區(qū)間十六等分，構(gòu)造16個矩形來逼近圖形，見圖4.2（d）其右和

10、、左和對應(yīng)的結(jié)果計(jì)算如下；顯然有為了使逼近更精確，還可以把區(qū)間一百等分，構(gòu)造100個矩形來逼近圖形，其左和與右和通過計(jì)算機(jī)編程計(jì)算得上述逼近的誤差也可以估計(jì)，以和為例計(jì)算如下：一般來說，我們可以把區(qū)間等分，分點(diǎn)為,記，構(gòu)成左和與右和來逼近圖形面積如下：左和：右和：因此，與 時有圖形的面積可以把上面方法進(jìn)一步拓展到由連續(xù)曲線, 軸及直線所圍成平面圖形，稱其為曲邊梯形. 現(xiàn)在計(jì)算曲邊梯形面積（如圖4.3）. 可以仿照上面的方法，但在區(qū)間分割及在小區(qū)間取點(diǎn)方式上進(jìn)行改進(jìn)，以使之更一般化或逼近的更好. 具體分如下四個步驟；圖 4.3（1）分割用分點(diǎn)把區(qū)間任意分成個小區(qū)間每個小區(qū)間的長度為對應(yīng)地，把曲邊

11、梯形分成個小曲邊梯形,這里區(qū)間分割與前面不同的 是每個小區(qū)間的長度不一定相等. （2）近似代替 對于第i個小曲邊梯形，在小區(qū)間上任取一點(diǎn)，得到以為底，為高的小矩形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，即這里應(yīng)當(dāng)注意 此處是在區(qū)間上任意取一點(diǎn)，前面例子僅在的左端點(diǎn)或右端點(diǎn)來取. 由于在 上連續(xù)的，不論在上取哪一點(diǎn)，都不影響下面所構(gòu)造的和的極限.（3）求和得個小矩形面積求和，如圖4.3中階梯形的面積，即得曲邊梯形面積的近似值如下（4）取極限當(dāng)分點(diǎn)數(shù)無限加大時，小區(qū)間中最大區(qū)間長度記為,當(dāng)，時（即所有分割的小區(qū)間都趨于），和式的極限便是曲邊梯形的面積，即 注意 一般曲邊梯形面積若能求得，則由任意

12、連續(xù)曲線圍成的圖形面積就可以求得. 如圖4.4所示，把曲線圍成的圖形分割六小塊，編號為1至6號，其中2號與5號即是前面所說的曲邊梯形的特例，1、3、4、6號為曲邊三角形，是曲邊梯形的特例.，也可以用計(jì)算曲邊梯形面積的方法來計(jì)算其面積.圖 4.4 定積分概念實(shí)例之二：成本問題例2 某公司對其產(chǎn)品成本變化情況，測得如下關(guān)系式 （元/單位產(chǎn)品）其中表示該產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量，表示當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為時再增加一個單位產(chǎn)品時所增加的成本（即邊際函數(shù)）. 試求當(dāng)產(chǎn)品從300件增加到900件時該公司所增加的成本.如同第二章有關(guān)邊際函數(shù)描述那樣，在經(jīng)濟(jì)和商務(wù)中所遇見函數(shù)自變量往往僅取正整數(shù)值，其函數(shù)值也是離散的，為數(shù)學(xué)處理

13、上方便，我們將其連續(xù)化，轉(zhuǎn)化成具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)來處理. 這時許多結(jié)果只能看作是近似的，但不影響對實(shí)際問題的分析. 下面敘述中，我們常略去“近似”二字.該公司產(chǎn)品產(chǎn)量從300件增加到900件，因此將其連續(xù)化，考慮作為考察區(qū)間，在這個區(qū)間內(nèi)插入個分點(diǎn)考慮產(chǎn)量從增加到時所增加的成本，由于作為邊際成本在的值表示當(dāng)產(chǎn)量為時增加單位產(chǎn)量所增加的成本. 當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量增加單位時，所增加成本為.因此，當(dāng)產(chǎn)量從增加到時，所增加的總成本為 . 為了更精確估計(jì)，同樣可設(shè)，并令時，所增加的總成本可表示為. 定積分的概念 前兩段我們引進(jìn)了兩個例子涉及不同的領(lǐng)域，但都引導(dǎo)出求類型相同的和的極限問題. 還有許多實(shí)際問題諸如求

