單擺受迫振動共振(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§8.2 單擺 受迫振動 共振一、單擺1、定義：在一條不易伸長的，忽略質(zhì)量的細線下端拴一質(zhì)點，上端固定，構成的裝置叫做單擺。2、單擺的振動可看作簡諧運動的條件：最大擺角。3、回復力來源：單擺振動的回復力是重力的切向分力，不能說成是重力和拉力的合力。注意：最高點：向心力為零，回復力為最大，合外力等于回復力；最低點：向心力最大，回復力為零，合外力等于向心力。4、周期公式：強調(diào)：單擺的周期與振幅和質(zhì)量無關；秒擺：周期為2s的單擺其擺長約為lm。是等效擺長：擺動圓弧的圓心到擺球重心的距離。lR圖1 圖2g為等效重力加速度：與單擺所處物理環(huán)境有關。不同星球表面，。單擺

2、處于超重或失重狀態(tài)等效重力加速度分別為，如軌道上運行的衛(wèi)星，完全失重，等效。不論懸點如何運動還是受別的作用力，等效的重力加速度g的取值總是單擺不振動時，擺線的拉力F與擺球質(zhì)量的比值，即等效。擺鐘快慢問題的分析方法（超綱）、單擺的一個重要應用就是利用單擺振動的等時性制成擺鐘。在計算擺鐘類的問題時，利用以下方法比較簡單：在一定時間內(nèi)，擺鐘走過的格子數(shù)n與頻率f成正比（n可以是分鐘數(shù)，也可以是秒數(shù)、小時數(shù)），再由頻率公式可以得到：擺鐘快慢不同是由擺鐘的周期變化引起的，若擺鐘周期T大于其準確鐘的周期T0，則為慢鐘；若擺鐘周期T小于其準確鐘的周期T0，則為快鐘。由擺鐘的機械構造所決定，無論準確與否，鐘擺

3、每完成一次全振動，擺鐘所顯示的時間都為一定值，也就是走時準確的擺鐘的周期T0。因鐘面顯示的時間總等于擺動次數(shù)乘以準確擺鐘的周期T0，即，所以在同一時間t內(nèi)，鐘面指示時間之比等于擺動次數(shù)之比。對于走時不準確的擺鐘，要計算其全振動的次數(shù)，不能用鐘面上顯示的時間除以其周期，而應以準確時間除以其周期，即。二、簡諧運動的能量振動過程是一個動能和勢能不斷轉化的過程。在任意時刻動能和勢能之和等于振動物體的總機械能。簡諧運動中機械能守恒，振動的振幅越大，能量越大。機械能等于它在平衡位置的最大動能或等于它在最大位移時的勢能。對于給定的振動系統(tǒng)，振動的動能由振動的速度決定，振動的勢能由振動的位移決定，振動的能量就

4、是振動系統(tǒng)在某個狀態(tài)下的動能和勢能的總和。三、阻尼振動、受迫振動和共振1阻尼振動和無阻尼振動：振幅越來越小的振動叫做阻尼振動。振幅不變的的振動是等幅振動，也叫做無阻尼振動。Aff固2受迫振動：物體在外界周期性驅(qū)動力作用下的振動。物體作受迫振動達到穩(wěn)定后的頻率等于驅(qū)動力的頻率，跟物體的固有頻率無關。3共振：當驅(qū)動力的頻率等于物體的固有頻率時發(fā)生共振，共振時振幅最大。4受迫振動的振幅與驅(qū)動力頻率f的關系圖：例題精析：例題1：如圖為一單擺及其振動圖象，回答：（1）單擺的振幅為 ，頻率為 ，擺長為 ，一周期內(nèi)位移x（F回、a、Ep）最大的時刻為 解析：由縱坐標的最大位移可直接讀取振幅為3crn橫坐標可

