數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見題型與解題方法

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載數(shù)列求通項(xiàng)公式的常 見題型與解題方法數(shù)列是高中 數(shù)學(xué) 的重要 內(nèi)容，又是 學(xué)習(xí) 高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)高考 對(duì)本章的考 查比較全面，等差 數(shù)列，等比 數(shù)列的考 查每年都不 會(huì)遺 漏有關(guān)數(shù) 列的 試題經(jīng) 常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知 識(shí)綜 合起來，試題也常把等差 數(shù)列、等比 數(shù)列，求 極限和數(shù)學(xué)歸納 法綜合在一起探索性 問題是高考的 熱點(diǎn)，常在 數(shù)列解答 題中出現(xiàn)本章中還蘊(yùn) 含著豐富的 數(shù)學(xué) 思想，在主 觀題中著重考 查函數(shù)與方程、 轉(zhuǎn)化與化歸、分 類討論 等重要思想，以及配方法、 換元法、待定系 數(shù)法等基本 數(shù)學(xué) 方法數(shù)列這一章的主要章 節(jié)結(jié)構(gòu)為 ：近幾

2、年 來，高考 關(guān)于數(shù)列方面的命 題主要有以下三 個(gè)方面：（ 1 ）數(shù)列本身的有 關(guān)知識(shí)，其中有等差 數(shù)列與等比 數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式（2）數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合，其中有 數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的 結(jié)合（ 3）數(shù)列的 應(yīng)用問題 ，其中主要是以增 長率問題為 主試題的難度有三 個(gè)層 次，小 題大都以基 礎(chǔ)題為 主，解答 題大都以基 礎(chǔ)題和中檔題為 主，只有 個(gè)別 地方用 數(shù)列與幾何的 綜合與函數(shù)、不等式的 綜合作 為最后一 題難度較大我僅對(duì)數(shù) 列求通 項(xiàng)公式這一部分 內(nèi)容做一 個(gè)淺顯 的分析 與提煉題型 1已知數(shù)列前幾 項(xiàng)求通 項(xiàng)公式在我們的教材中，有 這樣 的題目：0

3、 n為奇數(shù)1 數(shù)列 0,2,0,2L 的通項(xiàng) an2 n為偶數(shù)2 數(shù)列3數(shù)列 111,1 ,22312 ,132 ,1241 ,3 4 45,11L 的通項(xiàng) an（n11）n(n51)7L 的通項(xiàng) an1+ （n1 2n 1821）(2 n)2 此題主要通 過學(xué)生觀察、試驗(yàn) 、合情推理等活動(dòng)，且在此基 礎(chǔ)上進(jìn)一步通 過比較、分析、 概括、 證明去揭示事物的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué) 生數(shù)學(xué)思維能力相 對(duì)于填空題或是 選擇題 只需利用不完全 歸納法進(jìn)行猜想即可； 對(duì)于解答 題，往往 還需要我們進(jìn)一步加以 證明例如（ 2003 年全國高考）已知 數(shù)列 an滿足 a1 1,an 3n 1an 1(n 2) (

4、 ) 求： a2 , a3 ；學(xué)習(xí)好資料歡迎下載3n1( )證明： an2分析： 問題 （）主要滲透一般化特殊化，利用已知的 遞推公式求具體問題 （） 與問題 （） 緊密相 連，可以 從特殊入手， 歸納論證 相結(jié)合，求一般 當(dāng)然還可用后面介 紹的方法即注意到進(jìn)行 anan1 3n 1( n2) ，由特殊化 歸為等比 數(shù)列等加以 證明本 題貫 穿特殊化 與一般化的思 維方法， 實(shí)質(zhì) 上是歸納 中的綜合課堂中我 們還 可以設(shè)計(jì) 如下例 題及練習(xí)，訓(xùn)練學(xué) 生這方面的技能例 1. 寫出下面 數(shù)列的一 個(gè)通項(xiàng)公式，使 它的前 4項(xiàng)分別是下列各 數(shù)：(1)221, 321,421, 5251 ; an(n

5、 1)21234n1(2) 1113 ,11n12, 234 ,45.an(1)n(n1)例 2. 觀察下面 數(shù)列的特點(diǎn)， 寫出每 個(gè)數(shù) 列的一 個(gè)通項(xiàng)公式：(1) 1,7,13,19,L; an(1)n (6n5)(2)7,77,777,7777,77 777,L; an7(10n1)9(3)5,0, 5,0,5,0,5,0,L.an5sinn2練習(xí) :寫出下面 數(shù)列的一 個(gè)通項(xiàng)公式：(1) 1,3 ,1,3,1,3,L; an1(1)n2(2) 3 , 1 , 5 , 3 , 7 ,L .ann 223456n52117173n 2練習(xí) 在某 報(bào)自 測(cè)健康 狀況的報(bào)道中，自 測(cè)血壓結(jié) 果與