14、直線變速運(yùn)動的總路程，變力作功，水對水壩的總壓力，某企業(yè)總產(chǎn)量、總利潤、總收益、. 旋轉(zhuǎn)體的體積等都可以歸結(jié)為求此類型和的極限. 在數(shù)學(xué)上稱之為定積分問題. 為此，抽象地給出如下數(shù)學(xué)定義.定義1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，任意用分點(diǎn)把區(qū)間分成個小區(qū)間在每一個小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和稱為積分和，記小區(qū)間中最大區(qū)間長度為，如果當(dāng)時，上述和式的極限存在，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，并稱此極限值為在區(qū)間上的定積分，記為,即其中“稱做積分號，稱做被積函數(shù)，稱做被積表達(dá)式，稱做積分變量，區(qū)間稱做積分區(qū)間，與分別稱做積分下限與積分上限.根據(jù)定積分定義，前二段所舉的例子中，例1中曲邊梯形的面積是函數(shù)在上的定積分，即,例二中

15、當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量從300件增加到900件時所增加的成本為，關(guān)于定積分的定義，有以下幾點(diǎn)說明（1）函數(shù)在區(qū)間上可積是指定積分存在，即不論對區(qū)間怎樣劃分及點(diǎn)如何選取，當(dāng)時，和式的極限值都唯一存在，可以證明（證略）在上連續(xù)的函數(shù)必定在區(qū)間上可積.（2）定積分表示一個數(shù)值，它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量用何字母表示無關(guān)，下面積分變量分別用，其定積分表示式實(shí)際都是一樣的.（3）在定義中曾假定，為今后應(yīng)用方便，規(guī)定（i） (換限變號)（ii）（4）由前面敘述可知，當(dāng)時，定積分的幾何意義是表示由曲線,直線 與軸所圍成曲邊梯形的面積，但當(dāng)在區(qū)間上的值有正有負(fù)時，定積分在幾何上表示曲線，直線與軸圍成的在軸

16、上方和下方曲邊梯形面積的代數(shù)和，其中軸上方的面積為正，軸下方的面積為負(fù)，例如由圖4.5所示，則有圖4.5 定積分的基本性質(zhì)下面定積分的性質(zhì)均假定,為可積的，性質(zhì)1 兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和情形.性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外，即 （是常數(shù)）性質(zhì)3 對任意點(diǎn)，有該性質(zhì)又稱為定積分的積分區(qū)間可加性.性質(zhì)4 如果在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得該性質(zhì)又稱為積分中值定理.以上性質(zhì)的證明均可參見1,2，這里證略. 對于積分中值定理，特別指出其幾何意義是在上至少存在一點(diǎn)，使得以區(qū)間為底邊，以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同底邊而

17、高為的矩形面積. 見圖4.6所示. 圖 4.6其中 又表示連續(xù)曲線在閉區(qū)間上的平均高度，即函數(shù)在區(qū)間上的平均值. 這是有限個數(shù)算求平均值概念的推廣，在實(shí)際中經(jīng)常遇到.例3 平均價格 已知需求函數(shù)為 （單位：元）試求出在區(qū)間平均價格的表示式.解 在區(qū)間平均價格記為，則4.3 微積分基本定理一、學(xué)時： 二、教學(xué)要求：微積分基本定理：變上限函數(shù)、牛頓萊布尼茲公式（1）了解變上限函數(shù)及牛頓萊布尼茲公式的推導(dǎo)*；（2）理解牛頓萊布尼茲公式的實(shí)質(zhì)（會用實(shí)例說明），會熟練正確的利用公式求定積分。重點(diǎn)：變上限函數(shù)，牛頓萊布尼茲公式難點(diǎn)：牛頓萊布尼茲公式的推導(dǎo)*三、教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)在上的定積分是用和的極限來定義的