5、直接讀取完成一個全振動即一個完整的正弦曲線所占據(jù)的時間軸長度就是周期 T=2s，進而算出頻率f=1/T=0.5Hz，算出擺長l=gT2/42=1m·從圖中看出縱坐標有最大值的時刻為05 s末和15s末（2）若擺球從E指向G為正方向，為最大擺角，則圖象中O、A、B、C點分別對應單擺中的 點一周期內(nèi)加速度為正且減小，并與速度同方向的時間范圍是 。勢能增加且速度為正的時間范圍是 解析：圖象中O點位移為零，O到A的過程位移為正且增大A處最大，歷時1/4周期，顯然擺球是從平衡位置E起振并向G方向運動的，所以O對應E，A對應GA到B的過程分析方法相同，因而O、A、B、C對應E、G、E、F點 擺動

6、中EF間加速度為正，且靠近平衡位置過程中加速度逐漸減小，所以是從F向E的運動過程，在圖象中為C到D的過程，時間范圍是1520s間 擺球遠離平衡位置勢能增加，即從E向兩側擺動，而速度為正，顯然是從 E向G的過程在圖象中為從O到A，時間范圍是005 s間（3）單擺擺球多次通過同一位置時，下述物理量變化的是（） A位移；B速度；C加速度； D動量；E動能；F擺線張力解析：過同一位置，位移、回復力和加速度不變；由機械能守恒知，動能不變，速率也不變，擺線張力mgcosm v2/L也不變；由運動分析，相鄰兩次過同一點，速度方向改變，從而動量方向也改變，故選B、D 如果有興趣的話，可以分析一下，當回復力由小

7、變大時，上述哪些物理量的數(shù)值是變小的？ 從（1）、（2）、（3）看出，解決此類問題的關鍵是把圖象和實際的振動一對應起來（4）當在懸點正下方O/處有一光滑水平細釘可擋住擺線，且¼則單擺周期為 s比較釘擋繩前后瞬間擺線的張力 解析：放釘后改變了擺長，因此單擺周期應分成釘左側的半個周期，前已求出擺線長為lm，所以T左=1s：釘右側的半個周期T右=05s，所以TT左十T右=15s 由受力分析，張力T=mgmv2/L，因為釘擋繩前后瞬間擺球速度不變，球重力不變，擋后擺線長為擋前的1/4所以擋后繩張力變大（5）若單擺擺球在最大位移處擺線斷了，此后球做什么運動？若在擺球過平衡位置時擺線斷了，擺球又

8、做什么運動？解析：問題的關鍵要分析在線斷的時間，擺球所處的運動狀態(tài)和受力情況在最大位移處線斷，此時球速度為零，只受重力作用，所以球做自由落體運動在平衡位置線斷，此時球有最大水平速度，又只受重力，所以做平拋運動例題2：有一個單擺，其擺長l=102m，擺球的質(zhì)量m01kg，從和豎直方向成擺角= 40的位置無初速度開始運動（如圖所示），問：（1）已知振動的次數(shù)n30次，用了時間t608 s，重力加速度g多大？（2）擺球的最大回復力多大？（3）擺球經(jīng)過最低點時速度多大？（4）此時懸線拉力為多大？（5）如果將這個擺改為秒擺，擺長應怎樣改變？為什么？（取sin4000698，cos40 09976，314

9、）【解析】（1）50，單擺做簡諧運動，其周期T=t/n=608/30 s2·027 s，根據(jù)T=2得，g=4××102/20272=9791 m/s2。（2）最大回復力為 F1mgsin4o=01×9791×00698 N0068 N（3）單擺振動過程中，重力勢能與動能互相轉化，不考慮阻力，機械能守恒，其總機械能E等于擺球在最高處的重力勢能E，或在最低處的速度 v=0219 m/s。（4）由Tmg=mv2/L得 懸線拉力為T=mg十mv2/L=0l×10十0l×02l92/102052 N（5）秒擺的周期T=2 s，設其擺長

10、為L0，根據(jù)T=2得，g不變，則T即TT0= 故L0= T02L/T2=22 ×l02/ 20272=0993m，其擺長要縮短LLL0l02 m0993 m=0027m例題3：如圖所示，在光滑導軌上有一個滾輪A，質(zhì)量為2m，軸上系一根長為L的線，下端懸掛一個擺球B，質(zhì)量為m，設B擺小球作小幅度振動，求振動周期?！痉治觥繉?m的A球和m的B球組成系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)的重心O點可視為單擺的懸點，利用水平方向動量守恒可求出等效擺長。【解析】A和B兩物體組成的系統(tǒng)由于內(nèi)力的作用，在水平方向上動量守恒，因此A和B速度之比跟質(zhì)量成反比，即vA/vB=mB/mA=1/2因此A和B 運動過程中平均速