6、相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù) 據(jù)如下表觀察表中 數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適 當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（）內(nèi)年齡（歲）3035404550556065收縮壓 （水銀柱毫米）110115120125130135（140 ）145舒張壓 （水銀柱毫米）707375788083（ 85）88練習(xí) 根據(jù)下列 5個(gè)圖 形及相 應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù) 的變化規(guī)律，猜 測(cè)第 n個(gè)圖 中有 _n2-n+1_個(gè)點(diǎn)。 。 。（1 ）（ 2）（ 3）（4）。（5 ）相關(guān)的高考 試題有：（2004年全國卷）已知數(shù)列 a n ，滿足 a 1 =1 ，a n=a 1+2a 2+3a3+(n 1)a n1(n 2) ，則a n 的通項(xiàng) an1n1，_n2分析：由已

7、知， a2a11由 ana12a23a3(n1) an 1生成an 1a12a23a3( n 2)an 2兩式相減得： anan(nann11) an 1 ，即an 1為商型的，用累乘法可得ananan1 La3ann(n 1)43,an 1an2a2a2即 ann2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（2006 年廣東卷）在德 國不來梅舉行的第 48 屆世乒賽 期間，某商店 櫥窗里用同 樣的乒乓球堆成若干堆“正三 棱錐 ”形的展品，其中第1 堆只有 1 層，就一 個(gè)球；第 2,3,4,L 堆最底 層（第一 層）分別按圖 4 所示方式固定 擺放，從第二層開 始，每層的小球自然 壘放在下一 層 之上，第 n 堆第

8、 n 層就放一 個(gè)乒乓 球，以f ( n) 表示第 n 堆的 乒乓 球總數(shù) ，則 f (3)_10 _ ；f (n)_ 1 n(n1)(n2) _6（答案用 n 表示） .題型 2由 a n 與 Sn 的關(guān)系求通 項(xiàng)公式在我們的教材中，有 這樣 的題目： 已知 數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn1 (n2n) ，則 ann2 已知 數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Snn5n1，3 2，則 an2n1 n2，這類題 目主要注意 sn 與 an 之間關(guān) 系的 轉(zhuǎn)化即：S1(n=1)n(akak 1 ) an =an = a1SnSn 1 (n2)k 2一般已知 條件中含 a n 與 Sn 的關(guān)系的數(shù)列題

9、均可考 慮用上述公式例如：（04 年浙江） 設(shè)數(shù)列 a n 的前項(xiàng)的和 Sn= 1 （ a n-1） (n N ) 3( ) 求 a 1；a 2；( ) 求證數(shù) 列 a n 為等比 數(shù)列解: ( ) 由S11 (a1 1) , 得 a11 ( a11) a11又 S21 (a2 1) ,即 a1 a21 (a2 1) , 得 a21 .332334( )當(dāng) n>1時(shí) , anSnSn 11(an1)1 (a n 11),33得 an1 , 所以 an是首項(xiàng)1,公比 為1的等比 數(shù)列an 1222課堂中我 們還 可以設(shè)計(jì) 如下例 題及練習(xí)，訓(xùn)練學(xué) 生這方面的技能例 3. 數(shù)列 a n 的前

10、 n 項(xiàng)和 Sn=3 ·2n -3,求數(shù)列的通 項(xiàng)公式 . an 32n 1練習(xí) 1 ：設(shè)數(shù) 列a n 的前 n 項(xiàng)和為 Sn =2n 2+3n+2 ，求通項(xiàng) a n 的表達(dá)式，并指出此 數(shù)列是否 為等差 數(shù)列 . an7n，14n 1 n2，練習(xí) 2 ：已知 數(shù)列a n 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a 1 2 ，且 na n+1 =S n+n(n+1) ，求 an 相關(guān)的高考 試題有： an2n(2004 全國卷 )已知數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和 S n 滿足： S n=2a n +(-1) n,n 1 （） 寫出求數(shù)列 a n 的前 3 項(xiàng) a1 ,a 2,a 3 ；（）求 數(shù)列