18、，如果直接去求這個和的極限往往是困難的，有時甚至求不出. 如何尋找計(jì)算定積分簡便而有效的方法就成為解決有關(guān)實(shí)際問題的關(guān)鍵. 基本思路先來探討一下尋找求定積分簡便方法的基本思路. 為計(jì)算函數(shù)在上的定積分，當(dāng)年的數(shù)學(xué)家避開從和的極限出發(fā)來計(jì)算，而是考慮從定積分的直觀幾何意義出發(fā). 不妨設(shè)（注：對于一般情形，以下推理和結(jié)果仍然成立）. 計(jì)算就化為求曲線，軸及直線與直線所圍成的曲邊梯形面積. 讓這個面積產(chǎn)生一些變化，我們試圖從面積的變化中找規(guī)律. 為此，先研究在上所構(gòu)成曲邊梯形的面積（如圖4.7（a）. 圖 4.7曲邊梯形的面積是的函數(shù)，記為，即通常稱函數(shù)為變上限定積分，為了找到變化的規(guī)律，讓自變量取

19、得改變量，則對應(yīng)的面積函數(shù)就取得改變量改變量即為圖4.7（b）中陰影部分面積，由積分中值定理知存在 （注：當(dāng)為負(fù)時，應(yīng)為），使得 由此我們可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：，令 得亦即變上限定積分是被積函數(shù)的一個原函數(shù). 設(shè)的一個原函數(shù)為，則有 （為待定常數(shù)）由 知因此 或 令，即求得定積分. 微積分學(xué)基本定理下面把上述思路加以整理，寫為定理及證明如下：定理1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果是的一個原函數(shù)，則證 令這是被積函數(shù)為的變上限定積分，前一段分析中已證明，即變上限定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù). 因此變上限定積分是被積函數(shù)的一個原函數(shù). 由基本定理的條件，也是的一個原函數(shù)，因此與僅相差一個常數(shù)，即所以 令 得 因此

20、 所以 再令 得 或該公式稱為牛頓萊不尼茲公式，它揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分的聯(lián)系，也為定積分的計(jì)算提供了有效的計(jì)算方法，即只需求出在區(qū)間上的一個原函數(shù)然后計(jì)算即可，牛頓萊不尼茲公式也可記為例1解例2 計(jì)算 解下面來求前面幾節(jié)例子中所出現(xiàn)的定積分例3 計(jì)算在中例1所給的由曲線，軸以及直線所圍成的平面圖形面積.解 所求面積記為面積 則注 這里所求的面積是準(zhǔn)確值，而且計(jì)算非常便利. 在前面我們借助計(jì)算機(jī)為工具，構(gòu)造100個小矩形來通近面積，也僅得到由此可見微積分學(xué)基本定理的威力.例4 計(jì)算在中例2所提出的當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量從300件增加到900件時，公司增加的成本C.解 在中例2中所增加的成

21、本已表示為和的極限，實(shí)際上是下面的定積分：（元）例5 試求中例3的平均價格解（元）下面例子說明為了求出定積分的值，可以充分利用求不定積分的技巧如積分換元法，分部積分法等例6 計(jì)算定積分 解 需要求出被積函數(shù)的原函數(shù)，即求不定積分如下 （利用換元法，令，則） （利用分部積分法）所以定積分 .例7 奇偶函數(shù)的定積分計(jì)算 設(shè)函數(shù)在對稱區(qū)間上連續(xù)，則有（1）若為偶函數(shù)時，；（2）若為奇函數(shù)時，.上述結(jié)論可由定積分的幾何意義直觀得到.四、練習(xí)1. 利用基本公式計(jì)算下列定積分（1） （2） （3） （4） 2. 一曲邊梯形由,軸和直線,所圍成，求此曲邊梯形面積.3. 計(jì)算下列定積分（1） （2） （3）