11、度/=1/2，亦即位移 SA/SB1/2。，因為OAA/OBB/，則OB/OA2/1。對B球來說，其擺長應為2/3 L，因此B球的周期T2。說明：據(jù)動量守恒條件，2m在A位置時，m在 B位置，當2 m運動到A/時，m運動到B/。例題4：如圖所示，三根細線OA, OB,OC結于O點，A,B端固定在同一水平面上且相距為L，使AOB成一直角三角形，BAO = 300，已知OC繩長也為L，下端C點系一個可視為質(zhì)點的小球，下面說法中正確的是300BACOA、當小球在紙面內(nèi)做小角度振動時,周期為：B.當小球在垂直紙面方向做小角度振動時，周期為C.當小球在紙面內(nèi)做小角度振動時，周期為D.當小球在垂直紙面內(nèi)做

12、小角度振動時，周期為解析:當小球在紙面內(nèi)做簡諧振動時，是以0點為圓心,OC長L為半徑做變速圓周運動，OA和OB繩沒有松弛，其擺長為L,所以周期是；當小球在垂直于紙面的方向上做簡諧振動時，擺球是以OC的延長線與AB交點為圓心做振動,其等效的擺長為L十Lsin600/2=L十L/4 ,其周期為,故選A. 拓展:若將上題中的小球改為裝滿沙子的漏斗，在漏斗擺動的過程中，讓沙子勻速的從漏斗底部漏出，則單擺的周期如何變化?(因沙子遂漸漏出，其重心的位置先下移后上升，等效擺長先增加后減小，所以周期先變長后減?。＠}5：在圖中的幾個相同的單擺在不同的條件下，關于它們的周期關系，判斷正確的是（ ） A、T1T

13、2T3T4； B、T1T2=T3T4 C、T1T2=T3T4、； 、 D、T1T2T3T4【解析】單擺的周期與重力加速度有關這是因為是重力的分力提供回復力當單擺處于（1）圖所示的條件下，當擺球偏離平衡位置后，是重力平行斜面的分量（mgsin）沿切向分量提供回復力，回復力相對豎直放置的單擺是減小的，則運動中的加速度減小，回到平衡位置的時間變長，周期T1T3對于（2）圖所示的條件，帶正電的擺球在振動過程中要受到天花板上帶正電小球的斥力，但是兩球間的斥力與運動的方向總是垂直，不影響回復力，故單擺的周期不變，T2=T3在（4）圖所示的條件下，單擺與升降機一起作加速上升的運動，也就是擺球在該升降機中是超

14、重的，相當于擺球的重力增大，沿擺動的切向分量也增大，也就是回復力在增大，擺球回到相對平衡的位置時間變短，故周期變小，T4T3綜上所述，只有C選項正確 點評：對于單擺的周期公式，在擺長不變的條件下，能影響單擺振動的周期的因素就是運動過程中的回復力發(fā)生的變化，回復力增大，周期變小，回復力變小，周期變大這是判斷在擺長不變時單擺周期變化的唯一例題6：有一擺鐘的擺長為ll時，在某一標準時間內(nèi)快amin。若擺長為l2時，在同一標準時間內(nèi)慢bmin。，求為使其準確，擺長應為多長？（可把鐘擺視為擺角很小的單擺）?！窘馕觥吭O該標準時間為ts，準確擺鐘擺長為lm，走時快的鐘周期為T1s，走慢時的周期為T2s，準確