11、a n 的通 項(xiàng)公式；（） 證明：對(duì)任意的整 數(shù) m>4 ，有 11L17.a4a5am8. 解： 當(dāng) n=1 時(shí) , 有： S1=a 1 =2a 1+(-1)a 1=1 ；當(dāng) n=2 時(shí) , 有： S2=a 1 +a 2 =2a 2+(-1)2a 2=0 ；學(xué)習(xí)好資料歡迎下載當(dāng) n=3 時(shí) , 有： S3=a 1 +a 2 +a 3=2a 3 +(-1) 3a3 =2 ；綜上可知 a 1=1,a2=0,a 3=2 ；由已知得： anSnSn 12an(1)n2an1(1)n 1化簡(jiǎn)得： an2an 12(1)n1上式可化 為： an2 (1)n2an 12 (1)n 1 2 (32 (

12、3故數(shù)列 an1)n 是以 a11)1 為首項(xiàng),公比為2的等比 數(shù)列 .33故 an2 ( 1)n1 2n 1 an1 g2n 12 ( 1)n2 2 n 2( 1)n 33333數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為： an2 2 n 2( 1)n .311L1311L1由已知得：a4a5am21 231m2m2 22( 1)311111L2m 211)m 2 39153363(1 11111L23511211 11111L2351020111 45(12m 5 )142211g2 312 35 5 2m 52131 g( 1)m 5131041057.1552151201208故 11L17( m>

13、;4).a4a5am8（2006 年湖北卷） 已知二次函 數(shù) yf ( x) 的圖像經(jīng)過 坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為 f ' ( x)6x 2 ，數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，點(diǎn) (n, Sn )( n N ) 均在函 數(shù) yf (x) 的圖像上（）求 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（） 設(shè) bn1， Tn 是數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和，求使得 TnmN 都成立的最小正整 數(shù) m an an 1對(duì)所有 n20點(diǎn)評(píng)：本小 題考查二次函 數(shù)、等差 數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基 礎(chǔ)知識(shí)和基本的 運(yùn)算技能，考 查分析問題的能力和推理能力解：（） 設(shè)這 二次函 數(shù) f(x) ax2 +bx (a 0)

14、 , 則 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x 2, 得學(xué)習(xí)好資料歡迎下載a=3 , b= 2,所以f(x) 3x2 2x.又因?yàn)辄c(diǎn) (n, S)(nN )均在函數(shù)yf ( x)的圖像上，所以Sn22n.n3n當(dāng) n 2 時(shí)，a n Sn Sn 1（ 3n2 2n ） 31) 22(n1)6n 5.（ n2 5（ nN ） .當(dāng) n 1 時(shí)， a 1 S1 3×1 26×1 5，所以， a n6n（2006年安徽卷） 數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知 a11 , Snn2ann n1 , n1,2,2（） 寫出 Sn 與 Sn1 的遞推關(guān)系式 n2，并求 Sn

15、關(guān)于 n 的表達(dá)式；（） 設(shè) fnxSnxn1, bnfn/ppR，求 數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 Tn n2 ann2 (S1 ，即 (n22S解：由 Sn n1n2 得：SS1)n n1)Snn n1 ，所以nnnnnnn 1n 1n，對(duì) n2 成立nSnn1Sn 11由 n1Snn1Sn1， n1Sn 1n1Sn 21， ， 3S221nn12S1 n1，又 S1 a11nn1nn221 S1相加得：Sn2，所以 Snn2，當(dāng) n1時(shí)，也成立n1Snn（）由 fnxxn11xn 1 ，得 bnf n/pnpn nn而 Tnp 2 p23 p3L ( n 1) pn 1npn ，pTnp22

16、 p33 p4 L (n 1) pnnp n 1 ，(1 P)Tnp p2p3Lpn 1pnnp n 1p(1 pn )np n 1 1p題型 3已知數(shù)列遞推公式求通 項(xiàng)公式在我們的教材中， 還有這樣的類型題：1 已知數(shù)列 an 的首項(xiàng) a11，且 anan 13(n2) ，則 an3n-22已知 數(shù)列 an 的首 項(xiàng) a11 ，且 an2an13(n2) ，則 an43n133已知 數(shù)列 an 的 a11， a22 且 an1(an 1an 2 )(n3) ，則 liman12xan14 已知數(shù)列 an 的 a11， a22 且 an 22an 1an , 則 ann這類問題 是通 過題 目

