概率與統(tǒng)計(jì)課件第七章協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

1、一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)二二、相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)的意義三、小結(jié)三、小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)1. 問題的提出問題的提出 那么那么相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量,YX).()()(YDXDYXD 不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì) 協(xié)方差協(xié)方差).()(),ov(C),Cov(.)()(YEYXEXEYXYXYXYEYXEXE 即即記為記為的協(xié)方差的

2、協(xié)方差與與稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量量量2. 定義定義.)()(),Cov(的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量而而YXYDXDYXXY )()(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX)3()()(2 )()()(YEYXEXEYDXDYXD ).()(YDXD 相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX)2(),(Cov2)()(YXYDXD 3. 說明說明 .,)1(個(gè)無量綱的量個(gè)無量綱的量它是一它是一協(xié)方差協(xié)方差的相關(guān)系數(shù)又稱為標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)系數(shù)又稱為標(biāo)準(zhǔn)和和YX4. 協(xié)方差的計(jì)算公式協(xié)方差的計(jì)算公式);()

3、()(),Cov()1(YEXEXYEYX ).,Cov(2)()()()2(YXYDXDYXD 證明證明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE )()()()2(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE ).,Cov(2)()(YXYDXD 5. 性質(zhì)性質(zhì) );,Cov(),Cov()1(XYYX ;, , ),Cov(),Cov()2(為為常常數(shù)數(shù)baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov

4、()3(2121YXYXYXX .),(),(222121相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的的與與試求試求設(shè)設(shè)YXNYX解解 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf由由,e21)(21212)(1 xxfxX.,e21)(22222)(2 yyfyY例例1.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxfyxYXdd),()(),Cov(21 而而.ddee)(1212112222121)1(212)(21221xyyxxyx ,1111222 xyt令令,11xu ututuYXtudde )1(21),Cov(2222122122 tuu

5、tudede22222122 ttuutudede212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有.)()(),Cov( YDXDYXXY于是于是結(jié)論結(jié)論;,)1(的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與代表了代表了參數(shù)參數(shù)中中二維正態(tài)分布密度函數(shù)二維正態(tài)分布密度函數(shù)YX. )2(相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與等價(jià)于等價(jià)于相關(guān)系數(shù)為零相關(guān)系數(shù)為零與與二維正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量YXYX.23,21),4 , 0(),3 , 1(,22YXZNNYXXY 設(shè)設(shè)分別服從分別服從已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量?)3(.)2(.)1(為什么為什么是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立與與問問的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與求求的數(shù)學(xué)期

6、望和方差的數(shù)學(xué)期望和方差求求ZXZXZ解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由)23()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE .31 例例2)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD ),Cov(31)(41)(91YXYDXD )()(31)(41)(91YDXDYDXDXY . 3241 )()(21)(31YDXDXDXY . 033 . 0) )()(),Cov( ZDXDZXXY故故:,)3(可知可知立兩者是等價(jià)的結(jié)論立兩者是等價(jià)的結(jié)論關(guān)系數(shù)為零和相互獨(dú)關(guān)系數(shù)為零和相互獨(dú)由二維正態(tài)隨機(jī)變量相由二維正態(tài)隨機(jī)變量相.是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的與

7、與ZX)23,Cov(),Cov()2(YXXZX ),Cov(21),Cov(31YXXX 1. 問題的提出問題的提出?,衡量衡量接近的程度又應(yīng)如何來接近的程度又應(yīng)如何來最接近最接近可使可使應(yīng)如何選擇應(yīng)如何選擇問問YbaXba )(2bXaYEe 設(shè)設(shè).的好壞程度的好壞程度近似表達(dá)近似表達(dá)可用來衡量可用來衡量則則YbXae .,的近似程度越好的近似程度越好與與表示表示的值越小的值越小當(dāng)當(dāng)YbXae .,達(dá)到最小達(dá)到最小使使的值的值確定確定eba二、相關(guān)系數(shù)的意義二、相關(guān)系數(shù)的意義).(2)(2)(2)()(2222YaEXabEXYbEaXEbYE 得得并令它們等于零并令它們等于零求偏導(dǎo)數(shù)求

8、偏導(dǎo)數(shù)分別關(guān)于分別關(guān)于將將,bae . 0)(2)(2)(2, 0)(2)(222XaEXYEXbEbeYEXbEaae解得解得,)(),Cov(0XDYXb .)(),Cov()()(0XDYXXEYEa )(2bXaYEe 得得中中代入代入將將,)(,200bXaYEeba )(min2,bXaYEeba ).()1(2YDXY 2. 相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)的意義.,系較緊密系較緊密的線性關(guān)系聯(lián)的線性關(guān)系聯(lián)表明表明較小較小較大時(shí)較大時(shí)當(dāng)當(dāng)YXeXY.,線性相關(guān)的程度較差線性相關(guān)的程度較差較小時(shí)較小時(shí)當(dāng)當(dāng)YXXY.,0不相關(guān)不相關(guān)YXXY和和稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) )(200XbaYE 例例3 ?,)

9、,cos(,cos,2, 0的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)和和求求是常數(shù)是常數(shù)這里這里的均勻分布的均勻分布服從服從設(shè)設(shè) aa 解解, 0dcos21)(20 xxE ,21dcos21)(2022 xxE , 0d)(cos21)(20 xaxE ,21d)(cos21)(2022 xaxE ,cos21d)cos(cos21)(20axaxxE 數(shù)為數(shù)為由以上數(shù)據(jù)可得相關(guān)系由以上數(shù)據(jù)可得相關(guān)系.cosa , 1,0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)a, 1, 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)a .存在線性關(guān)系存在線性關(guān)系, 0,232 時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)aa.不相關(guān)不相關(guān)與與 , 122 但但.不獨(dú)立不獨(dú)立與與因此因此 .的相關(guān)關(guān)系的相關(guān)關(guān)系與與動畫演示

10、動畫演示 單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停 ESCESC鍵退出鍵退出(1) 不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系3. 注意注意相互獨(dú)立相互獨(dú)立不相關(guān)不相關(guān)(2) 不相關(guān)的充要條件不相關(guān)的充要條件; 0,1o XYYX不相關(guān)不相關(guān); 0),Cov(,2o YXYX不相關(guān)不相關(guān)).()()(,3oYEXEXYEYX 不相關(guān)不相關(guān)4. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì). 1)1( XY. 1,:1)2( bXaYPbaXY使使存在常數(shù)存在常數(shù)的充要條件是的充要條件是證明證明)(min)1(2,bXaYEeba )()1(2YDXY 0 012 XY. 1 XY. 1,1)2( bXaYPbaXY使使存在常數(shù)存在常數(shù)的充要條件是的充要條件是1, XY事實(shí)上事實(shí)上20000200)()( )(0XbaYEXbaYDXbaYE , 0)(00 XbaYD. 0)(00 XbaYE由方差性質(zhì)知由方差性質(zhì)知. 100 XbaYP或或0)(200 XbaYE, 10)(00 XbaYP使使若存在常數(shù)若存在常數(shù)反之反之 ba ,1 XbaYP. 0)(2 XbaYE)(min2,bXaYEba )(200XbaYE )()1(2YDXY . 1 XY, 10)(2 XbaYP, 10)( XbaYP故有故有)(02XbaYE .),(的的關(guān)關(guān)系系相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)的的