15、的鐘周期為T3。不管走時準確與否，鐘擺每完成一次全振動，鐘面上顯示時間都是Ts。（法一）由各擺鐘在ts內(nèi)鐘面上顯示的時間求解， 對快鐘： t60a=T；對慢鐘： t 60a=T聯(lián)立解，可得= 最后可得L=。（法二）由各擺鐘在ts內(nèi)的振動次數(shù)關系求解：設快鐘的 t s內(nèi)全振動次數(shù)為 nl，慢鐘為 n2，準確的鐘為n。顯然，快鐘比準確的鐘多振動了60a/T次，慢鐘比準確的鐘少振動60b/T次，故： 對快鐘：nlt/T1n60a/Tt/T+60a/T 對慢鐘：n2t/T2n60b/Tt/T60b/T聯(lián)解式，并利用單擺周期公式T2同樣可得L=點竅：對走時不準的擺鐘問題，解題時應抓?。河捎跀[鐘的機械構造

16、所決定，鐘擺每完成一次全振動，擺鐘所顯示的時間為一定值，也就是走時準確的擺鐘的周期T。例題7：（1998年全國）圖中兩單擺擺長相同，平衡時兩擺球剛好觸現(xiàn)將擺球A在兩擺線所在平面向左拉開一小角度后釋放，碰撞后，兩球分開各自做簡諧運動以mA、mB分別表示擺球A、B的質(zhì)量，則（ ）A如果mAmB，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置右側B如果mAmB，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置左側C無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右側D無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左側解析：由于兩球線長相等,所以兩球做單擺運動的周期必然相等.兩球相碰后有這幾種可能:碰后兩球速度方向相反,這樣

17、兩球各自到達最高點再返回到平衡位置所用的時間相等,故兩球只能在平衡位置相遇;碰后兩球向同一方向運動,則每個球都先到達最大位移處然后返回平衡位置,所用的時間也都是半個周期,兩球仍只能在平衡位置相遇;碰后一球靜止,而另一球運動,則該球先到最大位移又返回到平衡位置,所用時間還是半個周期,在平衡位置相遇. 因此，不管mAmB，還是mAmB 還是mAmB ，無論擺球質(zhì)量之比為多少，下一次碰撞都只能發(fā)生在平衡位置，也就是說不可能發(fā)生在平衡位置的右側或左側，所以選項C、D正確拓展:兩球的碰撞是否是彈性碰撞?例題8：如圖所示，兩個完全相同的彈性小球1,2，分別掛在長L和L/4的細線上，重心在同一水平面上且小球

18、恰好互相接觸，把第一個小球向右拉開一個不大的距離后由靜止釋放，經(jīng)過多長時間兩球發(fā)生第10次碰撞？解析:因?qū)⒌?個小球拉開一個不大的距離，故擺動過程應符合單擺的周期公式有，,系統(tǒng)振動周期為，在同一個T內(nèi)共發(fā)生兩次碰撞，球1從最大位移處由靜止釋放后經(jīng)發(fā)生10次碰撞，且第10次碰后球1又擺支最大位移處. 例題9：一單擺的擺長為L，擺球的質(zhì)量為m，原來靜止，在一個水平?jīng)_量I作用下開始擺動此后，每當擺球經(jīng)過平衡位置時，便給它一個與其速度方向一致的沖量I，求擺球經(jīng)過多長時間后其擺線與豎直方向間的夾角可以達到？（50，不計阻力，所施沖量時間極短）解析：設擺球經(jīng)過平衡位置的次數(shù)為n，則擺球達最大偏角時需用時間

19、t=（nl）十 由動量定理和機械能守恒定律得：nImv ½mv2=mgl（1cos）單擺周期 聯(lián)立式得：例題10：如圖所示，AB為半徑R=7.50 m的光滑的圓弧形導軌，BC為長s0.90m的光滑水平導軌，在B點與圓弧導軌相切,BC離地高度h1.80 m，一質(zhì)量m10.10 kg的小球置于邊緣C點，另一質(zhì)量m20. 20 kg的小球置于B點，現(xiàn)給小球m1一個瞬時沖量使它獲得大小為0.90 m/s的水平向右速度，當m1運動到B時與m2發(fā)生彈性正碰，g取10 m/s2，求：（1)兩球落地的時間差t； (2)兩球落地點之間的距離s.解析:(1 )m1與m2發(fā)生彈性正碰，則設碰后m1和m2速