17、中給定的初始 值和遞推公式，在熟 練掌握等差 數(shù)列、等比 數(shù)列的通 項(xiàng)公式的推 導(dǎo)方法的基 礎(chǔ)上，產(chǎn)生的一系列 變式我們應(yīng)清 楚的意 識(shí)到：1證明 數(shù)列 an是等差或等比 數(shù)列常用定 義，即通過證明 an 1 anan an 1 (n 2) 或 an 1an( n 2) 而得anan12 在解 決等差數(shù)列或等比 數(shù)列的相 關(guān)問題時(shí) ，“基本量法”是常用的方法，但有 時(shí)靈 活地運(yùn)用性 質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，而學(xué)習(xí)好資料歡迎下載一般數(shù)列的 問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比 數(shù)列求解3. 等差數(shù)列、等比 數(shù)列求通 項(xiàng)公式涉及的迭代、累加、累乘、 構(gòu)造等方法我們具體 進(jìn)行如下分析：一、由等差，等比演化而來的“差型”

18、，“商型遞”推關(guān)系題組 一：數(shù)列 an 中， a11,an 1an2 ，求 an 的通 項(xiàng)公式 an 2n1變式 1 ：數(shù)列 an 中， a11,an 1ann ，求 an 的通項(xiàng)公式 an1 n21 n 122變式 2：數(shù)列 an 中， a1,an 1a3n 1 ，求 an的通項(xiàng)公式 3n 111nan2變式 3 ：已知 數(shù)列 an 滿足 a11，111an 11 ，求 an anann變式 4 ：數(shù)列 an 中， a11,an 12an，求 an 的通項(xiàng)公式 an21an2n分析：等差 數(shù)列： an 1and生成： a2a1d ， a3a2d ， an 1an 2d ， anan 1d累加

19、： an(anan 1 )(an 1an2 )(a2a1 )a1 = (n 1)da1由此推廣成差型 遞推關(guān)系： anan 1f (n) ( n2)nf (n) 可以求和就行累加： an(anan 1 )(an 1an2 )(a2a1 )a1 =f (n)a1，于是只要2題組 二、已知數(shù)列 an 的首項(xiàng) a11，且 an3an 1 (n 2) ，則 an3n 1變式 1 ：已知 數(shù)列 an 的首項(xiàng) a1 1，且 ann12) ，則 an1nan 1 (nn變式 2 ：數(shù)列 an 中， a12, an 13an2 ，求 an 的通 項(xiàng)公式 an3n1變式 3 ：數(shù)列 an 是首 項(xiàng)為 1 的正

20、項(xiàng)數(shù)列，且 (n 1)an21 nan2an 1an0,( n1,2,3,L ) ，求 an 的通 項(xiàng)公式 an1分析：等比 數(shù)列： an 1anqn生成： a2a1q ， a3a2q ， an 1an 2q ， anan 1q累乘： ananan 1a2a1 = q n 1a1an 1an2a1由此推廣成商型 遞推關(guān)系： ang (n)an 1anan 1a2n累乘： ana1g(n)a1an 1an2a12為了提高，我 們還 可以引用下列例 題：例1、 若數(shù)列 an 滿足： a12( 2n1)an 1 , (n 2) 2, ann求證： anC 2nn ； an 是偶數(shù) 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載

21、證明：由已知可得：an2(2n1)an 1nanan1a2a12n 3 5(2n1)又 anana1=n!an 12而 C 2nn( 2n)!2 4 6( 2n2)2n1 3 5(2n1)= 2n 3 5(2n 1)n! n!n! n!n!所以 anC 2nn ，而 anC 2nn2C2nn 1 為偶數(shù) 例 2 、已知 數(shù)列 an 中 a11，且 a2 ka2 k 1( 1) k ,a2k1a2k3k其中 k=1,2,3,.（ I）求 a3 , a5 ；（ II）求 a n 的通項(xiàng)公式 .解（）（略） a33, a513(II)a2k 1 a2k3ka2 k 1(1) k3k所以 a2 k 1

22、a2k 13k(故 a2k 1(a2 k 1a2 k 1 )(3k3k13)(1)k1) k，為差型(a2k1a2 k 3 )( a3a1 ) a1(1) k 1( 1)1= 3k 11 (1) k122( 1) k3k3ka2ka2k 11 ( 1) k 1( 1) k11 ( 1) k1 2222所以 a n 的通項(xiàng)公式 為：n 2n 13 21(1)21 ；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， an22nn3 21當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，( 1)21 an22二由差型，商型類比出來的和型， 積型：即 an例如： 數(shù)列 an中相鄰兩項(xiàng) an ， an 1 是方程 x2分析： 由題意： an + an 13n生成：