22、（4）4. 計(jì)算下列定積分（1） （2）5. 利用函數(shù)奇偶性及定積分幾何意義計(jì)算定積分（1） （2）6.計(jì)算下列定積分（1） （2）7. 已知需求函數(shù)為（單位：元），其中為需求量，為價格，試求出在區(qū)間平均價格表達(dá)式.8. 某公司對其產(chǎn)品成本變化情況測得如下關(guān)系式：其中表示該產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量，表示當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為時，再增加一個單位產(chǎn)品時所增加的成本，試求當(dāng)產(chǎn)品從100件增加到1000件時，該公司所增加的成本（單位:元）.4.4數(shù)值積分一、學(xué)時： 2學(xué)時二、教學(xué)要求：數(shù)值積分：矩形法、梯形法、拋物線法（辛卜生法）（1）理解矩形法（2）理解梯形法（3）掌握拋物線法（辛卜生法）求數(shù)值積分重點(diǎn)：理解矩形法、梯

23、形法、拋物線法（辛卜生法）求數(shù)值積分難點(diǎn)：拋物線法（辛卜生法）求數(shù)值積分三、教學(xué)內(nèi)容：在利用定積分解決實(shí)際問題時，通常會遇到被積函數(shù)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)的形式給出. 例如計(jì)算等，其中被積函數(shù)沒有初等形式的原函數(shù). 這時，牛頓萊布尼茲公式就無法使用了. 有的實(shí)際問題，被積函數(shù)是用表格或圖形給出，這時也無法使用牛頓萊布尼茲公式. 因的有必要研究定積分的近似計(jì)算問題. 我們把求定積分的近似計(jì)算值也稱為數(shù)值積分. 矩形法根據(jù)定積分的幾何意義，矩形法就是把曲邊梯形分成若干各窄曲邊梯形，然后用窄矩形代替窄曲邊梯形，從而求得定積分的近似值. 具體描述如下：用分點(diǎn)將區(qū)間分成個小區(qū)間，記，取，則 （1）為便于

24、計(jì)算，通常區(qū)間是等分的，并取為各小區(qū)間的中點(diǎn)（見圖4.8），則圖 4.8由公式（1）有這就是求定積分近似值的中矩形公式，我們把上面右端式子簡記為. 梯形法圖 4.9梯形法就是把曲邊梯形分割成若干個窄曲邊梯形，然后連接曲邊上相鄰分店，得到以直線代替曲線弧的小直邊梯形，用小直邊梯形的面積代替窄曲邊梯形的面積（如圖4.9），近而求得曲邊梯形面積的近似值. 具體描述如下：用分點(diǎn)將積分區(qū)間分成等分，記，現(xiàn)在來考察每個小區(qū)間，以為兩底，以為高的梯形面積求這個小梯形面積之和，就得到積分近似公式：這就是梯形公式，其中. 我們把上面右端式子簡記為. 拋物線法(辛卜生法)在數(shù)值積分中與上述中矩形公式和梯形公式有密

25、切關(guān)系的是拋物線法，也稱為辛卜生公式. 辛卜生公式是把積分區(qū)間等分，簡記為. 它與中矩形公式和梯形公式有如下關(guān)系：例如當(dāng)時，我們有一般情況表達(dá)式為可以證明對于不高于3次的多項(xiàng)式，辛卜生公式可以給出定積分準(zhǔn)確值. 對于一般被積函數(shù)，用辛卜生方法進(jìn)行數(shù)值積分通常給出比梯形法和矩形法更好的近似值. 還有一些精確度更好的定積分近似公式，被使用在各種數(shù)學(xué)計(jì)算軟件中，如Mathematica，Maple，Matlab等，我們將介紹如何應(yīng)用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件Matlab.例1 某公司批量生產(chǎn)某流行品牌的太陽鏡，其每小時生產(chǎn)付太陽鏡的邊際成本（單位：美元/付）列在表4.1：表 4.15010015020025030