20、度分別為v1/和v2/，有得v1一0.3 m/s,v'2=0. 6 m/s可見m1以0. 3 m/s速度反彈，從B到C,t=s/v1/=3s, m2以0. 6 m/s速度沖上圓弧軌道，可證明m2運動可近似為簡諧運動，在圓弧上運動時間為2.72 s,再從B到C, t2 =s/v2/=1.5s則tt2T/2一t1=1.22 s. (2）利用平拋運動知識不難求得s0.18 m.例題11：如圖所示，a、b、Co 質(zhì)量相等的三個彈性小球（可視為質(zhì)點），a、b分別懸掛在L1=1.0m，L2=0.25 m的輕質(zhì)細線上，它們剛好與光滑水平面接觸而不互相擠壓，ab相距10cm。若c從a和b的連線中點處以

21、v0=5 cm/s的速度向右運動，則c將與b和a反復碰撞而往復運動。 已知碰撞前后小球c均沿同一直線運動，碰撞時間極短，且碰撞過程中沒有機械能損失，碰撞后a和b的擺動均可視為簡諧振動。以c球開始運動作為時間零點，以向右為正方向，試在圖中畫也在l0s內(nèi)C、b兩球運動的位移時間圖像，兩圖像均以各自的初位置為坐標原點。（運算中可認為）【答案】如圖例題12：有幾個登山運動員登上一無名高峰，但不知此峰的高度，他們想迅速估測出高峰的海拔高度，但是他們只帶了一些輕質(zhì)繩子、小刀、小鋼卷尺、可當作秒表用的手表和一些食品，附近還有石子、樹木等，其中一個人根據(jù)物理知識很快就測出了海拔高度，請寫出測量方法，需記錄的數(shù)

22、據(jù)，推導出計算高峰的海拔高度的計算式解析:用細線和小石塊做一個單擺，量出擺線長L1，并測出單擺周期T1.設小石塊重心到細線與小石塊的連接處的距離為d，則改變擺線長為L2,測出周期T2，則可得當?shù)刂亓铀俣葹橛钟?，得例題13：在長方形桌面上放有：秒表、細繩、鐵架臺、天平、彈簧秤、鉤碼，怎樣從中選取器材可較為準確地測出桌面面積S？并寫出面積表達式【解析】用細繩量桌面長，并用此繩（包括到鉤碼重心）、鉤碼、鐵架臺做成單擺，由秒表測出其振動周期T1；同理量桌面寬，做單擺，測出周期T2 答案：S=鞏固練習：1.(07黃岡月考)將一測力傳感器連接到計算機上就可以測量快速變化的力,如圖所示,(甲)圖中O點為單

23、擺的懸點,現(xiàn)將小球(可視為質(zhì)點)拉到A點,此時細線處于張緊狀態(tài),釋放擺球,則擺球在豎直平面內(nèi)的ABC之間來回擺動,其中B點為運動中最低位置, AOB =COB=, 小于10°且是未知量.圖(乙)表示由計算機得到細線對擺球的拉力大小F隨時間變化的曲線,且圖中t =0時刻為擺球從A點開始運動的時刻,根據(jù)力學規(guī)律和題中信息(g取10 m/s2)求:(1)單擺的周期和擺長;(2)擺球的質(zhì)量;(3)擺動過程中的最大速度.答案： (1)T=0.4s L =0.4 m(2)0.05 kg(3)0.283 m/s2.有一秒擺,懸點為O,在O點正下方O處有一釘子,如圖甲所示,擺從平衡位置向左擺時擺線碰到釘子擺長改變,從平衡位置向右擺時又變?yōu)樵瓟[的長度,其振動圖象如圖乙所示(g=2),則 ( ) A.此擺的周期為2 sB.懸點離釘子的距離為0.75 mC.碰到釘子瞬間,擺球的動量大小不變D.碰釘子后,擺球的角速度增大答案 BCD3.將一單擺向左拉至水平標志線上,從靜止釋放,當擺球運動到最低點時,擺線碰 到障礙物,擺球繼續(xù)向右擺動.用頻閃照相機拍到如圖所