23、 an 1 + an 23(n 1)an 1f (n), 和 an an 1 g(n)3nx bn0 的兩根，已知 a1017 ，求 b51 的值 ： an 2an3 所以 該數(shù)列的所有的奇 數(shù)項(xiàng) 成等差，所有的偶 數(shù)項(xiàng) 也成等差其基本思路是，生成，相減；與 “差型”的生成，相加的思路 剛好相呼 應(yīng)到 這里本題的解決就不在 話下了特別的，若 an + an 1c ，則 an 2 an 即該數(shù)列的所有的奇 數(shù)項(xiàng) 均相等，所有的偶 數(shù)項(xiàng) 也相等若 anan 12 n則 an 1 an 22 n 1÷： an 22 an所以該數(shù)列的所有的奇 數(shù)項(xiàng)成等比，所有的偶 數(shù)項(xiàng)也成等比其基本思路是，

24、生成，相除；與 “商型”的生成，相乘的思路 剛好相呼 應(yīng)特別地，若 anan 1c ，則 an 2 an 即該數(shù)列的所有的奇 數(shù)項(xiàng) 均相等，所有的偶 數(shù)項(xiàng) 也相等三可以一次 變形后 轉(zhuǎn)化為差型，商型的1 anpa n 1f (n)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載例如： 設(shè) a0是常數(shù)，且 an2an13n 1 ，（ nN*）證明： an(2)n1a03n( 1) n12n53n 1分析：這道題目是 證明型的，最 簡(jiǎn)單的方法 當(dāng)然要數(shù)數(shù)學(xué)歸納 法，現(xiàn)在我 們考慮用推導(dǎo)的方法 來處理 an2an 1的三種方法：方法（ 1 ）：構(gòu)造公比 為 2 的等比 數(shù)列 an3n ，用待定系 數(shù)法可知15方法（ 2）：構(gòu)造差

25、型 數(shù)列an，即兩邊 同時(shí)除以 ( 2)n得：anan11 (3) n ，從而可以用累加的方法處( 2) n( 2)n( 2) n 132理方法（ 3 ）：直接用迭代的方法處理：an2an 13n 12( 2an 23n 2 )3n 1( 2) 2 an 2( 2)3n 23n 1( 2) 2 ( 2an 3 3n 3 ) ( 2) 2 3n 23n 1( 2) 3 an 3( 2)2 3n 3( 2) 3n 23n 1( 2) n a0( 2) n 1 30( 2) n 2 31( 2)n 3 32( 2) 2 3n 3( 2) 3n 23n 1( 2) n a03n( 1) n 1 2n說

26、明： 當(dāng) f ( n)c或 f (n)anb 時(shí)，上述三 種方法都可以用；5 當(dāng) f (n)n2 時(shí)，若用方法1，構(gòu)造的等比 數(shù)列應(yīng)該 是 anpn 2qnr而用其他 兩種方法做 則都比較難 用迭代法 關(guān)鍵是找出 規(guī)律，除含 a1 外的其 它式子，常常是一 個(gè)等比數(shù)列的求和 問題 2 an p( an 1 )q 型例如：已知 an1(an 1 ) 2 ，首 項(xiàng)為 a1 ，求 an （ 2003 年江蘇卷 22 題改編）a方法 1 ：兩端取常用 對(duì)數(shù)，得 lg an2 lg an 1lg a ，令 bnlg an ，則 bn 2bn 1lg a ，轉(zhuǎn)化如上面 類型的特別的， a=1 ，則轉(zhuǎn)化為一

27、個(gè)等比數(shù)列方法 2 ：直接用迭代法：an1 an2 11 ( 1 an22 )2( 1 )1 2 a2 2( 1 )1 2 L 2n 2 a12 n 1a( a1 )2n 1 aaaaaa四 f (Sn , an )0 型的利用 anSnSn 1 , (n2) 轉(zhuǎn)化為 g( an , an 1 )即混合型的 轉(zhuǎn)化為純 粹型的例如： 已知 數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 Sn ( )寫出數(shù)列 an 的前 3 項(xiàng) a1 ,a2 , a3 ;0 型，或 h( Sn , Sn 1 )0 型2an( 1)n , n1( ) 求數(shù)列 an的通 項(xiàng)公式分析： S2an( 1) n , n1.- n由 a1S12a11, 得 a11.- 由 n2 得， a1a22a21，得 a20- 由 n3 得， a1a2a32a31，得 a32- 用 n 1代 n 得 Sn 12an 1( 1)n 1- ：