26、035040045021.8016.9515.3114.5014.0013.6613.4213.2513.11現(xiàn)公司從每小時生產(chǎn)50付太陽鏡增加到每小時生產(chǎn)450付太陽鏡，試用梯形法估計(jì)每小時生產(chǎn)所增加的總成本.解 設(shè)所增加的總成本記為，則利用表4.1和梯形公式近似計(jì)算上面定積分如下： （美元）例2 試計(jì)算下面兩條曲線之間的面積：.解 本題需要用到數(shù)學(xué)計(jì)算軟件（詳見第七章）. 而得到在區(qū)間上，并且兩條曲線之間所圍成的面積可用定積分表示：圖 4.10四、練習(xí)1. 試用辛卜生公式求解本節(jié)的例1.2. 試用辛卜生公式求（分別取的情形）一、學(xué)時： 2學(xué)時二、教學(xué)要求：微積分基本定理：變上限函數(shù)、牛頓萊

27、布尼茲公式（1）了解變上限函數(shù)及牛頓萊布尼茲公式的推導(dǎo)*；（2）理解牛頓萊布尼茲公式的實(shí)質(zhì)（會用實(shí)例說明），會熟練正確的利用公式求定積分。重點(diǎn)：變上限函數(shù)，牛頓萊布尼茲公式難點(diǎn)：牛頓萊布尼茲公式的推導(dǎo)*三、教學(xué)內(nèi)容：4.5 廣義積分4.6 定積分在經(jīng)濟(jì)問題中應(yīng)用（1）理解用極限、定積分的知識求兩種類型的廣義積分；（2）將定積分的方法應(yīng)用于商務(wù)中有關(guān)問題的數(shù)量分析。重點(diǎn)：無限區(qū)間上的廣義積分、無界函數(shù)的廣義積分，定積分在經(jīng)濟(jì)問題中應(yīng)用難點(diǎn)：定積分在經(jīng)濟(jì)問題中應(yīng)用4.5 廣義積分前面所討論的定積分，其積分區(qū)間都是有限區(qū)間. 在實(shí)際問題中，還會經(jīng)常遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間的積分.定義1 設(shè)在上連續(xù)，取

28、，極限稱為在無窮區(qū)間上的積分，記做，即若上式等號右端的極限存在，則稱此無窮區(qū)間上的積分收斂，否則稱之為發(fā)散.類似地，定義在無窮區(qū)間上的積分為若上式等號右端的極限存在，則稱之收欽，否則稱之發(fā)散.函數(shù)在無窮區(qū)間上的積分定義為，其中C為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)上式右端兩個積分都收斂時，則稱之為收斂，否則稱之為發(fā)散.無窮區(qū)間上的積分也稱為無窮積分或稱廣義積分.例1 計(jì)算無窮積分解 為了書寫方便，在計(jì)算過程中可不寫極限符號，用記號表示，這樣例1可寫為例2 討論無窮積分收斂性解 當(dāng)時， 發(fā)散當(dāng)時，習(xí)題 4.51. 計(jì)算下列無窮積分 （1） （2） （3） （4） 2. 求由曲線，軸以及直線所圍成的具有無限延伸尾巴的圖

29、形面積，如圖4.11陰影部分所示.圖4.114.6 定積分在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用是多方面的，下面前兩例子體現(xiàn)已知某經(jīng)濟(jì)量的變化率（即邊際函數(shù)），如何求該經(jīng)濟(jì)量，另兩例子是關(guān)于平均值在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用. 最后一個例子是關(guān)于有效時段問題. 例1利潤問題 某公司每個月生產(chǎn)臺電視機(jī)，邊際利潤（以美元為單位）由下式給出：目前公司每月生產(chǎn)1500臺電視機(jī)，并計(jì)劃提高產(chǎn)量，試求出與每月生產(chǎn)1600臺電視機(jī)時，利潤增加了多少？解 （美元）答：當(dāng)每月電視機(jī)生產(chǎn)從1500臺增加到1600臺時，利潤增加1000（美元）.例2收益問題 已知生產(chǎn)某商品單位時，邊際收益為（萬元/單位），試求生產(chǎn)單位時總收益

30、函數(shù)以及平均單位收益函數(shù)，并求生產(chǎn)這種產(chǎn)品120單位時的總收益與平均收益.解 因?yàn)榭偸找媸沁呺H收益函數(shù)在上的定積分，所以生產(chǎn)單位時總收益函數(shù)為則平均收益函數(shù)為當(dāng)生產(chǎn)這種產(chǎn)品120單位時，總收益為 （萬元）平均收益為 （萬元）例3平均供應(yīng)價格 已知某商品供應(yīng)函數(shù)為其中為某商品供應(yīng)量，為該商品的價格（美元），試求在商品供應(yīng)區(qū)間上平均供應(yīng)價格.解 在商品供應(yīng)區(qū)間上平均供應(yīng)價格可用定積分計(jì)算如下： （美元）答：在供應(yīng)區(qū)間上某商品平均供應(yīng)價格為美元. 例4 平均存貨 假設(shè)某貨物去年各月的存貨量可用下式表達(dá)：其中表示月份，表示在月份的存貨量. 試求去年第二季度平均存貨量（單位：噸）.解 去年第二季度的平均

31、存貨量記為，則 (噸)答：某貨物在去年第二季度平均貨存量為噸.例5 有效時段 某娛樂公司把一種娛樂用品安裝在一個公眾活動的地點(diǎn)，用分別表示該娛樂用品的成本函數(shù)與收益函數(shù)，其中表示已安裝使用的時間（單位：年）. 已知 （單位：萬元）使 成立的值稱為該娛樂用品有效時段，幾何意義見圖4.12所示.圖 4.12本例中有效時段求如下：這樣，該娛樂用品有效時段約為3年. 超過這個使用時段，該娛樂公司所安裝的娛樂用品是虧本的.試求出在有效時段內(nèi)，所取得全部利潤.解有效時段為，因此所取得全部利潤為四、練習(xí)1. 已知某商品的邊際成本為（元/單位），固定成本為50（元），求總成本函數(shù).2. 已知某商品的邊際收益為

32、 （元/單位），其中表示該商品的產(chǎn)量，求該商品的總收益函數(shù)，并求當(dāng)商品的產(chǎn)量達(dá)到100單位時的總收益和平均收益.3. 某汽車生產(chǎn)商估計(jì)一種新型車在投入生產(chǎn)之后銷售逐月增加，增加的比率由下式給出：其中表示新型車投入生產(chǎn)之后的第t月份. 試求該新型車銷售量的表示式，并求出投入生產(chǎn)之后的前六個月的月平均銷售量.4. 本節(jié)例5中若試求在有效時段內(nèi)公司所取得的全部利潤.5.設(shè)某茶葉生產(chǎn)企業(yè)，生產(chǎn)某品牌出口茶葉的邊際成本，邊際收入是日產(chǎn)量（千克）的函數(shù)，邊際成本為（美元/千克），邊際收益為（美元/千克），固定成本為3000美元.求：（1）日產(chǎn)量為多少時，利潤最大？ （2）在獲得最大利潤時，總收益、平均單位收益、總成本、總利潤是多少？小結(jié)1. 本章介紹兩個不同的數(shù)學(xué)概念：不定積分與定積分，前者作為導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，而后者是作為和的極限來定義的. 一個函數(shù)的不定積分是一個函數(shù)，而一個函數(shù)的定積分是一個數(shù)值.這兩個數(shù)學(xué)概念由于微積分學(xué)的基本定理（牛頓萊不尼茲公式）